一種新的被控混沌系統抗干擾控制器設計方法

王 頎，王銀河

(廣東工業大學 自動化學院，廣州 510006)

一種新的被控混沌系統抗干擾控制器設計方法

王 頎，王銀河

(廣東工業大學 自動化學院，廣州 510006)

針對一類動態混沌系統，在干擾幅值增大而影響被控混沌系統鎮定的情況下，提出了一種利用補償控制系統(敏感系統)抑制干擾幅值影響的控制設計方法. 這種方法首先將該敏感系統與原被控混沌閉環系統互聯，然后通過設計敏感系統的自適應狀態反饋控制器，以保證被控混沌閉環系統在干擾幅值增加的情況下仍能夠漸近保持原有的穩定性；最后，通過仿真實例進一步驗證了文章結論的有效性。

混沌系統; 漸近穩定; 干擾幅值抑制

0 引言

在控制理論研究領域，混沌作為非線性動態系統的一種狀態行為表現，其特性與控制策略已經在諸如生物、經濟、通訊等領域中得到廣泛應用[1-3]。一方面混沌自身所具有的偽隨機特性與同步控制相結合可以產生信號保密傳輸的方法[4]，另一方面，混沌的非線性特性往往會導致被控系統失穩，因此在一些工程應用中，鎮定混沌系統成為首要任務，其中利用狀態反饋方法鎮定混沌系統是一種常用的方法[1,5-8]。值得注意的是，系統運行過程中往往還會受各種干擾的影響，干擾強度的增加也會導致閉環系統失穩，例如，一個穩定的閉環網絡在受到外界干擾時會失去穩定[9]；磁懸浮列車在轉彎時，受到各種載荷干擾嚴重時同樣會導致系統的失穩[10]；文獻[11-12]也討論了穩定的系統在受到外界干擾時會失去穩定。因此，如何設計一種能夠抑制干擾的控制器以保證閉環系統穩定運行是一個值得研究的問題。

干擾抑制是控制理論中的基礎問題，該問題是1976年首先由Francis和Wonham針對線性系統提出[13]。隨后，干擾抑制問題擴展到了非線性系統的情形[14-17]。這些研究都假定了干擾源遵循某種已知的動態方程。但是，在實際工程中，確定干擾源的動態方程往往是比較困難的，因此，在干擾源動態方程未知的情況下如何設計一種能夠抑制干擾的控制器以保證閉環系統穩定運行是完全必要的。

本文針對一類動態混沌系統，在干擾頻率不變而幅值增加的情形下，在原有線性反饋穩定控制的基礎上，提出一種新的干擾抑制控制方法，其特點在于當被控閉環系統受到外界干擾幅值增大而失去穩定時，通過將一個帶有控制的敏感系統與原系統互聯的方式，使閉環系統重新恢復穩定。

本文的安排如下：第一節中，我們給出了一類混沌系統的動態方程以及線性反饋穩定控制器的表達形式，提出在外界干擾幅值增大的作用下，閉環混沌系統失穩的問題。第二節中，我們給出了敏感系統的動態方程形式以及它與被控混沌系統的連接方式。第三節中，在一些假設條件下給出了干擾抑制控制器的形式，并嚴格證明了在外界干擾幅值增大時，敏感系統與被控混沌系統構成的互聯閉環混沌系統保證了被控混沌系統的穩定性。最后，第四節我們通過一個例子來驗證該方法的有效性。

1 提出問題

考慮如下形式的混沌系統：

(1)

注意到混沌系統(1)可視為一類非線性系統，因此，鎮定混沌系統是穩定性理論研究中的首要任務，其中，利用狀態反饋控制器鎮定混沌系統是常用的方法之一。為此，混沌系統(1)可以改寫為如下形式：

(2)

其中：uk∈Rq為控制輸入，Bk∈Rn×q為已知的控制增益矩陣。

在狀態反饋控制器中，線性反饋控制器不僅簡單而且易于物理實現，因此本文采用如下線性控制器uk：

uk=Kx

(3)

由系統(2)與控制器(3)形成的閉環系統為：

(4)

(5)

2 系統模型描述與敏感系統設計

考慮如下形式的敏感系統：

(6)

其中：狀態向量ω∈W?Rm，W有界閉集；v=v(t)∈R是連續的有界干擾；A∈Rm×m是Hurwitz矩陣，B∈Rm是實矩陣；r=(r1r2…rm)T∈Rm是設計常向量；us∈Rm是敏感系統的控制輸入。

將敏感系統(6)與系統(5)互聯形成如下組合系統：

(7a)

(7b)

為敘述方便起見，系統(7b)稱為目標系統，系統(7a)稱為系統(7b)的敏感系統。

為了方便敘述，將組合系統(7)在干擾由v變為pv前后的動態模型統一表示為：

(8a)

(8b)

3 敏感系統控制器設計

引入下列誤差量：

(9a)

(9b)

將(9a)和(9b)兩邊分別對時間求導，利用(8)式可得：

(10a)

(10b)

(11a)

(11b)

(11c)

(12)

假設4:(i)對于(8)式中所描述的動態系統，n≤m，即敏感系統的維數不小于目標系統的維數; (ii)存在兩個正定矩陣Qi、一個n×m的行滿秩矩陣Γ以及正數λi,μi,i=1,2，滿足下式：

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

其中:Ii,i=1,2是維數匹配的單位陣;S≤0(S>0)表示矩陣S是負半定(正定)的；λmin(*)表示矩陣*最小的特征值；

(14)

(15)

定義1:設Θ為一列向量，定義如下向量函數Sign(Θ)：

(16)

通過上述定義1，可以知道ΘTSign(Θ)=Θ。當p≠1，利用定義1中的函數，可以設計(8)式中的us：

us=

(17a)

(17b)

定理1:考慮動態方程(8)。如果假設1-假設4成立，那么在帶有自適應律(17b)的控制器(17a)的作用下有下式成立：

(18a)

(18b)

證明：考慮閉環系統(12)，式中us(t)的值如(17)式中所示。

(19)

假設4:意味著下式成立：

(20)

將(20)式代入(19)中，可得：

(21a)

如果θ≠0，聯立(15)、(21a)以及(17a)和(17b)，可得：

(21b)

如果θ=0，由(15)式以及(17a)、(17b)式，顯然可得：

(21c)

注1： 利用定理1解決混沌閉環穩定系統(4)的受擾系統(5)漸近恢復穩定的步驟如下：

步驟1：構造敏感系統(6)，并將其與系統(5)互聯形成組合系統(7)；

步驟2：驗證假定1-4，若假定1-4成立則進行下一步，否則本文方法失效；

步驟4：構造帶有自適應律(17b)的控制器(17a)。

4 仿真實例

考慮如下Lorentz混沌系統[22]：

(22)

其中：

圖1 Lorentz混沌系統相位圖

圖2 Lorentz混沌系統狀態時間響應圖

為Lorentz混沌系統(22)設計線性狀態反饋控制器uk：

uk=Akx

(23)

控制器(23)與Lorentz混沌系統(22)形成的閉環系統為：

(24)

線性狀態反饋控制器(23)保證了閉環系統(24)的穩定性，如圖3所示。

圖3 線性狀態反饋控制器(23)作用下閉環系統狀態時間響應

上圖表明在線性狀態反饋控制器(23)的作用下，可以使閉環系統穩定。但是在閉環系統(24)受到外界干擾v=p[|sin(100t)|+1]作用時，若幅值p過大會導致失穩，如圖4(p=400)。

圖4 閉環系統(24)受大幅值p=400干擾時的狀態時間響應曲線

圖4表明，當閉環系統(24)受到的干擾幅值增大到一定程度后，線性狀態反饋控制器(23)不能鎮定混沌系統。此時，為了使閉環系統(24)依然保持穩定，考慮形如(6)的敏感系統，將其與閉環系統(24)互聯形成如下組合系統：

(26a)

(26b)

圖5 p=400時敏感系統(26a)狀態響應

圖6 p=400時目標系統(26b)的狀態響應

圖5表明，當混沌閉環系統(24)受到的干擾幅值在t=5時從p=1突變到p=400，控制器up(t)能夠使閉環系統漸近恢復穩定。

5 結論

本文針對一類混沌系統，提出了一種能夠抑制干擾幅值變化而恢復穩定的控制策略。當混沌系統不受干擾時，可以使用極點配置方法和非線性系統近似線性化方法設計線性狀態反饋控制器使其鎮定。一般情況下，當鎮定系統受到幅值較小的干擾時，僅僅依靠線性控制器仍然可以保持系統的穩定。但是，當干擾的幅值增大時，線性狀態反饋控制器不能使系統保持穩定。在這種情況下，引入一個帶有控制器的敏感系統與原系統互聯，構成一個組合系統，使得當原鎮定系統遭遇較大幅值的干擾時仍然能夠保證其漸近恢復穩定。

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A New Disturbance Rejection Control Scheme for a Class of Controlled Dynamic Chaotic Systems

Wang Qi，Wang Yinhe

(School of Automation, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006,China)

By employing the compensation system (sensitive system), the control scheme for disturbance amplitude rejection is proposed in this paper for a class of controlled dynamic chaotic systems in the case of disturbance amplitude increase. The control design first interconnects the controlled dynamic chaotic system with the sensitive system to form the interconnection system, then the adaptive state feedback controller is synthesized for the sensitive system to asymptotically guarantee the original stability of the controlled dynamic chaotic systems with disturbance amplitude increase. Finally, the demonstration of effectiveness is given in this paper by simulation example.

chaotic systems; asymptotical stability; disturbance amplitude rejection

2016-07-30；

2016-09-06。

王 頎(1993-),男,山西長治人,碩士,主要從事非線性系統控制方面的研究。

王銀河(1962-),男,內蒙古包頭人,教授,博士生導師,主要從事非線性控制系統魯棒自適應控制設計、復雜網絡等方向的研究。

1671-4598(2017)01-0076-06

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.01.022

TK323

A