N(2,2,0)代數的(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-模糊理想*

傅小波，廖祖華

1.無錫職業技術學院，江蘇 無錫 214121

2.江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122

N(2,2,0)代數的(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-模糊理想*

傅小波1，廖祖華2+

1.無錫職業技術學院，江蘇 無錫 214121

2.江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122

將模糊點和模糊集間的“∈（屬于）”和“q(λ,μ)（廣義重于）”關系推廣為“∈δ（Ω-屬于）”和“（Ω-重于）”關系，提出了-模糊代數。將-模糊代數與N(2,2,0)代數相結合，給出了點態化-模糊理想和Ω(λ,μ)-模糊理想的概念，證明了兩者之間的等價關系，研究了它們的一些基本性質；最后提出了點態化-模糊子代數和Ω(λ,μ)-模糊子代數的定義，研究了-模糊理想和-模糊子代數的相互關系。

N(2,2,0)代數；-模糊理想；-模糊子代數

1 引言

非經典數理邏輯理論是處理不確定性信息的有力工具。近年來，越來越多的學者運用代數學的相關理論研究非經典邏輯。1996年，鄧方安、徐揚從代數學的角度對fuzzy蘊涵代數[1]的蘊涵算子做進一步抽象，提出了N(2,2,0)代數[2]；隨后，眾多學者對N(2,2,0)代數的相關理論做了大量的研究，獲得了許多有意義的結果[3-7]。

1965年，美國控制論專家Zadeh創立了模糊集理論[8]，隨后模糊集的思想和理論引起了眾多學者的關注，并被廣泛地應用于各個領域；1980年，劉應明在文獻[9-10]中給出了模糊點和模糊集間的“∈（屬于）”和“q（重于）”關系，極大地促進了模糊集理論的發展；1992年，Bhakat和Das利用“∈（屬于）”和“q（重于）”關系，在文獻[11]中定義了(∈,∈∨q)-模糊子群。2012年，廖祖華等人將“q（重于）”關系推廣為“q(λ,μ)（廣義重于）”關系，在文獻[12]中引入了(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代數，豐富了模糊集理論，并獲得了許多有意義的結果[13-15]。

2001年，Young等人在文獻[16]中提出了Ω-模糊集，并將其與BCK/BCI代數相結合，給出BCK/BCI代數的Ω-模糊理想的概念。2005年，詹建明等人提出了BCK/BCI代數的Ω-模糊點理想的概念，進一步促進了Ω-模糊集的發展[17]。隨后，彭家寅對Ω-模糊集做了進一步的研究，給出了BCI代數的Ω-模糊p-理想、BCI代數的Ω-模糊H-理想、BCH代數的Ω-模糊正定關聯理想、BCH代數的Ω-模糊點理想等概念[18-21]；2013年，廖祖華等人將Ω-模糊集與群和環相結合，并對相關的性質進行了研究，獲得了許多有意義的結果[22-25]。同時，劉衛鋒將Ω-模糊集應用于布爾代數，給出了Ω-模糊子代數的概念[26]。2015年，湯華晶將Ω-模糊集與軟集理論相結合，提出了Ω-模糊軟環的概念[27]。

本文在上述工作的基礎上，給定一個集合Ω，提出了模糊點和模糊集間的“∈δ（Ω-屬于）”和“（Ω-重于）”關系。若模糊點和模糊集間具有“∈δ（Ω-屬于）”和“（Ω-重于）”關系的代數結構，稱之為(∈δ,∈δ∨)-模糊代數。由定義8及例3可知：若令A(x,δ)=A′(x)，則模糊點和模糊集間的“∈δ（Ω-屬于）”是“∈（屬于）”，“（Ω-重于）”是“（廣義重于）”，此時，(∈δ,∈δ∨)-模糊代數是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代數。在一般情況下，(∈δ,∈δ∨)-模糊代數不一定是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代數。因此，(∈δ,∈δ∨)-模糊代數是一種新的代數結構。本文將(∈δ,∈δ∨)-模糊代數與N(2,2,0)代數相結合，給出了點態化的(∈δ,∈δ∨)-模糊理想和(∈δ,∈δ∨)-模糊子代數的概念，并討論了其相關性質。

2 預備知識

定義1[2]設S是含有常元0的集合，在S中定義二元運算*和Δ，如果?x,y,z∈S，滿足下列條件：

（1）x?(yΔz)=z?(x?y)

（2）(xΔy)?z=y?(x?z)

（3）0?x=x

則稱(S,?,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數，簡稱S是一個N(2,2,0)代數。

若(S,?,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數，則(S,?)和(S,Δ)都是半群，因此N(2,2,0)代數是帶有一對對偶半群的雙半群；若將定義1中的條件（3）0?x=x，加強為0?x=x=x?0，則(S,?,Δ,0)代數是一個交換幺半群，且?=Δ。

例1設S={0,1}，S上的運算*和Δ的定義如表1、表2，則S={0,1}是一個N(2,2,0)代數[2]，同時也是一個交換幺半群。

Table 1 Operator“*”表1 運算“?”

Table 2 Operator“Δ”表2 運算“Δ”

一般情況下，若(S,?,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數，且?≠Δ，則(S,?,Δ,0)不一定是交換幺半群。

例2設S={0,a,b}，S上的運算?和Δ的定義如表3、表4，則S={0,a,b}是一個N(2,2,0)代數[3]，但不是交換幺半群。

Table 3 Operator“*”表3 運算“?”

Table 4 Operator“Δ”表4 運算“Δ”

引理1[2]若S是一個N(2,2,0)代數，則?x,y,z∈S，恒有下列等式成立：

（1）x?y=yΔx；

（2）x?(y?z)=y?(x?z)，(xΔy)Δz=(xΔz)Δy；

（3）(x?y)?z=x?(y?z)，(xΔy)Δz=xΔ(yΔz)。

定義2[3]Q是S的子集，稱Q是S上的一個理想，如果滿足下列條件：

（1）0∈Q；

（2）?x∈Q，若x?y∈Q，則y∈Q。

定義3[15]Q是S的子集，稱Q是S上的一個子代數，如果滿足下列條件：

（1）0∈Q；

（2）?x,y∈Q，有x?y∈Q且yΔx∈Q。

定義4[15]設A是S上的一個模糊子集，稱A是S廣義模糊N(2,2,0)子代數，如果?x,y∈S，滿足下列條件：

（1）A(0)∨λ≥A(x)∧μ；

（2）A(x?y)∨λ≥A(x)∧A(y)∧μ；

（3）A(xΔy)∨λ≥A(x)∧A(y)∧μ。

定義5[15]設A是S上的一個模糊子集，稱A是S的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊N(2,2,0)子代數，如果?t,r∈(λ,1]及?x,y∈S，則有：

（1）若xt∈A，則0t∈∨q(λ,μ)A；

（2）若xt∈A且yr∈A，則(x?y)t∧r∈∨q(λ,μ)A；

（3）若xt∈A且yr∈A，則(xΔy)t∧r∈∨q(λ,μ)A。

引理2[15]A是S的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊N(2,2,0)子代數?A是S的(λ,μ)-模糊N(2,2,0)子代數。

定義6[12]設t,λ,μ∈[0,1]且λ〈μ，A是S上的一個模糊集，若A(x)≥t，則稱xt屬于A，記作xt∈A；若λ〈t且A(x)+t＞2μ，則稱xt廣義重于A，記作xtq(λ,μ)A；若xt∈A或者xtq(λ,μ)A，則記作xt∈∨q(λ,μ)A。

本文從現在開始恒假設λ,μ∈[0,1]且λ〈μ。

定義7[16]設Ω,X是非空給定集合，則稱映射A:X×Ω→[0,1]為X的Ω-模糊集。

3 N(2,2,0)代數的(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-模糊理想

4 N(2,2,0)代數的(∈δ,∈δ∨)-模糊子代數

5 結束語

給定一個集合Ω，提出了模糊點和模糊集間更為廣泛的“∈δ（Ω-屬于）”和“（Ω-重于）”關系的定義，并將其應用于N(2,2,0)代數，給出了(∈δ,∈δ∨)-模糊理想和(∈δ,∈δ∨)-模糊子代數的概念；研究了它們的一些基本性質及相互之間的關系，獲得了一些有學術意義的結論。在后續的工作中，將對(∈δ,∈δ∨)-模糊代數做進一步的研究。

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FU Xiaobo was born in 1980.He is a lecturer at Wuxi Institute of Technology,and the member of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

傅小波（1980—），男，江蘇灌云人，無錫職業技術學院講師，CCF會員，主要研究領域為人工智能，粒計算等。

LIAO Zuhua was born in 1957.He is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

廖祖華（1957—），男，江西奉新人，江南大學教授、碩士生導師，主要研究領域為人工智能，粒計算等。發表學術論文100多篇，主持省部級基金項目多項。

(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-Fuzzy Ideals ofN(2,2,0)Algebras*

FU Xiaobo1,LIAO Zuhua2+
1.Wuxi Institute of Technology,Wuxi,Jiangsu 214121,China
2.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
+Corresponding author:E-mail:liaozuhua57@aliyun.com

In this paper,“Ω-belongs to(∈δ)”and“Ω-quasi-coincident with()”relationships are generalized by the view of“belongs to(∈)”and“quasi-coincident with(q)”relationships between the fuzzy point and the fuzzy set.The definition of-fuzzy algebra is presented.Combining the-fuzzy algebras and theN(2,2,0)algebras,the concepts of pointwise-fuzzy ideals andΩ(λ,μ)-fuzzy ideals are introduced, and the equivalence relationship of this two definitions is discussed.Some basic properties of them are also studied.Finally,this paper proposes the concepts of pointwise-fuzzy subalgebras andΩ(λ,μ)-fuzzy subalgebras, and studies the mutual relationships between-fuzzy ideals and-fuzzy subalgebras.

N(2,2,0)algebra;-fuzzy ideals;-fuzzy subalgebras

10.3778/j.issn.1673-9418.1512084

A

TP18

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.611702121,11401259(國家自然科學基金);the Natural Science Foundation of Jiangsu Province under Grant No.BK2015117(江蘇省自然科學基金);the Scientific Research Subject of Wuxi Institute of Technology under Grant No.3116015931(無錫職業技術學院科研課題).

Received 2015-12,Accepted 2016-03.

CNKI網絡優先出版:2016-03-17,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160317.1129.002.html

FU Xiaobo,LIAO Zuhua.(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-fuzzy ideals ofN(2,2,0)algebras.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(2)：323-332.