基于動響應約束的結構材料優化設計

趙志軍，榮見華，黃方林，岳海玲

(1.中南大學 土木工程學院，長沙 410075; 2.長沙理工大學 汽車與機械工程學院，長沙 410076;3.長沙學院 土木建筑工程系，長沙 410022;4. 長沙理工大學 橋梁工程安全控制省部共建教育部重點實驗室科研平臺,長沙 410076)

基于動響應約束的結構材料優化設計

趙志軍1,3,4，榮見華2，黃方林1，岳海玲4

(1.中南大學 土木工程學院，長沙 410075; 2.長沙理工大學 汽車與機械工程學院，長沙 410076;3.長沙學院 土木建筑工程系，長沙 410022;4. 長沙理工大學 橋梁工程安全控制省部共建教育部重點實驗室科研平臺,長沙 410076)

針對于隨機荷載作用下動響應為約束的結構材料優化問題，基于結構拓撲優化思想,提出了一種變動響應約束的結構材料優化方法。采用分式有理式和冪函數識別結構材料單元特性參數，以微觀單元拓撲變量倒數為設計變量，導出了頻率及振型對微觀單元設計變量的一階導數，進而得到了隨機荷載作用下結構均方響應的一階近似展開式。結合變約束限的思想，建立了以結構質量作為目標函數，均方響應作為約束條件的連續體微結構拓撲優化近似模型，并采用對偶方法進行求解。對典型結構進行了考慮單個和多個動響應約束的結構材料優化設計，優化所得結果驗證了該方法的有效性和可行性。

微結構；拓撲優化；動響應約束；材料設計

由于有序多孔材料具有復雜大型的特點，結構離散完全計算的計算量巨大，等效連續介質分析方法是研究其靜態彈性行為和動力學分析的有效途徑[1-2]。基于小參數展開理論的數學均勻化方法將周期性多孔材料結構力學分析問題分解為一個微結構問題和一個宏觀結構問題，并通過微結構的等效材料特性和特征位移(又稱為影響函數)實現兩尺度有限元分析的耦合。特征單元(eigenelement)法和基于高階單元的serendipity 特征單元法也是一種求解周期性多孔材料等效特性的代表性方法。SIGMUND[3]提出了復合材料微結構單胞拓撲優化設計理論，現在已經成為材料研究的主要手段之一。HASSANI等[4-5]對均勻化理論進行了系統的闡述。基于周期性多孔材料等效連續介質分析方法的發展，結構材料優化設計方面已獲得了一些研究進展[6-10]。NIU等[6]采用均勻化方法進行了結構最大自然頻率的兩種尺度拓撲優化設計。HUANG等[7]基于漸進結構優化方法(Evolutionary Structural Optimization,ESO)進行了結構最大剛度的結構材料設計。ZUO等[8]采用漸進優化方法實現了結構最大自然頻率的多尺度拓撲優化設計。XU等[9-10]進行了考慮單點動響應要求的結構和材料一體化優化設計。盡管,在基于拓撲優化的材料設計方面已開展了大量工作, 但涉及結構動響應要求的材料設計工作相對有限，尤其是未見有考慮多點動響應約束情況下的結構材料優化設計。

本文借鑒均勻化方法，以微觀單元拓撲變量倒數為設計變量，推導了隨機荷載作用下結構均方響應的一階近似顯式展開式。結合變約束限的思想，得到了以結構質量作為目標函數，多點動響應作為約束條件的連續體微結構(即材料)拓撲優化近似模型，并采用對偶方法進行求解。給出的驗證算例表明，本文方法可以進行多點動響應約束的結構材料優化設計。

1 微觀尺度下的單元拓撲變量與過濾函數

假設宏觀結構由微觀周期性多孔結構組成。基于數學均勻化方法和代表體單元方法思想，宏觀結構由宏觀單元構成，而宏觀單元作為一個微觀結構(即材料)由微觀單元構成。宏觀結構和微觀結構組成見圖1。

圖1 宏觀結構與微觀結構Fig.1 Macrostructure and microstructure

微觀結構的第s號微觀單元的拓撲變量設為ts。用過濾函數fD(ts)識別第s號微觀單元的彈性矩陣，用fm(ts)識別第s號微觀單元的密度，單元材料特性參數識別采用公式

[Ds]=fD(ts)[D0]，ρs=fm(ts)ρ0

(1)

式中，[D0]為微觀單元固有彈性矩陣，ρ0為微觀單元固有材料密度，[Ds]為當前插值的微觀單元材料彈性矩陣，ρs為當前插值的微觀單元材料密度。密度和彈性矩陣的過濾函數分別采用式(2)有理式和冪指數函數形式。

(2)

本文算例中取v=3.5，α=1.25，可以使單元質量與剛度比有界[11]，導致出現的局部模態頻率為高頻。從而有效地避免局部模態。

2 微觀尺度下的結構動響應近似顯式表示式

2.1 宏觀結構總體剛度矩陣對微觀單元設計變量的導數

宏觀尺度下，第i號宏觀單元剛度矩陣可以表示為

(3)

式中，Vi為第i號宏觀單元的體積，[B]為該宏觀單元的應變矩陣，[D]H為該宏觀單元等效彈性矩陣，其表示式為

(4)

(5)

式中，[ε0]為給定初應變場，對于平面應力問題,{1,0,0}T，{0,1,0}T，{0,0,1}T為[ε0]的列向量。

為使函數展開式有更大的變量近似域[12]，本文取拓撲變量倒數為設計變量，即令xs=1/ts，等效彈性矩陣的導數可以表示為

(6)

由式(3)及式(6)可以得到

(7)

類似地,式(7)中的積分可以采用高斯形式表示。進而，宏觀總體剛度矩陣對微觀單元設計變量的導數可以表示為

(8)

2.2 宏觀結構整體質量矩陣對微觀單元設計變量的導數

宏觀單元上任意點的單位體積上的慣性力可以表示為

(9)

{F}i=

(10)

宏觀尺度下，該宏觀單元等效質量矩陣可以表示為j

(11)

宏觀單元等效質量矩陣的導數可以表示為

(12)

宏觀整體質量矩陣對微觀單元設計變量的導數可以表示為

(13)

2.3 特征值對微觀單元設計變量的導數

結構動力特性的特征值問題可用式(14a)和式(14b)表示

(14a)

{φj}T[M]{φj}=1

(14b)

式中，{φj}為第j階質量正則化振型向量,ωj為結構第j階固有頻率值。對式(14a)求導可得

(15a)

方程兩邊同時左乘{φj}T，結合式(14a)，可得

(15b)

對式(14b)兩邊求導可得

(15c)

由式(8)、式(13)、式(15b)可得

Us,j+Vs,j

(16)

2.4 振形向量對微觀單元設計變量的導數

設結構自由度總數為Nd，近似的取前nT(nT?Nd)階模態計算振型向量導數。可以假設振型向量導數表達式為

(17)

式中，βjk為待定系數。用{φk}T左乘式(15a),并將式(17)代入式(15a) 中，則有：

(18)

當k≠j時，由對稱矩陣正交性可以簡化式(18)，進而可得βjk的表達式為

(19)

當k=j時，將式(17)代入式(15c)，即可求出系數βjj為

(20)

將式(8)、式(13)、式(19)、式(20)代入式(17), 就可以得到第j階模態的特征向量的導數。

2.5 動響應的一般表示式

假設載荷矢量均值為零，自功率譜為[D]。為了簡化計算，并求出結構上約束點的平均均方響應值，假設所描述系統的白噪聲激勵在所有自由度上互不相關，即有[D]=diag(Dq),(q=1,2,…,Nd)。參考文獻[13]，結構動響應{y}的互協方差矩陣[Byryp]可表示為

[Byryp]=[Ryryp(0)]=[Φ] [Rqrqp(0)] [Φ]T

(21)

式中, [Φ]為結構振型矩陣。

δrp=ζrωr+ζpωp，erp=Qrp-grp，

χrp=ηrωr+ηpωp，υrp=ηrωr-ηpωp，

2.5.1 總體坐標系自由度方向的動響應

在樹脂純化過程中，常常需要通過泄漏曲線來確定所需樹脂的量、上樣體積和上樣流速[33]。當流出液的濃度達到上樣液濃度的1/10的時候，可以認為樹脂的吸附量已達到飽和，此時的上樣體積為最佳上樣體積。從圖3可以看出，樹脂對花色苷的吸附效果隨上樣液體積的增加而下降，最佳上樣體積達到183 mL。

(1)情況一：[Φ]T[D] [Φ]=diag(θrr)

廣義力不相關，自功率譜矩陣可以對角化，

(22)

(2)情況二： [Φ]T[D] [Φ]=[θrp]

(23)

(24)

(25)

2.6 動響應對微觀單元設計變量的導數

假設模態阻尼比ζr(r=1,2,…,nT)在優化迭代過程中不變。動響應對第s個設計變量的導數公式推導如下：

2.6.1 總體坐標系自由度方向動響應的導數

(1)廣義力不相關情況下動響應的導數

根據式(22)的動響應表達式可得動響應導數為

(26)

(2) 廣義力相關情況下動響應的導數

根據式(23)的動響應表達式可得動響應導數為：

(27)

式中,

(28)

(29)

(30)

r,p=1,2,…,nT

(31)

(32)

(33)

(34)

2.6.2 非總體坐標系自由度方向動響應的導數

(35)

其中,

3 變動響應約束限的結構優化模型及求解

xs=1/ts(s=1,2,…,S)，類似于文獻[14-16], 模型式(36)的求解轉化為近似優化模型式(37)的求解。該近似模型中，目標函數用二階泰勒級數近似展開并省略常數項，動響應約束函數用一階近似式代替，進而得到以下近似模型：

(38)

式中，β為動響應約束限變化因子，可在0.03～0.20間取值。αL為松弛系數，文中算例在1.01～1.05間取值。

圖2 優化迭代解示意圖Fig.2 A simple representation of optimization iterative solutions

針對于微觀結構優化問題，優化設計流程圖見圖3。

圖3 優化流程圖Fig.3 Flow chart of the optimization design

4 算例

4.1 算例一: 單點動響應要求的結構材料優化設計

圖4所示結構是一平面應力懸臂梁。結構長0.5 m、寬0.2 m、厚度為0.002 m，懸臂端中點A作用有自功率譜DA=50 N2/Hz的豎直方向動載荷。材料固有彈性模量E=150 GPa，泊松比υ=0.3，固有材料密度ρ=8 000 kg/m3，各階阻尼比相同，均為ζ=0.02。將宏觀結構劃分為50×20的有限元網格，微觀結構(單胞)劃分為100×100的有限元網格。

圖4 懸臂梁宏觀設計區域Fig.4 Design domain and loading case of a cantilever

0．99≤ts≤1．0 0．6≤ts≤0．99單個微觀結構0．1≤ts≤0．6 0≤ts≤0．13×3微觀結構等效彈性矩陣 6．9030．180800．18080．61810000．2133é?êêù?úú×1010 4．7170．721800．72180．83120000．8044é?êêù?úú×10104．7690．761400．76140．89260000．8481é?êêù?úú×1010等效質量矩陣diag(1．9269×10-4)diag(1．6112×10-4)diag(1．6072×10-4)均方響應m27．098×10-67．37×10-67．14×10-6質量比48．17%39．78%40．18%迭代步80116138單元拓撲變量說明：灰白色0≤ts<0．1，淺灰色0．1≤ts<0．6，深灰色0．6≤ts<0．99，黑色0．99≤ts≤1。)

圖5 懸臂梁微觀結構優化歷程

Fig.5 The optimization history of microstructure

圖6 懸臂梁結構質量歷程Fig.6 The history of the mass of the optimized structure

圖7 A點處結構約束方向的均方響應歷程Fig.7 The optimization history of the mean square dynamic response at the constraint point

單個最優微觀結構3×3最優微觀結構均方響應約束值m23．00×10-65．00×10-67．00×10-6

圖8 不同均方響應約束下的最優微觀結構

圖9 按不同的情況(廣義力相關或不相關)求解所得的最優微觀結構

圖10 動響應約束在同一點的不同方向上所獲得的優化結果

Fig.10 The optimized micro structure with different direction constraint at the same point

4.2 算例二: 有多點動響應要求的結構材料優化設計

圖11所示結構是一平面應力懸臂梁。結構長0.16 m、寬0.1 m、厚度為0.01 m。在A點豎直方向作用有自功率譜DA=40 N2/Hz的載荷。結構材料固有彈性模量E=210 GPa，泊松比υ=0.3，固有材料密度ρ=7 800 kg/m3，各階阻尼比相同，均為ζ=0.02。宏觀結構劃分為64×40的有限元網格，將單胞劃分為100×100的有限元網格。A點、B點和C點處豎直方向平均均方動響應上限值分別是2×10-7m2、8×10-8m2和8×10-8m2。本算例中，結構截斷模態數nT為24，動響應約束限變化因子β=0.075，αL=1.03。微觀結構優化進化歷程如圖12所示，結構總質量進化歷程見圖13，約束點處平均均方響應進化歷程見圖14。

圖11 多約束要求懸臂梁設計區域和載荷情況Fig.11 Design domain and loading case of a cantilever with multiple constraints

單個微觀結構3×3微觀結構A點：4．63×10-8A點：2．16×10-7A點：2．02×10-7均方響應m2B點：1．92×10-8B點：8．39×10-8B點：7．71×10-8C點：1．92×10-8C點：8．39×10-8C點：7．71×10-8質量比59．27%29．19%29．67%迭代步47106128

圖12 多約束要求的懸臂梁微觀結構優化歷程

Fig.12 The optimization history of microstructure with multiple constraints

圖13 多約束要求的懸臂梁結構質量歷程Fig.13 The history of the mass of the optimized structure with multiple constraints

圖14 多約束要求的懸臂梁結構約束點處均方響應歷程Fig.14 The optimization history of the mean square dynamic response at the constraint points

5 結 論

針對于隨機荷載作用下的拓撲優化問題，提出了一種基于動響應約束的連續體微觀結構拓撲優化方法。給出兩個算例。能夠得出下列結論:

(1)提出的方法能有效地優化設計考慮隨機荷載作用下單個及多個平均均方響應約束問題的連續體微觀結構;

(2)在均方響應近似式中,考慮宏觀單元等效質量矩陣的一階量的影響,使得優化近似模型更有效;

(3)優化過程中獲得的微觀結構拓撲構型清晰。

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Topology optimization of micro structures with random vibration responses constraints

ZHAO Zhijun1,3,4, RONG Jianhua2, HUANG Fanglin1, YUE Hailing4

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China；2. School of Automotive and Mechanical Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410076, China；3. Department of Civil Engineering, Changsha University, Changsha 410022, China;4. Key Laboratory for Safety Control of Bridge Engineering,Changsha University of Science & Technology, Changsha 410076, China)

A structural material optimization method with varied random dynamic responses constraints was proposed to solve the problem of structural material optimization under random excitations, based on the structural topology optimization technology. By using the conventional rational approximation and power interpolation for material properties and masses and selecting the reciprocals of topological variables of micro structural elements as design variables, the first order derivatives of frequency and modal shape with respect to the design variables were derived. And the one order approximate explicit functions of dynamic responses were further achieved. Integrated with the idea of varied constraints, a topological optimization model of micro structures was built by taking the structural mass as the objective function and the dynamic responses as constraint functions. Then, a dual solving method was introduced. Several numerical examples were presented to verify the proposed optimization algorithm and the microstructures of cellular materials were obtained.

micro structure; topology optimization; random dynamic responses constraints; material design

國家自然科學基金項目(11372055);湖南省教育廳科學研究項目(15C0119;14C0098);長沙理工大學橋梁工程安全控制省部共建教育部重點實驗室開放基金項目(13KB07)

2016-01-08 修改稿收到日期：2016-05-20

趙志軍 男，博士生，講師，1982年2月生

榮見華 男，博士,教授，1963年7月生 E-mail:rongjhua@aliyun.com

TU311.3；TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.035