由“最高指示”，窺解三角形中的面積問題

■河南省許昌市教研室 石永生

由“最高指示”，窺解三角形中的面積問題

■河南省許昌市教研室 石永生

編者的話:“創新題追根溯源”欄目里的例、習題都非常新穎,有的是原創題,有的是改編題,每一道題都非常注重多解多變。當然,在注重數學閱讀的高考大背景下,同學們還要把握核心考點,擴大知識視野,用扎實的基本功應對數學試題的萬千變化。

若高考是根無形的指揮棒,指引著千千萬萬的學子的努力方向的話,那么每年的高考真題無疑就像“最高指示”,向廣大考生昭示著近年高考的動態和方向。研究2017年課標全國卷理科的三套試題發現,解答題的第17題,無一例外地都命制了解三角形中的面積問題。此現象是否該引起我們的思考呢?

一、三角形的常用面積公式

設△ABC的三邊為a,b,c,對應的三個角分別為A,B,C,其面積為S。

二、高考真題賞析

(2017年課標全國卷Ⅰ)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長。

分析:(1)由三角形面積公式建立等式acsinB=再利用正弦定理將邊化成角,從而得出sinBsinC的值;(2)由cosBcosC=和sinBsinC=計算出cos(B+C)=-從而求出角A,根據題設和余弦定理可以求出bc和b+c的值,從而求出△ABC的周長為3+

解析:(1)因為△ABC的面積S=且S=bcsinA,所以bcsinA,a2=bcsin2A。由正弦定理得sin2A=sinBsinCsin2A,由sinA≠0得sinBsinC=

由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9。①

(2017年課標全國卷Ⅱ)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC面積為2,求b。

分析:利用三角形內角和定理可知A+C=π-B,再利用誘導公式化簡sin(A+C),利用降冪公式化簡sin2結合sin2B+cos2B=1求出cosB。利用(1)中結論B=90°,再應用勾股定理和面積公式求出ac,從而求出b。

解析:(1)根據題意得:sinB=8sin2

因為sin2B+cos2B=1,故16(1-cosB)2+cos2B=1,(17cosB-15)(cosB-1)=0,解得cosB=

(2017年課標全國卷Ⅲ)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2。

(1)求c;

(2)設D為BC邊上一點,且AD⊥AC,求△ABD的面積。

分析:(1)由題意首先求得A=然后利用余弦定理列方程,邊長取方程的正實數根可得c=4。(2)利用題意首先求得△ABD面積與△ACD面積的比值,然后結合△ABC的面積可求得△ABD的面積。

解析:(1)由sinA+A=0得即又故得由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cosA,又a=代入并整理得(c+1)2=25,故c=4。

因為AC⊥AD,即△ACD為直角三角形,則AC=CD·cosC,得CD=7。

三、溫馨提示

1.利用正弦、余弦定理求解三角形面積問題的題型與方法:(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的各個邊角后,直接求三角形的面積;(2)把面積作為已知條件之一,與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他各量;(3)求三角形面積的最值或范圍,這時一般要先得到面積的表達式,再通過均值不等式、三角函數的最值等方法求得面積的最值或范圍。

四、高考真題演練

1.(2017年浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2。點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△BDC的面積是____,cos∠BDC=____。

2.(2017年山東卷)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知求A和a。

參考答案:1

(責任編輯 徐利杰)