矩形創新題分類解答

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矩形創新題分類解答

文/張運虎

矩形是中考的必考內容.近年來，有關矩形問題的創新題很多.為幫助你熟悉新題型，迎接新挑戰，現以2016年中考題為例，歸納這類問題的解法，供你學習時參考.

圖1

一、開放型

例1（2016年龍東卷）如圖1，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點E，使DE=AD，連接EB，EC，DB，請你添加一個條件，使四邊形DBCE是矩形．

解：添加蟻ADB=90°或EB=DC.

二、分割型

例2（2016年益陽卷）將一矩形紙片沿一條直線剪成兩個多邊形，那么這兩個多邊形的內角之和不可能是（）

A．360°.B．540°.C．720°.D．900°.

解析：如圖2，在以下三種情況中，兩個多邊形的內角和分別是720°、540°、360°．選D．

圖2

三、折疊型

例3（2016年十堰卷）如圖3，將矩形紙片ABCD（AD＞AB）折疊，使點C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設折疊后點C，D的對應點分別為點G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點E，F.

（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結論；

圖3

（2）若AB=3，BC=9，求線段CE的取值范圍．

證明：（1）四邊形CEGF為菱形.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴GF∥EC，∴蟻GFE=蟻FEC，

∵圖形翻折后點G與點C重合，EF為折線，

∴蟻GEF=蟻FEC，∴蟻GFE=蟻FEG，∴GF=GE，

∵圖形翻折后EC與GE完全重合，∴GE=EC，∴GF=EC，

∴四邊形CEGF為菱形.

解：（2）如圖4，當F與D重合時，CE取最小值，

由（1）可知，四邊形CEGD是菱形，∴CE=CD=AB=3；

如圖5，當G與A重合時，CE取最大值，

由折疊的性質得AE=CE，∴AE2=AB2+BE2，

即CE2=32+（9-CE）2，∴CE=5，

∴線段CE的取值范圍是3≤CE≤5．

圖4

圖5

四、說理型

例4（2016年衢州卷）如圖6，已知BD是矩形ABCD的對角線．

（1）用直尺和圓規作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；

（2）連接BE，DF，判斷四邊形BEDF的形狀，請說明理由.

解：（1）如圖6所示，EF為所求直線.

（2）四邊形BEDF為菱形.證明如下：

∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，蟻DEF=蟻BEF，

∵AD∥BC，∴蟻DEF=蟻BFE，

∴蟻BEF=蟻BFE，∴BE=BF，

∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四邊形BEDF為菱形．

圖6

五、閱讀型

例5（2016年青島卷）問題提出：如何將邊長為n（n≥5，且n為整數）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形是指邊長分別為a，b的矩形）？

問題探究：我們先研究解決簡單的問題，再把復雜問題轉化為已解決的問題．

探究一：如圖7，當n=5時，可將正方形分割為五個1×5的矩形；

如圖8，當n=6時，可將正方形分割為六個2×3的矩；

如圖9，當n=7時，可將正方形分割為五個1×5的矩形和四個2×3的矩形；

如圖10，當n=8時，可將正方形分割為八個1×5的矩形和四個2×3的矩形；

如圖11，當n=9時，可將正方形分割為九個1×5的矩形和六個2×3的矩形.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

探究二：當n=10，11，12，13，14時，分別將正方形按下列方式分割：

所以，當n=10，11，12，13，14時，均可分割為一個5×5的正方形、一個（n-5）×（n-5）的正方形和兩個5×（n-5）的矩形．5×5的正方形和5×（n-5）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-5）×（n-5）表示邊長分別為5，6，7，8，9的正方形，由探究一知可分割為1×5或2×3的矩形．

探究三：當n=15，16，17，18，19時，分別將正方形按下列方式分割：

請按照上面的方法，分別畫出邊長為18，19的正方形的分割圖．

所以，當n=15，16，17，18，19時，均可分割為一個10×10的正方形、一個（n-10）×（n-10）的正方形和兩個10×（n-10）的矩形．10×10的正方形和10×（n-10）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-10）×（n-10）表示邊長分別為5，6，7，8，9的正方形，由探究一知可分割為1×5或2×3的矩形．

問題解決：如何將邊長為n（n≥5，且n為整數）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？請畫出分割示意圖，并加以說明．

實際應用：如何將邊長為61的正方形分割為1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法畫出分割圖）

解：探究三：邊長為18，19的正方形分割如圖12.

問題解決：若5≤n＜10時，如探究一．

若n≥10，設n=5a+b，其中a、b為正整數，5≤b＜10，則分割如圖13所示，均可將正方形分割為一個5a×5a的正方形、一個b×b的正方形和兩個5a×b的矩形．顯然，5a×5a和5a×b均可分割為1×5的矩形，而b×b表示邊長分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形．

問題解決：邊長為61的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形，如圖14．

圖12

圖13

圖14