基本不等式解題心得

■江蘇省鹽城市亭湖高級中學高二(3)班 初天琪 (指導教師:王 京)

基本不等式解題心得

■江蘇省鹽城市亭湖高級中學高二(3)班 初天琪 (指導教師:王 京)

利用基本不等式求最值是基本不等式的重要應用,在解題過程中我有一些心得,現總結如下。

在使用基本不等式解題時需要注意以下幾個方面:

(1)當兩個正數的積為定值時,可以求它們的和的最小值,當兩個正數的和為定值時,可以求它們的積的最小值,正所謂“積定和最小,和定積最大”。

(2)求最值的條件是“一正、二定、三相等”。

利用基本不等式求最值時,有些問題可以直接用基本不等式來解決,如:

例1求函數y=x+的值域。

解:當x＞0時,y=x+≥2,當且僅當x=1時取“=”;

故函數值域為(-∞,-2]∪[2,+∞)。

有些問題不能直接運用基本不等式來解決,但也不是完全不能用基本不等式了,只要我們創造條件,滿足“一正、二定、三相等”就可以再運用基本不等式來求解了,如:

例2已知x＜,求函數y=4x-2+的最大值。

解:因4x-5＜0,所以首先要“調整”符號,化為“一正”。

所以對4x-2要進行拆、湊項,才可以創造出積為定值。

所以當x=1時,ymax=1。

上面這道例題是不能直接運用基本不等式求解的,但我們創造條件后,湊出積為定值或者和為定值,就能夠用基本不等式求最值了。

還有一些問題看似存在積為定值或和為定值,但是不滿足“三相等”,所以就不能用基本不等式來求解,如:

例3求函數y=的值域。

解:令則y=2)。

根據函數的特點,我們可以構造對號函數,利用對號函數的單調性來求最值。

利用基本不等式來求最值是基本不等式的一個重要應用,但我們在使用時一定要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”,只有三個條件都滿足了我們才能用基本不等式來解題,當“三相等”不滿足時我們可以構造對號函數來求解,以上是我在運用基本不等式解題中的一點小心得。

(責任編輯 趙 平)