Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)分析及電路實(shí)現(xiàn)

曹滿婷, 宋菲菲

(燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)分析及電路實(shí)現(xiàn)

曹滿婷, 宋菲菲

(燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

采用Melnikov方法，對(duì)廣泛使用的Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行了分析。通過Matlab軟件實(shí)現(xiàn)了數(shù)值仿真分析，利用Multisim實(shí)現(xiàn)了電路仿真分析。設(shè)計(jì)制作了Duffing混沌實(shí)際電路板，通過調(diào)試得到了較為理想的檢測(cè)性能。電路試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)可以通過電子線路實(shí)現(xiàn)。該系統(tǒng)對(duì)Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的實(shí)際工程應(yīng)用具有促進(jìn)作用，對(duì)其他混沌弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域的進(jìn)一步研究具有較高的參考價(jià)值。

Duffing系統(tǒng); 混沌算法; Matlab; 抗噪性; 高斯分布; 瑞利分布; 色噪聲

0 引言

當(dāng)信號(hào)較微弱并且被淹沒在強(qiáng)噪聲環(huán)境中時(shí)，要提取真實(shí)的信號(hào)是相當(dāng)困難的。傳統(tǒng)微弱信號(hào)檢測(cè)使用時(shí)域的方法，設(shè)備比較復(fù)雜。雖然檢測(cè)方法和儀器實(shí)現(xiàn)技術(shù)日趨成熟，但是信噪比門限值較高、設(shè)備昂貴，這大大限制了傳統(tǒng)微弱信號(hào)檢測(cè)的應(yīng)用范圍。與傳統(tǒng)弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)相比，混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的信噪比和檢測(cè)門限可以達(dá)到更低的數(shù)量級(jí)。目前廣泛使用的Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)由于很難通過電路實(shí)現(xiàn)，妨礙了它在弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域的應(yīng)用。為了克服上述Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的不足，本文分析了Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的性能，并設(shè)計(jì)、制作了相應(yīng)的電路[1-6]。

1 Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)性能理論分析

Duffing混沌系統(tǒng)是目前典型的、使用廣泛的混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)。Duffing系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)方程如下：

(1)

令a=1、b=1，則Holmes型Duffing公式為：

(2)

式中：k為阻尼比，令k=0.5；x-x3為非線性恢復(fù)力。

式(2)是一個(gè)哈密頓(Hamilton)系統(tǒng)，其哈密頓量表達(dá)式為：

(3)

當(dāng)策動(dòng)力幅值r=0時(shí)：

(4)

解得三個(gè)奇點(diǎn)為(0，0)、(1，0)、(1，0)。設(shè)系統(tǒng)的特征根為λ，系統(tǒng)特征方程為：

(5)

即：

λ2=1-3x2

(6)

此時(shí)，方程組可化為如下形式：

(7)

因?yàn)楸磉_(dá)式x-x3中包含因子y，所以(0，0)為孤立奇點(diǎn)，也可以寫成：

(8)

因?yàn)閍n=1、h(x)=-x2、n=1，則(0，0)的性質(zhì)由n決定。因?yàn)閚=1=2×0+1，則根據(jù)Briot-Bouquet引理可知：當(dāng)a2×0+1>1時(shí)，奇點(diǎn)(0，0)為鞍點(diǎn)。由上述分析可知，當(dāng)系統(tǒng)的哈密頓量h=0時(shí)，存在兩條連結(jié)雙曲鞍點(diǎn)的同宿軌道。

(9)

當(dāng)策動(dòng)力幅值r不為0時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)形態(tài)。當(dāng)r較小時(shí)，相點(diǎn)在兩焦點(diǎn)附近作周期振動(dòng)。隨著r的增大，系統(tǒng)遍歷同宿軌道、倍周期分岔軌道、混沌軌道；當(dāng)r超過一定閾值時(shí)，系統(tǒng)為大周期軌道。

1.2 系統(tǒng)性能分析

通過相圖觀察及大量仿真，得出系統(tǒng)的策動(dòng)力臨界值為0.826 59。隨著r的不斷增大，系統(tǒng)相平面輸出x、y經(jīng)歷同宿軌道、倍周期分岔、混沌狀態(tài)以及大周期狀態(tài)。從Duffing系統(tǒng)隨時(shí)間變化的x、y時(shí)序圖、龐加萊映射圖以及隨頻率變化的功率譜圖和隨r變化的分岔圖可得:系統(tǒng)的時(shí)序圖無序，龐加萊映射圖中有成片的、分形的密集離散點(diǎn)，功率譜連續(xù)。由此可知，Duffing系統(tǒng)是一個(gè)典型的二階混沌系統(tǒng)。由分岔圖可知，Duffing系統(tǒng)在隨策動(dòng)力幅值r逐漸增大的過程中，相點(diǎn)經(jīng)歷“周期振動(dòng)-混沌-大周期”的狀態(tài)。

Duffing系統(tǒng)弱信號(hào)檢測(cè)原理是利用相軌跡分析法，觀察相軌跡是否從混沌狀態(tài)變?yōu)榇笾芷跔顟B(tài)，從而判斷是否有微弱正弦信號(hào)。具體檢測(cè)過程為：檢測(cè)信號(hào)前，先調(diào)節(jié)幅值r，使變量x或y的輸出電壓為混沌波形且接近混沌到大周期的臨界狀態(tài)。如果外部輸入同頻率的弱正弦(或余弦)波電信號(hào)，之后外部輸入微弱正弦波信號(hào)的幅值和r相加，使x或y輸出的電壓波形越過臨界點(diǎn)。當(dāng)相點(diǎn)從混沌波形變?yōu)榇笾芷诓ㄐ危硎緳z測(cè)到一個(gè)同頻率的微弱正弦波信號(hào)[7-8]。

1.3 不同包絡(luò)信號(hào)敏感度分析

由于實(shí)際測(cè)量中接收到的信號(hào)幅值會(huì)有一定變化，以下從指數(shù)分布、高斯分布、瑞利分布三種分布情況進(jìn)行研究。幅值為指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為：

(10)

式中：λ>0，且為常數(shù)，取λ為0.003。將系統(tǒng)設(shè)置為臨界振蕩狀態(tài)，加入指數(shù)分布的同頻信號(hào)，則可以看到系統(tǒng)由混沌狀態(tài)變?yōu)榇笾芷跔顟B(tài)。

Duffing系統(tǒng)加入指數(shù)分布包絡(luò)信號(hào)后的輸出狀態(tài)如圖1所示。

圖1 輸出狀態(tài)圖

高斯分布的概率密度函數(shù)為：

(11)

式中：σ>0,σ=200;a為常數(shù),取a=500。

高斯分布曲線如圖2所示。

圖2 高斯分布曲線

瑞利分布的概率密度函數(shù)為：

(12)

式中：x≥0；σ為常數(shù)，取σ=300。

瑞利分布曲線如圖3所示。

圖3 瑞利分布曲線

以上分析表明：Duffing系統(tǒng)對(duì)弱信號(hào)極其敏感，適用于微弱信號(hào)檢測(cè)。

1.4 信噪比分析

微弱信號(hào)檢測(cè)的主要目的是提高信噪比。對(duì)于傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法，如果信號(hào)頻帶和噪聲頻帶重疊，則在抑制噪聲的同時(shí)將不可避免地?fù)p害有用信號(hào)，甚至采用窄帶化技術(shù)也未必奏效。接下來分析Duffing系統(tǒng)的信噪比。

1.4.1 加入白噪聲

先將系統(tǒng)設(shè)置為臨界振蕩狀態(tài)，加入均值為0、方差為0.001的高斯白噪聲，結(jié)果表明，噪聲并不影響其混沌特性，只是變粗糙了。

將Duffing系統(tǒng)調(diào)節(jié)為臨界狀態(tài)，此時(shí)加入幅值為0.000 1的待測(cè)信號(hào)，同時(shí)加入均值為0、方差為10-6的高斯白噪聲，結(jié)果表明，噪聲并不影響其變?yōu)榇笾芷凇?/p>

1.4.2 加入色噪聲

采用方差為1、均值為0的高斯白噪聲，通過一個(gè)四階帶通濾波器產(chǎn)生高斯色噪聲。

該濾波器的傳遞函數(shù)為：

H(z)=[0.020 1(1-2z-2+z-4)]/(1-1.637z-1+2.237z-2-1.307z-3+0.641z-4)

(13)

該濾波器的上限截止頻率為0.2Hz，下限截止頻率為0.15Hz(均為歸一化角頻率)。

高斯色噪聲的功率為：

(14)

首先令噪聲放大器的增益u=1，待測(cè)正弦信號(hào)放大器的增益u=0，此時(shí)只加入內(nèi)部正弦信號(hào)。調(diào)節(jié)系統(tǒng)內(nèi)置信號(hào)的幅值f=fd，此時(shí)，該系統(tǒng)處于混沌臨界狀態(tài)。

加入色噪聲后，由系統(tǒng)的相平面軌跡圖可知，系統(tǒng)的相軌跡仍處在混沌狀態(tài)。雖然噪聲比較強(qiáng)，但是混沌吸引子仍然能夠?qū)⑾帱c(diǎn)束縛在軌道內(nèi)，說明混沌系統(tǒng)對(duì)噪聲具有免疫力。當(dāng)所增加的噪聲強(qiáng)度達(dá)到一定值時(shí)，系統(tǒng)的相軌跡出現(xiàn)了毛刺，但是仍然處于混沌狀態(tài)，如圖4所示。使待測(cè)正弦信號(hào)增益放大器為1，調(diào)節(jié)待測(cè)正弦信號(hào)的幅值為1nV，調(diào)節(jié)高斯噪聲發(fā)生器的方差，使其方差為1×10-8，此時(shí)可以觀測(cè)到相平面的軌跡為大尺度周期狀態(tài)，如圖5所示[9]。

圖4 增大色噪聲的相圖

圖5 方差為1×10-8的相圖

當(dāng)輸入色噪聲的功率為1×10-9W時(shí)，Duffing混沌檢測(cè)系統(tǒng)的最低檢測(cè)下限為20lg(1×10-9)=-180dB，檢測(cè)信噪比下限為：

(15)

混沌系統(tǒng)對(duì)噪聲有免疫力，而對(duì)周期信號(hào)卻很敏感，表現(xiàn)為周期信號(hào)可以使處于混沌狀態(tài)的相軌跡發(fā)生變化。

2 電路實(shí)現(xiàn)

利用Multisim進(jìn)行電路仿真，設(shè)計(jì)中所有元件均采用真實(shí)元器件型號(hào)，應(yīng)盡可能使仿真結(jié)果與實(shí)際電路保持高度一致性。運(yùn)算放大器選擇偏置電流為2～100pA、輸入失調(diào)電壓為2～9mV的ADTL084，乘法器選擇精確度較高的AD734，電容選擇漏電小的薄膜電容[10-11]。

使用Duffing仿真電路進(jìn)行試驗(yàn)，調(diào)節(jié)系統(tǒng)閾值為0.825 56。然后，加入微弱待測(cè)信號(hào)：策動(dòng)力為6 366.2Hz、幅值為0.84V的正弦波，在t為6～14ms、22～36ms及40～45ms的時(shí)刻加入6 366.2Hz的0.01V正弦波。當(dāng)加入待測(cè)信號(hào)后，系統(tǒng)變?yōu)榇笾芷跔顟B(tài)。經(jīng)過多次調(diào)試與檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，加入不同頻率的待測(cè)信號(hào)后，系統(tǒng)有時(shí)對(duì)其并不是很敏感，需要延遲一段時(shí)間后才會(huì)變?yōu)榇笾芷凇５强梢曰掘?yàn)證Duffing混沌系統(tǒng)在有弱正弦信號(hào)輸入時(shí)，混沌波形由混沌態(tài)變?yōu)榇笾芷跔顟B(tài)，說明Duffing混沌系統(tǒng)具有一定的弱信號(hào)檢測(cè)特性。

根據(jù)Duffing混沌仿真電路設(shè)計(jì)，后期又制作了實(shí)際Duffing混沌電路板，進(jìn)一步證明Duffing混沌系統(tǒng)弱信號(hào)檢測(cè)的可行性，對(duì)檢測(cè)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值。

3 結(jié)束語

利用Melnikov方法，對(duì)Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行了理論分析。利用Matlab仿真軟件，分析了Duffing系統(tǒng)的相平面圖、時(shí)序、龐加萊、功率譜和分岔圖等系統(tǒng)特性以及系統(tǒng)對(duì)指數(shù)、高斯和瑞利不同包絡(luò)信號(hào)的敏感度。分析了白噪聲和色噪聲對(duì)系統(tǒng)的抗干擾性能，利用Multisim實(shí)現(xiàn)了電路仿真分析，設(shè)計(jì)制作了Duffing混沌電路板，并通過調(diào)試得到了較為理想的檢測(cè)性能。試驗(yàn)結(jié)果對(duì)Duffing混沌弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的實(shí)際工程應(yīng)用具有促進(jìn)作用。

[1] 聶春燕,徐振忠.混沌系統(tǒng)在弱信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用[J].傳感器與微系統(tǒng)，2003,22(1):55-57.

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Analysis and Circuit Implementation of the Duffing Chaotic Weak Signal Detection System

CAO Manting, SONG Feifei

(Key Lab of Industrial Computer Control Engineering of Hebei Province，Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

The widespread used Duffing chaotic weak signal detection system are analysed by the Melnikov method.The numerical simulation analyses are been done by Matlab software.The circuit simulation analyses are been done by using Multisim software.The Duffing chaotic circuit board is designed and producted.The ideal detection performance has been gotten through the debugging.These verify that the Duffing chaotic weak signal detection system can be realized by electronic circuit.They has a role in promoting the Duffing chaotic weak signal detection system to the actual engineering application and has the high reference value for the further research in the field of weak signal detection of other chaotic signals.

Duffing system; Chaotic algorithm; Matlab; Noise immucnity; Gaussian distrtution; Rayleigh distribustion; Colored noise

曹滿婷(通信作者)，女，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師,主要從事計(jì)算機(jī)控制、混沌控制相關(guān)技術(shù)的研究及應(yīng)用工作。E-mail:cat@ysu.edu.cn。

TH7;TP2

A

10686/j.cnki.issn 1000-0380.201701019

修改稿收到日期:2016-06-19