基于三角型模糊數理論的組合投資決策研究

周慶健，焦 佳

(大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116605)

基于三角型模糊數理論的組合投資決策研究

周慶健，焦 佳

(大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116605)

基于三角型模糊數理論提出一種新的組合投資決策算法。首先應用三角型模糊數描述股票的價格變化過程,采用三角型模糊數的均值面積來表示相應價格信息；然后結合投資者的具體效用函數，并假設投資收益近似服從正態分布，獲得其期望效用函數；最后根據Markowitz的均值-方差模型結論確定最優組合投資收益，從而確定投資者的最優組合投資比例。該算法簡潔實用，便于操作，通過給出具體應用算例說明了該算法是行之有效的。

組合投資；決策；指數效用函數；三角型模糊數

本文主要基于應用三角型模糊數來表示股票價格變化過程的理論提出一種新的組合投資決策算法。不僅對組合投資理論有一定的促進，同時對投資者進行實際操作具有一定的參考價值。

1 組合投資決策

1.1 Markowitz 的均值-方差模型

19世紀50年代，美國金融學家Markowitz提出了“組合投資理論”，該理論認為大多數風險厭惡型投資者在股票投資市場中會追求高收益的同時注意規避相應風險，并以此為基礎建立了著名的均值-方差模型[1]。

設現有n種股票，它們的當前時刻(t=0)價格為S10,S20,…,Sn0,在未來某時刻(t=T)價格為S1,S2,…,Sn。

令

Xn×1=(x1,x2，…，xn)T,

式中，xi為從時刻t=0到時刻t=T的對數收益率，X為n種股票的對數收益率向量。則收益的數學期望和協方差矩陣可分別表示為

EX=(Ex1,Ex2，…，Exn)T=μ，

Var(X)=E(X-EX)(X-EX)T=Σ。

Markowitz的均值-方差模型可看作是如下一個條件極值問題[2-3]:在滿足投資收益ωTμ=a條件下，求解投資比例ω使得相應風險Var(ωTX)=ωTΣω最小。經求解其最優投資比例為

(1)

相應的協方差矩陣為

(2)

式中，A=eTΣ-1e,B=eTΣ-1μ=μTΣ-1e,C=μTΣ-1μ,Δ=AC-B2。

1.2 效用函數

在組合投資過程中，每個投資者都有屬于自己的效用函數用來表示它對投資收益的滿意程度，并且根據期望效用最大化原則來確定最優投資比例，從而確定投資決策方案。同時，大部分投資者為風險厭惡型，他們在追求高收益的同時規避相應風險。本文應用常見的指數型效用函數:

U=-e-kx,

式中，x為投資收益，k>0表示風險厭惡因子。

1.3 期望效用

在金融數學理論中，常假定投資收益服從正態分布N(r,σ2)，其中r,σ2分別表示期望和方差。且正態分布的密度函數為

(3)

由于該效用函數為風險厭惡型，則可應用無差異曲線法進行求解[4-5]。

1.4 三角型模糊數

(4)

式中，l≤m≤u都為實數[6-7,9-10]。

三角型模糊數可較好的表示不確定信息，如股票未來不確定的價格過程。

(5)

1.5 應用三角型模糊數描述股票價格變化過程

2 決策算法

基于應用三角型模糊數來表示股票價格變化過程的理論，本文提出一種新的組合投資決策算法。

2.1 數據收集與分析

2.2 求解收益率和協方差矩陣

應用式(5)得股票的相應收益率為

和協方差均值為

∑=(σij)n×n。

2.3 效用函數

本文采用投資學中常見的指數效用函數U(x)=-e-kx，并且其期望效用函數可求得為

2.4 最優組合投資決策

根據均值-方差模型的理論，投資者的最優組合應為投資者的無差異曲線和其有效前沿的切點，如圖1。則可建立如下模型：

圖1 最優組合投資的選擇

進而可求得最優組合投資的比例為

3 應用

本文給出一個應用算例。假設2016年4月28日和29日，在某股票市場交易中，某位投資者有5個標的股票，其價格信息見表1。

表1 5種股票的價格信息矩陣

假設該投資者的效用函數為指數效用函數

U(x)=-e-2x，

請問該投資者該如何選擇他的最優組合投資決策方案？

(1)問題分析

此問題可應用本文提出的算法來進行解決：由于股票的價格變化過程應用三角型模糊數形式給出，首先可獲得其三角型模糊數均值面積；進而確定5種股票的收益率向量和協方差矩陣；然后根據投資者的效用函數，由于投資收益服從正態分布，則可獲得該投資者的期望效用函數；再者根據Markowitz的均值-方差模型結論，可獲得其最優組合投資收益，從而確定最優組合投資比例；最后確定該投資者針對這5種標的股票的最優組合投資方案。

(2)具體步驟

步驟2 根據式(5)確定5種股票相應的三角型模糊數均值面積，然后應用Matlab軟件，獲取5種股票的收益率向量和協方差矩陣：

[0.0301,-0.6853,0.2571,0.0182,-0.0001]T，

Σ=(σij)5×5=

3.0133 1.4276 0.9079 0.8264 1.4628

1.4276 0.7081 0.3573 0.3689 0.6269

0.9079 0.3573 0.4409 0.3010 0.5927

0.8264 0.3689 0.3010 0.2428 0.4484

1.4628 0.6269 0.5927 0.4484 0.8481，

同時求得A=-6.7255e+004,B=-4.4548e+004,C=-9.7906e+003,Δ=AC-B2=-1.3261e+009。

步驟3 由于其效用函數U(x)=-e-2x，則可獲得其期望效用函數EU=-e[2(σ2-r)]。

解得其最優組合投資收益r=0.6623，則該投資者的最優組合投資比例為

4 結 語

應用三角型模糊數表示股票的價格變化過程，本文給出了一種新的組合投資決策算法。并給出實際算例驗證了該算法簡潔實用，便于操作。此算法不僅對組合投資理論有一定的促進，同時對投資者進行實際操作具有一定的參考價值。

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(責任編輯 鄒永紅)

Research on Portfolio Investment Decision-making based on Triangular Fuzzy Number Theory

ZHOU Qing-jian, JIAO Jia

(School of Science, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning 116605, China)

In this paper, one new portfolio investment decision-making algorithm is proposed according to the triangular fuzzy number theory. Firstly, in the security portfolio investment progress, the triangular fuzzy number is used to express the security price changing process. Secondly, the mean area of the triangular fuzzy number is adopted to express the security price information. Thirdly, combining with the investor’s specific utility function, and supposing that the investment return approximately obeys the normal distribution, the investor’s expectation utility function can be determined. Finally, according to the conclusion of Markowitz’s Mean-Varianc Model, the optimal portfolio investment return can be got, and the optimal portfolio investment proportion can be determined. This algorithm is concise, practical and easy to operate. In the last, an illustrative example is given to prove that the decision-making algorithm proposed in the paper is feasible and valid.

portfolio investment; decision-making; exponential utility function; triangular fuzzy number

2016-11-07；最后

2016-11-24

遼寧省教育廳項目(L2014549,LJQ2015029)；遼寧省科技廳項目(2015020021，201601088)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(DC201502050304,DC201502050409,DC201501043,DCPY2016058,DCPY2016061)；大連民族大學人才啟動基金資助項目(110090)。

周慶健(1978-)，男，山東鄒城人，副教授，博士，主要從事金融數學和決策管理研究。

焦佳(1982-)，女，河南焦作人，副教授，博士，主要從事微分方程和決策管理研究，jiaojia@dlnu.edu.cn。

2096-1383(2017)01-0059-04

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