全非平穩(wěn)地震動過程的概率模型及反應譜擬合

劉章軍， 劉增輝， 劉 威

(1.三峽大學 土木與建筑學院，湖北 宜昌 443002；2.湖北省防災減災重點實驗室(三峽大學)，湖北 宜昌 443002)

全非平穩(wěn)地震動過程的概率模型及反應譜擬合

劉章軍1,2， 劉增輝1， 劉 威1

(1.三峽大學 土木與建筑學院，湖北 宜昌 443002；2.湖北省防災減災重點實驗室(三峽大學)，湖北 宜昌 443002)

在強度調(diào)制函數(shù)基礎(chǔ)上，發(fā)展了一類全非平穩(wěn)地震動過程的時-頻調(diào)制函數(shù)。結(jié)合平穩(wěn)地震動過程的功率譜密度函數(shù)，建立了全非平穩(wěn)地震動過程的演變功率譜模型，并根據(jù)建筑抗震設(shè)計規(guī)范確定了模型參數(shù)的取值。應用非平穩(wěn)過程模擬的譜表示-隨機函數(shù)方法，生成具有完備概率的非平穩(wěn)地震動加速度過程的代表性時程集合，進而計算代表性時程的平均反應譜。為保證計算平均反應譜與建筑抗震設(shè)計規(guī)范反應譜的一致性，建議了反應譜容許誤差的雙重控制準則，即平均相對誤差和最大相對誤差。研究表明，通過對演變功率譜的3次迭代修正，即可實現(xiàn)計算平均反應譜與規(guī)范反應譜擬合的目的，為應用結(jié)構(gòu)隨機動力學進行實際工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計提供了依據(jù)。

地震動；非平穩(wěn)過程；時-頻調(diào)制函數(shù)；概率模型；反應譜；抗震設(shè)計

作用于工程結(jié)構(gòu)的地震動具有很強的隨機性和非平穩(wěn)性。在以往的抗震分析中，由于強度非平穩(wěn)模型的簡便性以及物理意義的明確性，人們更多地關(guān)注地震動強度非平穩(wěn)特性對結(jié)構(gòu)隨機地震反應的影響[1]。近些年來，大量研究表明[2-3]：地震動的全非平穩(wěn)性(包括強度非平穩(wěn)和頻率非平穩(wěn))對結(jié)構(gòu)進入非線性階段后的力學行為有顯著影響。目前，時-頻全非平穩(wěn)地震動模型是地震動輸入領(lǐng)域研究的熱點[4-5]。此外，在復雜工程結(jié)構(gòu)的非線性抗震分析中，一般選擇幾條地震動記錄或人造地震動時程進行確定性的結(jié)構(gòu)動力學分析。然而，確定性的動力分析方法無法全面地反映地震動的隨機性和結(jié)構(gòu)地震反應的豐富概率信息，造成這一困境的主要原因：①需要應用經(jīng)典的隨機模擬方法生成大量的地震動輸入時程，地震動時程的數(shù)量可能達到數(shù)千上萬個，這極大地增加了復雜工程結(jié)構(gòu)隨機地震反應分析的計算工作量；②為了精細化地評價復雜工程結(jié)構(gòu)的抗震可靠性，需要獲取結(jié)構(gòu)反應的高階統(tǒng)計量或概率密度函數(shù)，這對于以二階統(tǒng)計量為特征的經(jīng)典隨機振動理論仍是一個挑戰(zhàn)。正因如此，經(jīng)典隨機振動理論仍未能應用于復雜工程結(jié)構(gòu)非線性抗震分析的實踐中。

同時，在現(xiàn)階段，各類結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計規(guī)范均以反應譜作為確定地震動輸入的依據(jù)，通常要求輸入地震動時程的反應譜按照一定精度擬合或包絡(luò)規(guī)范反應譜[6]。在本質(zhì)上，規(guī)范反應譜是對大量實際地震記錄的反應譜進行統(tǒng)計分析并結(jié)合經(jīng)驗判斷加以定義的，是從工程結(jié)構(gòu)設(shè)計的角度，在統(tǒng)計意義上對地震動特性的把握。而隨機地震動模型則可應用合理的模擬方法獲得地震動時程的樣本集合，并通過地震動時程的平均反應譜擬合規(guī)范反應譜。從而，使規(guī)范反應譜與隨機地震動模型在本質(zhì)上具有一致性。因此，如何由規(guī)范反應譜生成與之相應的地震動時程集合，是地震工程理論研究和工程實踐的重要問題[7]。事實上，隨著現(xiàn)代結(jié)構(gòu)隨機動力學理論的日趨完善，隨機地震動模型研究與工程應用已得到了深入的發(fā)展[8-11]。

基于上述研究進展，筆者首先在非平穩(wěn)過程的譜表示理論基礎(chǔ)上，利用隨機函數(shù)的思想，建議了一類全非平穩(wěn)地震動過程模擬的譜表示-隨機函數(shù)方法[12]，實現(xiàn)用一個基本隨機變量表達地震動過程的目的。其次，在強度調(diào)制函數(shù)基礎(chǔ)上，發(fā)展了一類全非平穩(wěn)地震動過程的時-頻調(diào)制函數(shù)，并結(jié)合平穩(wěn)地震動過程的功率譜密度函數(shù)，建立了全非平穩(wěn)地震動過程的演變功率譜模型，其模型參數(shù)取值可根據(jù)建筑抗震設(shè)計規(guī)范[13]來確定。以譜表示-隨機函數(shù)方法和時-頻調(diào)制函數(shù)構(gòu)造的演變功率譜模型為基礎(chǔ)的全非平穩(wěn)地震動概率模型，其優(yōu)點之一在于通過選取基本隨機變量的離散代表點，直接獲得具有給定賦得概率的非平穩(wěn)地震動過程的代表性時程集合，從而實現(xiàn)在代表性時程集合的層次上考察地震動過程。然而，由概率模型生成的地震動代表性時程集合的平均反應譜仍無法與規(guī)范反應譜擬合。事實上，采用任何隨機方法求出的反應譜曲線與規(guī)范反應譜在不同周期點上的數(shù)值差別較大，尤其在長周期部分的差別更大[14]。為了保證計算平均反應譜與規(guī)范反應譜的一致性，本文采用反應譜容許誤差的雙重控制準則，通過對演變功率譜的3次迭代修正，實現(xiàn)了計算平均反應譜與規(guī)范反應譜擬合的目的，從而為結(jié)構(gòu)隨機地震反應分析和抗震設(shè)計提供了合理的地震動輸入時程。此外，全非平穩(wěn)地震動概率模型的另一優(yōu)點是與概率密度演化理論相結(jié)合，可以實現(xiàn)復雜工程結(jié)構(gòu)的隨機地震反應與抗震可靠性的精細化分析。

1 非平穩(wěn)過程模擬的譜表示-隨機函數(shù)方法

根據(jù)Priestley非平穩(wěn)過程的演變功率譜理論，一個單變量、一維、零均值的實非平穩(wěn)過程f0(t)可表示為：

(1)

式中，A(t,ω)是確定性的調(diào)制函數(shù)；Z(ω)是正交增量的復過程，滿足如下的關(guān)系：

E[dZ(ω)]=0

(2)

E[dZ(ω)dZ*(ω)]=S(ω)dω

(3)

E[dZ(ω)dZ*(ω′)]=0，ω′≠ω

(4)

dZ(-ω)=dZ*(ω)

(5)

式中，E[·]表示數(shù)學期望，符號“*”表示取共軛復數(shù)。

于是，自相關(guān)函數(shù)可表示為：

(6)

若令τ=0，則有：

(7)

其中

(8)

稱為非平穩(wěn)過程f0(t)的雙邊演變功率譜密度函數(shù)，S(ω)則為相應平穩(wěn)過程的雙邊功率譜密度函數(shù)。對于實非平穩(wěn)過程，可假定A(t,ω)是一個關(guān)于頻率ω的實的偶函數(shù)，即A(t,-ω)=A(t,ω)。

在上述非平穩(wěn)過程的演變功率譜理論基礎(chǔ)上，文獻[15]建議了一類實非平穩(wěn)過程模擬的譜表示方法：

f(t)=

(9)

式中，f(t)為模擬的非平穩(wěn)過程；ωn=nΔω，頻率間隔Δω需足夠小，以便滿足精度要求。

在式(9)中，Xn與Yn(n=1,2,…,N)為標準正交隨機變量，滿足如下的基本條件：

E[Xn]=E[Yn]=0，E[XmYn]=0

(10a)

E[XmXn]=E[YmYn]=δmn

(10b)

式中，δmn為Kronecker記號。

于是，實非平穩(wěn)過程模擬的均方相對誤差可表示為：

(11)

式中，ωu=NΔω為計算截斷頻率；Τ為非平穩(wěn)過程的持續(xù)時間。一般地，計算的均方相對誤差ε(N)≤5%。

利用隨機函數(shù)的思想，可將標準正交隨機變量{Xn,Yn}表示為隨機函數(shù)的形式：

Xn=hn(Θ)，Yn=gn(Θ)，n=1,2,…,N

(12)

式中，hn(·)和gn(·)為確定性的函數(shù)形式，Θ為基本隨機變量。顯然，式(12)必須滿足基本條件式(10)。

k=1,2,…,N

(13)

2 非平穩(wěn)地震動過程的調(diào)制函數(shù)

非平穩(wěn)地震動過程的調(diào)制函數(shù)一般分為強度調(diào)制型和強度與頻率調(diào)制型兩種，其中強度與頻率調(diào)制函數(shù)也稱時-頻調(diào)制函數(shù)。

2.1 強度調(diào)制函數(shù)

一般地，強度調(diào)制函數(shù)φ(t)應滿足如下的條件：

φ(t)>0，max[φ(t)]=1

(14)

對于光滑連續(xù)的強度調(diào)制函數(shù)，上述條件可改寫為：

φ′(t*)=0，φ″(t*)<0，φ(t*)=1

(15)

式中，t*為地震動加速度峰值的到達時刻。

SHINOZUKA[17]提出了一種光滑連續(xù)型的強度調(diào)制函數(shù)：

φ(t)=c[exp(-at)-exp(-bt)],

a,b,c>0，b>a

(16)

根據(jù)強度調(diào)制函數(shù)φ(t)所滿足的條件式(15)，可得：

(17)

于是，式(16)也可寫成二參數(shù)的形式：

b>a>0

(18)

對于強度調(diào)制函數(shù)式(18)，隨著a,b值的增大，峰值達到時刻越早且衰減越快。下面，將式(18)的強度調(diào)制函數(shù)拓展到一類新的時-頻調(diào)制函數(shù)中。

2.2 時-頻調(diào)制函數(shù)

強度調(diào)制函數(shù)僅考慮了強度的非平穩(wěn)，并未考慮頻譜也是隨時間變化的。事實上，地震動過程的非平穩(wěn)性包括強度非平穩(wěn)和頻率非平穩(wěn)兩個方面，即地震動的強度和能量隨頻率的分布是非平穩(wěn)的。因此，時-頻調(diào)制函數(shù)更能全面地反映地震動的非平穩(wěn)特性[18]。

在強度調(diào)制函數(shù)式(18)的基礎(chǔ)上，建議的時-頻調(diào)制函數(shù)為：

A(t,ω)=

ω>0,t>0

(19a)

其中

(19b)

在上述時-頻調(diào)制函數(shù)A(t,ω)中，共有三個參數(shù)a、b、c，本文建議b=a+0.001，c=0.005。這樣，只有一個獨立的參數(shù)a，其值如表1所示。

表1 時-頻調(diào)制函數(shù)的參數(shù)值

對于時-頻調(diào)制函數(shù)式(19)，本文給出另一種改進的形式：

A(t,ω)=

ω>0,t>0

(20a)

其中

(20b)

式中，ωg是場地土的卓越圓頻率；參數(shù)a,b,c與式(19)中的取值完全相同。

3 全非平穩(wěn)地震動過程的實現(xiàn)

(21)

對于平穩(wěn)過程的功率譜，本文采用Clough-Penzien譜[19]：

(22a)

其中

(22b)

式中，ωg和ξg分別為場地土的卓越圓頻率和阻尼比；ωf和ξf分別為基巖的卓越圓頻率和阻尼比，取ωf=0.1ωg，ξf=ξg；amax是地震動峰值加速度；r是峰值因子。

為了與我國現(xiàn)行的《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB 50011—2010)相一致，表2是卓越圓頻率ωg和阻尼比ξg的取值，表3是地震動峰值加速度amax的取值，表4是峰值因子r的取值。

(2) Trypsinogen-1: Trypsin is a member of the serine protease family composed of three trypsinogen genes(trypsinogen 1, 2 and 4) with a potential role in cancer invasion[44,45]. These family members are sharing same nucleotide structures above 90% with each other.

表2 場地土的參數(shù)取值

(23)

表3 地震動峰值加速度amax

注：括號內(nèi)數(shù)值分別用于設(shè)計基本地震加速度為0.15g和0.30g的地區(qū)

表4 峰值因子r的取值

平均相對誤差：

εm=

(24)

式中，T0,k是結(jié)構(gòu)自振周期T0的第k個離散點值；Nf表示6 s內(nèi)結(jié)構(gòu)自振周期的離散點數(shù)，即Nf=6/ΔT0，ΔT0為結(jié)構(gòu)自振周期的離散步長，一般取ΔT0=0.01 s；[εm]為容許的平均相對誤差，一般取[εm]=5%。

最大相對誤差：

εmax=

(25)

平均相對誤差εm反映了平均反應譜RSAS(T0,ζ)與目標反應譜RSAT(T0,ζ)的整體擬合程度，最大相對誤差εmax則反映了兩者的局部擬合程度。

當上述兩個相對誤差不能滿足時，需要對演變功率譜進行迭代修正：

k=0,1,…,K

(26)

4 分析與驗證

為了生成非平穩(wěn)地震動過程的代表性時程集合。首先，需要選取基本隨機變量Θ在區(qū)間[-π,π]上的代表性點：

θj=-π+2(j-0.5)π/nsel，

j=1,2,…,nsel

(27)

在式(23)中，截斷項數(shù)N=1 600，頻率間隔Δω=0.15 rad/s，截斷頻率ωu=240 rad/s，以式(20)所示的時-頻調(diào)制函數(shù)來計算。在本文中，僅考慮設(shè)防地震烈度為8度，設(shè)計基本地震加速度為0.2g，根據(jù)現(xiàn)行的建筑抗震設(shè)計規(guī)范，地震動峰值加速度amax=200cm/s2，水平地震影響系數(shù)最大值αmax=0.45。同時，考慮設(shè)計地震分組為第二組，場地類別為I0、I1、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的特征周期Tg分別為0.25 s、0.3 s、0.4 s、0.55 s和0.75 s。為生成非平穩(wěn)地震動加速度過程的代表性時程，假定相應的地震動持時T分別為15 s、20 s、25 s、30 s、35 s，代表性時程的時間步長Δt=0.01 s。根據(jù)式(11)，非平穩(wěn)地震動加速度過程的均方相對誤差分別為ε(N)=1.9%、2.0%、1.7%、1.5%和1.3%，均小于5%的容許誤差。

在迭代修正時，因計算平均反應譜的離散頻率步長與生成地震動時程的離散頻率步長不一致，一般需要進行插值。為避免插值帶來的不便，在具體計算中，可先根據(jù)規(guī)范反應譜，將計算平均反應譜分成四段分別進行多項式最小二乘法擬合，這樣，計算平均反應譜可表示為一個連續(xù)的分段多項式函數(shù)。從而，為迭代修正后生成地震動時程帶來方便。

按照非平穩(wěn)地震動過程的譜表示——隨機函數(shù)方法，本文生成了nsel=144條的代表性時程。圖1為非平穩(wěn)地震動加速度過程的代表性時程，其中圖1(a)為場地類別I1的代表性時程，圖1(b)為場地類別Ⅲ的代表性時程，它們都具有非平穩(wěn)地震動的典型特征。

圖2為場地類別I1的演變功率譜，其中圖2(a)為第0次迭代結(jié)果，圖2(b)為第3次迭代結(jié)果。可見，對于場地類別I1，第3次迭代的演變功率譜的主要頻率范圍變小，而譜值變大，這表明地震動能量更加集中在一定的范圍內(nèi)。事實上，迭代后的演變功率譜的主要能量范圍與規(guī)范反應譜有直接聯(lián)系，隨著場地類別的不同，地震動的主要能量范圍可能變小或者變大。

圖1 非平穩(wěn)地震動過程的代表性時程Fig.1 Representation time-histories of non-stationary ground motion

圖2 場地類別I1的演變功率譜Fig.2 Evolutionary power spectra for site classification I1

圖3給出了設(shè)計地震分組為第二組，場地類別分別為I0、I1、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的地震加速度反應譜。 從圖3可知，第0次迭代的結(jié)果與規(guī)范反應譜在長周期部分的差異較大，這是由于規(guī)范反應譜人為提高了長周期部分的譜值所致；而第3次迭代的結(jié)果則與規(guī)范反應譜的擬合程度十分理想，完全可以達到建筑抗震設(shè)計的要求。

表5給出了計算平均反應譜與規(guī)范反應譜的相對誤差，除場地類別I0的最大相對誤差稍大于容許誤差外，第3次迭代的相對誤差均在容許誤差范圍內(nèi)。此外，從場地類別I0到Ⅳ，計算平均反應譜與規(guī)范反應譜的擬合誤差越小。

表5 計算的相對誤差

圖3 地震加速度反應譜的比較Fig.3 Comparisons of earthquake acceleration response spectrum

5 結(jié) 論

本文面向現(xiàn)行的建筑抗震設(shè)計規(guī)范，建立了一類全非平穩(wěn)地震動過程的概率模型，具體包括以下幾個方面的研究進展：

(1)發(fā)展了一類具有時-頻調(diào)制函數(shù)的演變功率譜模型，該模型概念清晰、理論完善，能夠全面反映地震動的強度和頻率非平穩(wěn)特性，同時給出了與建筑抗震設(shè)計規(guī)范中場地類別及設(shè)計地震分組相對應的模型參數(shù)取值。

(2)采用了非平穩(wěn)地震動過程模擬的譜表示-隨機函數(shù)方法，該方法算法簡單、結(jié)果可靠，生成的代表性時程具有數(shù)量可控、概率完備的特點，可從代表性時程集合的角度考察地震動過程。

(3)提出了基于演變功率譜的迭代算法和反應譜容許誤差的雙重控制方式，一般僅需對演變功率譜進行三次迭代修正，即可獲得與建筑抗震設(shè)計規(guī)范反應譜一致性的結(jié)果。

(4)全非平穩(wěn)地震動過程的概率模型具有計算效率高和擬合精度高的特點，且與概率密度演化方法具有天然的統(tǒng)一性，為應用結(jié)構(gòu)隨機動力學進行工程抗震設(shè)計提供了基礎(chǔ)。

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Probability model of fully non-stationary ground motion with the target response spectrum compatible

LIU Zhangjun1,2, LIU Zenghui1, LIU Wei1

(1. College of Civil Engineering & Architecture, China Three Gorges University, Yichang 443002, China;2. Hubei Key Laboratory of Disaster Prevention and Reduction, China Three Gorges University, Yichang 443002, China)

Based on the intensity modulation function, a class of extended time-frequency modulation function for non-stationary ground motion was developed. In conjunction with the power spectral density function of stationary earthquake processes, an evolutionary power spectra model of fully non-stationary ground motion was established. The values of the model parameters were determined according to the Chinese code for seismic design of buildings. Applying the simulation method of hybrid spectral representation and random function for non-stationary stochastic processes, a complete set of representative seismic time-histories with assigned probabilities was obtained, and the average response spectrum of representative seismic time-histories was determined accordingly. In order to ensure the calculated average response spectrum to be in agreement with the design response spectrum, the average relative error and the maximum relative error were suggested to control the tolerance between the two response spectrums. The agreement was realized through three times iterative corrections for the evolutionary power spectra. The study provides a basis for the application of stochastic dynamics of structures in engineering practices.

earthquake ground motion; non-stationary processes; time-frequency modulation function; probability model; response spectrum; seismic design

國家自然科學基金資助項目(51278282;50808113)

2015-11-17 修改稿收到日期：2016-04-18

劉章軍 男，博士，教授，博士生導師，1973年生

P315.9;TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.005