側壓對材料有效壓縮模量的影響

崔 崧, 陳嵐峰, 張治國

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

側壓對材料有效壓縮模量的影響

崔 崧, 陳嵐峰, 張治國

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

損傷力學是固體力學的一個分支,是材料變形與破壞理論的重要組成部分。損傷力學的研究方法有宏觀和細觀之分,宏觀方法更便于工程實際的應用,而細觀方法有著更為清晰的物理背景。復雜應力狀態下裂紋面間的正應力和剪應力的分析是損傷力學中經常涉及的問題,可以用宏觀損傷理論分析側壓條件下裂紋面的閉合應力,從而得到裂紋面間的正應力,然后在彈性力學理論的基礎上,利用細觀力學分析中的某種平均化方法,推導出脆性和準脆性材料沿裂紋面法線方向的壓縮應力-應變本構關系,同時可得到側壓條件下材料的有效壓縮模量。計算結果表明,側壓和裂紋面的閉合應力對材料的壓縮楊氏模量有一定的影響。由該理論得到的裂紋面間的正應力可知裂紋面間的剪應力,由此可分析考慮摩擦效應的有效剪切模量。

損傷力學; 彈性力學; 側壓; 裂紋面; 楊氏模量

0 引 言

損傷力學是經典固體理論的重要補充和發展,它的研究方法主要有2種,一種是宏觀的唯象學方法[1-4],一種是細觀分析法[5-8],2種方法各有其優缺點,將宏觀和細觀相結合的損傷理論是損傷力學今后發展的一個趨勢,而且可以較好地解釋復雜加載狀態材料的力學行為。

含缺陷材料裂紋面間的正應力與剪應力可能會顯著影響材料的各項機械性能,其中裂紋面間的正應力不僅與材料的壓縮楊氏模量密切相關,而且還影響裂紋面間剪應力的大小,從而影響材料的剪切模量。對于一個含裂紋并且沿裂紋方向受側壓的單元體,先用唯象損傷力學理論可分析出裂紋的閉合應力,再用彈性力學理論并結合細觀法的平均化思想,可得到壓應力作用下的應力應變本構關系,進而可知沿裂紋面法線方向的有效壓縮模量,此結論適用于脆性和準脆性材料。

1 側壓作用下的單元體裂紋面間的正應力

對于裂紋面間的正應力,很多文獻處理得都較為簡單,例如文獻[9]認為當裂紋面法線方向的遠場應力為拉應力時,裂紋面間正應力為0,當遠場應力為壓應力時,裂紋面間正應力值為遠場應力值。這種處理方法在復雜載荷狀態下可能會有一定誤差,對此可作一些改進。

圖1 含一條裂紋的單元體Fig.1 Element with one crack

考慮如圖1所示的平面應力下含一條裂紋的單元體,裂紋沿x軸。若裂紋張開,則單元體的應力應變本構關系為[10]

(1)

(2)

2 含裂紋單元體壓縮本構關系的細觀描述

考慮一個如圖2所示的內部含一條裂隙的無限大薄板,其中,裂隙沿x軸方向,長度為2a。薄板遠端在x軸方向作用有固定均布壓力q1,在此條件下在y軸方向的遠端施加逐漸增加的壓應力q2。在薄板上以裂紋為中心截取一單元體,其長度為2l,高度為2h,如圖3所示。

圖2 遠端受雙軸壓縮載荷的薄板

圖3 中心含裂紋的單元體

薄板上各點的位移可由彈性理論中的復變函數表示式[11-12]

(3)

求出,其中φ1(z)、ψ1(z)為變量z=x+iy的復變函數。

當q2≥μq1時,由式(2)可知裂紋面有正應力q3,且q3=q2-μq1,薄板在應力邊界條件q2、q3下式(3)中的復變函數φ1(z)、ψ1(z)的表達式[11]的疊加形式為

(4)

將式(4)代入式(3),可以得出在各點(x,y)的位移u和v,其中沿y軸方向的位移可簡化為

(5)

其中函數f2(x,y)只是點坐標的函數,與薄板所加載荷無關,其量綱是長度單位。利用式(5),可知圖3所示單元體邊界y=h上各點位移v(x,h)=μq1·f2(x,h)/E+q2·h/E,該邊界的平均位移可寫為

由上式,可得單元體沿y軸方向的總體線應變

利用上式,可以推導出有側壓q1前提下單元體壓縮應力應變本構關系為

(6)

當q2<μq1時,裂紋面張開,式(6)則變為

(7)

圖/E隨q2變化的關系曲線

圖5 不同裂紋尺寸下/E與q2的關系曲線

3 結 語

利用彈性力學理論和細觀力學分析方法,得到了有側壓條件下的脆性材料有效壓縮模量的公式,其中裂紋面間正應力在表達式中起著重要的作用。該理論不僅可以分析和計算材料的有效壓縮模量,還可用于有關裂紋面間摩擦效應方面的研究[14-15],從而可分析復雜加載條件下有著任意分布裂紋材料的各項有效彈性模量。

[ 1 ]KRAJCINOVIC D,FONSEKA G U. The continuous damage theory of brittle materials[J]. J Appl Mech, 1981,48(4):809-824.

[ 2 ]TALREJA R. Damage development in composites: Mechanics and model[J]. J strain Anal Eng, 1989,24(4):215-222.

[ 3 ]CHOW C L, WANG J. An anisotropic theory of elasticity for continuum damage mechanics[J].Int J Fract, 1987,33(1):3-16.

[ 4 ]SWOBODA G,YANG Qiang. An energy-based damage model of geomaterials (part 1 and part 2)[J]. Int J Sol S, 1999,36(12):1719-1755.

[ 5 ]BENVENSITE Y. On the Mori-Tanaka’s method in cracked solids[J]. Mech Res Comm, 1986,13(4):193-201.

[ 6 ]HUANG Y, HU K, CHANDRA A. A generalized self-consistent mechanics method for microcracked solids[J]. J Mech Phys Solids, 1994,42(8):1273-1291.

[ 7 ]馮西橋. 脆性材料的細觀損傷理論和損傷結構的安定分析[D]. 北京:清華大學, 1995.

[ 8 ]BASISTA M, GROSS D. The sliding crack model of brittle deformation: an internal variable approach[J]. Int J Sol S, 1998,35(5):487-509.

[ 9 ]HORII H, NEMAT-NASSER S. Overall moduli of solids with microcracks: load-induced anisotropy[J]. J Mech Phys Solids, 1983,31(2):155-171.

[10]崔崧,陳嵐峰. 拉伸損傷細觀機理的彈性力學分析[J]. 沈陽師范大學學報(自然科學版), 2013,31(4):451-454.

[11]徐芝綸. 彈性力學:上冊[M]. 4版. 北京:高等教育出版社, 2006.

[12]陸明萬,羅學富. 彈性理論基礎:下冊[M]. 2版.北京:清華大學出版社, 2001.

[13]蔡美峰. 巖石力學與工程[M]. 北京:科學出版社, 2002.

[14]DRAGON A, HALM D, DESOYER T. Anisotropic damage in quasi-brittle solids: modeling, computational issues and applications[J]. Comput Meth, 2000,183(3/4):331-352.

[15]崔崧,呂嫣. 裂紋方向對剪切損傷模量的影響[J]. 沈陽師范大學學報(自然科學版), 2015,33(4):459-462.

Influence of lateral pressure on effective compression modulus of materials

CUISong,CHENLanfeng,ZHANGZhiguo

(College of Physical Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Damage mechanics is a branch of solid mechanics, which is an important part of the theory of deformation and failure of materials. There are two main research methods: macro and meso view, the former is more convenient for engineering application, and the latter has a more clearly physical background. The analysis of the normal stress and the shear stress between the crack surfaces in complex stress state is often involved in damage mechanics. Using the macro damage theory to analyze the crack closure stress under lateral pressure, the normal stress between the crack surfaces can be obtained, and then based on the theory of elasticity, using some averaging method of mesomechanics, the stress-strain constitutive relation of compression in the normal direction for brittle solids can be deduced, and simultaneously get the effective compression modulus under the lateral pressure. The calculate results show that the lateral pressure and the crack closure stress can have some effect on the compressive Young’s modulus. The shear stress between the crack surfaces can be obtained by this theory. The effective shear modulus can be analyzed through considering the frictional effect.

damage mechanics; elasticity; lateral pressure; crack surface; Young’s modulus

2016-08-14。

遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2014442)。

崔 崧(1969-),男(滿族),遼寧本溪人,沈陽師范大學副教授,博士。

1673-5862(2017)01-0039-04

O343.1

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.01.007