基于Mindlin解地震作用下壓力型錨索的擬靜力分析

葉 紅， 陳燕平

(1.武漢理工大學 土木工程與建筑學院,武漢 430070；2.武漢大學 土木建筑工程學院,武漢 430072；3.武漢交通職業(yè)學院 交通工程學院, 武漢 430065)

基于Mindlin解地震作用下壓力型錨索的擬靜力分析

葉 紅1,3， 陳燕平2,3

(1.武漢理工大學 土木工程與建筑學院,武漢 430070；2.武漢大學 土木建筑工程學院,武漢 430072；3.武漢交通職業(yè)學院 交通工程學院, 武漢 430065)

為了更加精確地研究地震作用下壓力型錨索的錨固機理，基于Mindlin解推導出了圓形均布荷載作用下壓力型錨索體系中注漿體受到的壓應力表達式和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力表達式，結合地震作用效應的擬靜力簡化方法，研究了錨索孔半徑、承壓板半徑、巖土體的泊松比、錨索孔方向與水平線之間的夾角、預應力值大小、地震烈度等因素對壓力型錨索加固效果的影響。研究結果表明：錨索孔半徑、承壓板半徑、錨索孔方向與水平線之間的夾角、預應力值大小、地震烈度的影響結果較大，巖土體的泊松比影響結果較小。研究成果豐富了預應力錨索的抗震設計內容，可為邊坡加固充分發(fā)揮壓力型錨索良好的抗震性能提供參考。

壓力型錨索；抗震性能；擬靜力法；Mindlin基本解

目前，壓力型錨索被廣泛的運用到各種土木工程實踐中。這是因為，尤其對破碎巖體和軟弱巖土體而言，壓力型錨索孔內包裹著索體的砂漿通過裂縫滲透到錨索孔周邊巖土體中，提高了錨索孔周邊巖土體的力學性質，同時砂漿也使錨索體系和其周邊巖土體形成了一個整體[1-2]，強化了巖土體的穩(wěn)定性；另外，在壓力型錨索體系中砂漿抗壓及索體抗拉的材料性能也被充分利用[3]。這些因素使壓力型錨索具有良好的抗腐蝕性、加固效果以及抗震性能，有關專家學者對汶川地震邊坡調查的結果有效證明了壓力型錨索的這些優(yōu)良性能[4]。

關于壓力型錨索抗震性能的研究，主要集中在數(shù)值模擬和模型試驗方面，理論方面的研究很少。例如：鄭文博等[5]采用有限元模擬和擬靜力法相結合的分析方法，研究了預應力錨索的錨固角度、預應力大小、錨固深度等對地震作用下邊坡變形和整體穩(wěn)定性的影響規(guī)律，并在此基礎上對預應力錨索設計方法進行了優(yōu)化。朱宏偉等[6]現(xiàn)場調查發(fā)現(xiàn)框架錨桿支護邊坡地震性能的優(yōu)越性，采用擬靜力法和FLAC3D軟件分析了地震作用下錨桿長度對邊坡動力特性的影響，并在此基礎上對汶川震區(qū)內錨桿支護邊坡的地震穩(wěn)定性進行了檢算。葉紅等[7-10]通過FLAC3D軟件數(shù)值分析了風化巖體中壓力型錨索的抗震性能和地震作用下壓力型錨索孔周邊巖體的應力時程，并分別基于Kelvin解析解、Boussinesq問題解、Mindlin基本解對壓力型錨索注漿體受到的壓應力和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力進行了力學分析。葉海林等[11]對預應力錨索加固了的巖質邊坡進行了振動臺模型試驗，研究了地震作用下預應力錨索軸力和預應力損失等動力特性，并結合預應力錨索的動力響應研究成果對預應力錨索抗震設計進行了優(yōu)化。石玉成等[12]結合預應力錨索加固危巖體工程實例，通過數(shù)值模擬方法分析了不同動荷載作用下加固危巖的位移和應力分布情況，揭示了在地震作用下預應力錨索加固危巖體的動態(tài)響應及其相應的變化規(guī)律。目前，關于壓力型錨索抗震性能的研究一般采用數(shù)值模擬和模型試驗的方法，本文結合Mindlin基本解和擬靜力法對地震荷載作用下的壓力型錨索進行擬靜力分析，研究圓形荷載作用下注漿體受到的壓應力和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布情況。

1 力學分析

擬靜力法是一種在最不利情況下用靜力方法求解研究對象動力問題的近似方法，國內外常使用該方法設計地震作用下的地下結構[13]。在巖質邊坡受地震作用的穩(wěn)定性分析中，擬靜力法將巖質邊坡巖體的地震作用簡化為水平加速度作用和豎直加速度作用，擬靜力法中加速度作用取對邊坡穩(wěn)定性最不利時的加速度作用[14]，如圖1所示。考慮壓力型錨索的預應力方向，加速度作用邊坡巖體的地震等效水平和豎直靜力分別為[15]

(1)

圖1 壓力型錨索加固邊坡示意圖Fig.1 Diagram of reinforced slope by pressure-type cable

式中，F(xiàn)hk、Fvk為地震等效水平和豎直靜力，αh、αv為擬靜力水平和豎直方向加速度，kh、kv為水平和豎直地震作用系數(shù)，G為巖土體的重量，g為重力加速度。一些研究成果表明，考慮可能出現(xiàn)的強震因素，水平地震作用系數(shù)kh取值在0～0.4之間，當?shù)卣鹆叶确謩e為Ⅵ度、Ⅶ度、Ⅷ度和Ⅸ度時，水平地震作用系數(shù)kh分別取值為0.05、0.10、0.20和0.40；一般情況下，豎直地震作用系數(shù)kv=(1/2～2/3)kh。

Mindlin基本解是指水平作用或豎直作用在半無限體內部集中力的情況下，半無限體內部任意一點的應力解析解和位移解析解[16]，如圖2所示。在壓力型錨索錨固機理的研究中，注漿體受到的壓應力σz和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力τrz是壓力型錨索受力分析的重要研究對象[17-19]。豎直集中力作用在半無限體內部的Mindlin基本解中豎向壓應力σz和豎向剪應力τrz的表達式分別為

圖2 Mindlin基本解示意圖Fig.2 Diagram of Mindlin basic solution

(2)

在壓力型錨索中，預應力是通過承壓板將壓應力傳遞給注漿體，如果承壓板傳遞的是圓形均布壓應力，則與承壓板接觸的注漿體受到的是圓形均布壓應力，如果基于Mindlin基本解采用集中力來對壓力型錨索進行受力分析，顯然是不符合實際情況的[20]，如圖3所示。考慮承壓板直徑較小且遠小于錨索孔深，結合豎直集中力作用在巖體內部的Mindlin基本解中豎向壓應力σz與豎向剪應力τrz表達式、擬靜力方法和壓力型錨索的受力特點，按照參考文獻[21]的簡化積分方法，地震荷載和預應力共同作用下注漿體受到的壓應力σz和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力τrz的擬靜力法表達式可分別為：

圖3 壓力型錨索力學模型示意圖Fig.3 Mechanical model diagram of pressure-type cable

(4)

3(z-c)3B+(1-2μ)C-[3(3-4μ)z(z+c)-

3c(3z+c)]D-30cz(z+c)2E}

(5)

其中在式(4)和式(5)中：

[r2+(z-c)2]-1/2-[r2+(z-c)2+a2]-1/2

[r2+(z+c)2]-1/2-[r2+(z+c)2+a2]-1/2

2 算 例

某地震烈度為Ⅵ度區(qū)域高速公路邊坡，該邊坡巖體較破碎，采用壓力型錨索進行設計加固，設計參數(shù)如下：錨索孔半徑為0.075 m，位于錨索孔深4.5 m處的承壓板半徑為0.065 m；巖體的泊松比取為0.2；加固范圍內巖土體的重量為G=1 500 kN，P為預應力值200 kN；錨索孔方向與水平線之間的夾角為α，其中，cosα=0.832，sinα=0.556；地震烈度為Ⅵ度時，水平地震作用系數(shù)kh取值為0.05，豎直地震作用系數(shù)kv=2/3kh=2/3×0.05=0.033 3；則Fhkcosα+Fvksinα+P=qπa2=0.05×1 500×0.832+0.033 3×1 500×0.556+200=290.172 2 kN。通過式(2)和式(4)分別得到集中力和擬靜力作用下注漿體受到的壓應力分布曲線圖，通過式(3)和式(5)分別得到集中力和擬靜力作用下注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線圖。其中：集中力為豎直邊坡表面作用在巖土體內部的集中力，即為預應力荷載(P=200 kN)；擬靜力為地震荷載和預應力荷載共同作用下承壓板傳遞給注漿體的均布荷載(qπa2=290.172 2 kN)。

在集中力和擬靜力分別作用下，圖4表示注漿體受到的壓應力分布曲線圖，圖5表示注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線圖，表1表示圖4和圖5應力曲線圖中的最大應力值。由表1可知，在集中力和擬靜力分別作用下的最大壓應力值比較接近，最大剪應力值也比較接近，這是因為集中力大小為200 kN，擬靜力大小為290.172 2 kN。由圖4和圖5可知，擬靜力作用下的應力曲線比集中力作用下的應力曲線平緩， 這是因為地震荷載和預應力荷載通過承壓板傳遞給注漿體圓形均布荷載，圓形均布荷載的擴散范圍比集中力的擴散范圍要大，如果在荷載大小相同的情況下，圓形均布荷載作用下的應力分布曲線要平緩，越遠離承壓板兩者之間的影響就越接近。通過擬靜力荷載計算得到的結果比集中靜力荷載計算得到的結果更能反映地震荷載的作用，通過圓形均布荷載計算得到的結果比集中荷載計算得到的結果更能反映承壓板傳遞給注漿體的實際受力情況。

圖4 注漿體受到的壓應力分布曲線圖Fig.4 Compressive stress distribution curve diagram of grout

圖5 注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線圖Fig.5 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall

荷載類型集中力擬靜力最大壓應力σ/MPa1．32471．4235最大剪應力τ/MPa1．55151．4599

3 影響因素分析

由表達式(1)、式(4)、式(5)可知，影響壓力型錨索加固效果的主要因素有：錨索孔半徑、承壓板半徑、巖土體的泊松比、錨索孔方向與水平線之間的夾角、預應力值大小、地震烈度，以下主要通過擬靜力法來研究圓形荷載作用下這些因素對注漿體受到的壓應力以及注漿體與錨索孔壁之間的剪應力的影響情況。

3.1 錨索孔半徑的影響

在上算例中，其它參數(shù)不改變的條件下，圖6表示錨索孔半徑分別為0.07 m、0.075 m和0.08 m時注漿體受到的壓應力分布曲線圖，圖7表示錨索孔半徑分別為0.07 m、0.075 m和0.08 m時錨索孔壁剪應力分布曲線圖，表2表示錨索孔半徑分別為0.07 m、0.075 m和0.08 m時注漿體受到的最大壓應力值和注漿體與錨索孔壁之間的最大剪應力值。圖6和圖7表明，注漿體受到的壓應力分布曲線和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線隨著錨索孔半徑的增加而趨于平緩，隨著錨索孔半徑的減小而趨于陡峭；相應的在表2中，注漿體受到的最大壓應力和注漿體與錨索孔壁之間的最大剪應力隨著錨索孔半徑的增加而減小，隨著錨索孔半徑的減小而增加。這是因為：在表達式中錨索孔半徑與應力之間存在負相關關系。

圖6 不同錨索孔半徑下注漿體受到的壓應力分布曲線圖Fig.6 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different anchor hole radius

圖7 不同錨索孔半徑下錨索孔壁剪應力分布曲線圖Fig.7 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different anchor hole radius

錨索孔半徑0．070．0750．08最大壓應力σ/MPa1．58031．42351．2916最大剪應力τ/MPa1．59861．45991．3376

3.2 承壓板半徑的影響

如果承壓板半徑分別為0.06 m、0.065 m和0.07 m時，且其它參數(shù)不改變，圖8和圖9分別表示注漿體受到的壓應力分布曲線圖和錨索孔壁上的剪應力分布曲線圖，表3則相應的表示注漿體受到的最大壓應力值和注漿體與錨索孔壁之間的最大剪應力值。在圖8和圖9中，注漿體受到的壓應力分布曲線隨著承壓板半徑的增加而趨于平緩，隨著承壓板半徑的減小而趨于陡峭，注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線也和壓應力分布曲線變化一樣，具有相同的變化趨勢；在表3中，注漿體受到的最大壓應力值隨著承壓板半徑的增加而減小，隨著承壓板半徑的減小而增加，注漿體與錨索孔壁之間的最大剪應力值也具有相同的變化規(guī)律。這是因為：在表達式中承壓板半徑如同錨索孔半徑一樣，與應力之間存在負相關關系。

圖8 不同承壓板半徑下注漿體受到的壓應力分布曲線圖Fig.8 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different bearing plate radius

圖9 不同承壓板半徑下錨索孔壁剪應力分布曲線圖Fig.9 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different bearing plate radius

承壓板半徑0．060．0650．07最大壓應力σ/MPa1．47681．42351．3718最大剪應力τ/MPa1．53931．45991．3832

3.3 泊松比的影響

圖10和圖11表示泊松比分別為0.2、0.25和0.3時注漿體受到的壓應力分布曲線圖和錨索孔壁剪應力分布曲線圖，表4則表示泊松比分別為0.2、0.25和0.3時注漿體受到的最大壓應力值和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力值。在圖10和圖11中，泊松比分別為0.2、0.25和0.3時，注漿體受到的壓應力分布曲線和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線均比較接近；不同的是：注漿體受到的壓應力分布曲線隨著泊松比的增加而趨于陡峭，注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線隨著泊松比的增加而趨于平緩。在表4中，泊松比分別為0.2、0.25和0.3時，注漿體受到的最大壓應力值和注漿體與錨索孔壁之間的最大剪應力值也均接近，注漿體受到的最大壓應力值隨著泊松比的增加而增加，注漿體與錨索孔壁之間的最大剪應力值隨著泊松比的增加而減小。

圖10 不同泊松比下注漿體受到的壓應力分布曲線圖Fig.10 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different Poisson’s ratio

圖11 不同泊松比下錨索孔壁剪應力分布曲線圖Fig.11 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different Poisson’s ratio

泊松比0．20．250．3最大壓應力σ/MPa1．42351．45271．4860最大剪應力τ/MPa1．45991．44811．4468

3.4 錨索孔方向與水平線之間的夾角的影響

圖12 不同夾角下注漿體受到的壓應力分布曲線圖Fig.12 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different angle

圖13 不同夾角下錨索孔壁剪應力分布曲線圖Fig.13 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different angle

sin(α+β)0．5550．8321最大壓應力σ/MPa1．28031．40831．4859最大剪應力τ/MPa1．24651．37111．4466

4.5 預應力荷載的影響

在其它參數(shù)不變的條件下，當預應力荷載分別為100 kN、200 kN和300 kN時，圖14表示注漿體受到的壓應力分布曲線圖，圖15表示錨索孔壁剪應力分布曲線圖，表6表示不同預應力荷載下注漿體受到的最大應力值表。由圖14和表6可知：注漿體受到的壓應力分布曲線隨著預應力荷載的增加而趨于陡峭，隨著預應力荷載的減小而趨于平緩；最大壓應力值隨著預應力荷載的增加而增加，隨著預應力荷載的減小而減小。由圖15和表6可知：注漿體與錨索孔壁之間的最大剪應力值隨著預應力荷載的減小而減小，大小按正比例關系變化；剪應力分布曲線隨著預應力荷載的減小而趨于平緩，隨著預應力荷載的增加而趨于陡峭。這是因為：在其它條件不改變的情況下，在表達式Fhkcosα+Fvksinα+P=qπa2中，地震荷載(Fhkcosα+Fvksinα)不改變，注漿體受到的承壓板傳來的荷載qπa2與預應力荷載P之間是線性函數(shù)關系，由表達式(4)和式(5)可知，應力與預應力荷載之間也是按線性函數(shù)關系變化的。

圖14 不同預應力荷載下注漿體受到的壓應力分布曲線圖Fig.14 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different prestress value

圖15 不同預應力荷載下錨索孔壁剪應力分布曲線圖Fig.15 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different prestress value

預應力荷載100kN200kN300kN最大壓應力σ/MPa0．93291．42351．9140最大剪應力τ/MPa0．95681．45991．9631

4.6 地震荷載的影響

在算例中，如果地震烈度分別為Ⅵ度、Ⅶ度和Ⅷ度，且其它參數(shù)不改變的情況下，圖16和圖17表示注漿體受到的壓應力分布曲線圖和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線圖，表7則相應的表示注漿體受到的最大壓應力值和注漿體與錨索孔壁之間的最大剪應力值。由圖16、圖17可知：注漿體受到的壓應力分布曲線圖和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線圖隨著地震烈度的增加而趨于陡峭，隨著地震烈度的減小而趨于平緩。表7也反映了：注漿體受到的最大壓應力值和注漿體與錨索孔壁之間的最大剪應力值隨著地震烈度的增加而增加，隨著地震烈度的減小而減小，且最大值應力差值按正比例函數(shù)變化。這是因為：在算例其它影響因素不改變的情況下，水平(豎直)地震作用系數(shù)以比例系數(shù)為2的正比例函數(shù)在改變，例如：地震烈度分別為Ⅵ度、Ⅶ度、Ⅷ度和Ⅸ度時，水平地震作用系數(shù)kh分別為0.05、0.10、0.20和0.40。

圖16 不同地震烈度下注漿體受到的壓應力分布曲線圖Fig.16 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different seismic intensity

圖17 不同地震烈度下錨索孔壁剪應力分布曲線圖Fig.17 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different seismic intensity

地震烈度Ⅵ度Ⅶ度Ⅷ度最大壓應力σ/MPa1．42351．94782．8714最大剪應力τ/MPa1．45991．89642．7956

4 結 論

通過擬靜力分析方法，上文研究了地震荷載作用下錨索孔半徑、承壓板半徑、巖土體的泊松比、錨索孔方向與水平線之間的夾角、預應力值大小、地震烈度等因素對壓力型錨索加固效果的影響，得到以下結論：

(1) 錨索孔半徑和承壓板半徑均與應力之間存在負相關關系，應力分布曲線隨著錨索孔半徑(或承壓板半徑)的增加而趨于平緩，最大應力值隨著錨索孔半徑(或承壓板半徑)的增加而減小。

(2) 不同泊松比情況下，注漿體受到的壓應力分布曲線和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線均比較接近，且最大壓應力值以及最大剪應力值也很接近；注漿體受到的壓應力分布曲線隨著泊松比的增加而趨于陡峭，且最大壓應力值隨著泊松比的增加而增加，但是注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線隨著泊松比的增加而趨于平緩，且最大剪應力值隨著泊松比的增加而減小。

(3) 注漿體受到的壓應力分布曲線圖和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線圖隨著sin(α+β)的增加而趨于陡峭，隨著sin(α+β)的減小而趨于平緩；最大應力值隨著sin(α+β)的增加而增加，隨著sin(α+β)的減小而減小。

(4) 注漿體受到的壓應力分布曲線圖和注漿體與錨索孔壁之間的剪應力分布曲線圖隨著預應力荷載(或地震烈度)的增加而趨于陡峭，隨著預應力荷載(或地震烈度)的減小而趨于平緩；最大應力值也隨著預應力荷載(或地震烈度)的增加而增加，隨著預應力荷載(或地震烈度)的減小而減小，且最大值應力值按線性函數(shù)關系變化。

由上可知，錨索孔半徑、承壓板半徑、錨索孔方向與水平線之間的夾角、預應力值大小和地震烈度對壓力型錨索加固效果的影響較大，但巖土體的泊松比影響較小。在震害邊坡治理中，可以通過改變錨索孔半徑、承壓板半徑、錨索孔方向與水平線之間的夾角和預應力荷載等因素來設計壓力型錨索對邊坡的抗震效果。雖然本文基于Mindlin解通過擬靜力方法理論分析了地震荷載作用下壓力型錨索的錨固機理，并取得了一定的成果，但是這些研究成果還需要通過試驗方法來驗證。

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Pseudo-static force analysis of pressure-type cables based on Mindlin basic solution under earthquake

YE Hong1,3, CHEN Yanping2,3

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China;2. School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China;3. School of Transportation Engineering, Wuhan Tochnical College of Communications, Wuhan 430065, China)

In order to accurately study the anchoring mechanism of pressure type cables under earthquake more precisely, the expressions of compressive stress in anchorage section grout and the shear stress between anchorage section grout and contact surface under circular uniform load in a pressure type anchor cable system were derived based on the Mindlin solution. Applying the pseudo-static simplification method to consider the earthquake action effect, the influences of various factors on the anchoring effect of anchor cables were studied. The results show that the Influences of the anchor hole radius, bearing plate radius, angle between the anchor hole direction and horizontal line, prestress and seismic intensity are rather greater, and that of the Poisson’s ratios of rock and soil mass is rather smaller. The results are benefitial to the seismic design of pressure-type cables and the seismic performance design method of the slope reinforced by pressure-type cables was also provided.

pressure type cable; seismic performance; pseudo-static method; mindlin basic solution

國家自然科學基金面上項目(51374163);湖北省自然科學基金面上項目(2014CKB499)

2016-02-25 修改稿收到日期：2016-05-07

葉紅 男，博士，副教授，1977年生

TU457

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.036