聚焦圓中角的應用

文/王宗俊

聚焦圓中角的應用

文/王宗俊

在圓中，圓心角與圓周角是最常見的角.它們與弦、弧和扇形面積的聯(lián)系比較密切，是中考命題的重點.下面以2016年的中考題為例，說明圓中角的各種應用.

一、求角的大小

1.利用圓心角求圓周角

例1（2016年紹興卷）如圖1，BD是⊙O的直徑，點A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，則∠BDC的度數(shù)是（）

A．60°．B．45°．C．35°．D．30°．

溫馨小提示：“在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”是解題的有力工具.

圖1

2.利用圓周角求圓心角

例2（2016年黔西南卷）如圖2，△ABC的頂點均在⊙O上，若∠A=36°，則∠BOC的度數(shù)為（）

A．18°．B．36°．C．60°．D．72°．

解析：由圖2得∠BOC=2∠A=72°．選D．

溫馨小提示：這類題目不難，直接利用圓周角定理求解.

圖2

3.利用直徑所對的圓周角是直角求角

例3（2016年眉山卷）如圖3，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑．若∠D=32°，則∠OAC=（）

A．64°．B．58°．C．72°．D．55°.

解析：∵BC是直徑，∠D=32°，

∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．

∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=32°，

∴∠OAC=∠BAC-∠BAO=90°-32°=58°．選B．

溫馨小提示：當圓中有直徑時，通常根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”解題．

圖3

4.利用圓內(nèi)接四邊形對角互補求角

例4（2016年來賓卷）如圖4，在⊙O中，點A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，則∠α=．

∵四邊形ACBD內(nèi)接于⊙O，∠C=110°，

∴∠ADB=180°-∠C=180°-110°=70°，

∴∠AOB=2∠ADB=2×70°=140°．填140°．

溫馨小提示：構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)求解.

圖4

5.利用圓心角、圓周角求其他角

例5（2016年湖州卷）如圖5，圓O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，∠A=25°，過點C作圓O的切線，交AB的延長線于點D，則∠D的度數(shù)是（）

A．25°．B．40°．C．50°．D．65°．

解析：連接OC，∵圓O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，∴AB是直徑，

∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD是圓O的切線，∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠BOC=40°．選B．溫馨小提示：見切線，連半徑，可構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)可求角、邊等．

圖5

二、求弦長

例6（2016年陜西卷）如圖6，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC.若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為（）

圖6

解析：過點O作OD⊥BC于D，則BC=2BD，

∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補，

∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，

∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，

溫馨小提示：常通過作輔助線，如連接半徑，過圓心作垂直于弦的直徑或半徑，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理解題.

三、求弧長

例7（2016年遵義卷）如圖7，半圓的圓心為O，直徑AB的長為12，C為半圓上一點，∠CAB=30°，則的長是（）

A.12πB.6πC.5πD.4π

解析：如圖7，連接OC，∵∠CAB=30°，

∴∠BOC=2∠CAB=60°，∴∠AOC=120°．

又直徑AB的長為12，∴OA=6，

圖7

四、求面積

例8（2016年濰坊卷）如圖8，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=，以直角邊AC為直徑作⊙O交AB于點D，則陰影部分的面積是（）

解析：連接OD、CD．

∵AC是直徑，∴∠ADC=90°，

∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，

∵OC=OD，∴△OCD是等邊三角形，

圖8