Burgers方程的新的精確解

李 偉

(渤海大學 數理學院, 遼寧 錦州 121013)

Burgers方程的新的精確解

李 偉

(渤海大學 數理學院, 遼寧 錦州 121013)

求非線性偏微分方程的精確解非常重要,Burgers方程是一個模擬沖擊波的傳播和反射的非線性偏微分方程,它在非線性偏微分方程中具有重要地位。給出了Burgers方程的全新的精確解,具體的方法如下:首先,對方程進行行波變換;然后,分別利用雙曲函數法和改進的雙曲函數法給定它不同形式的擬解,其中擬解的項數由齊次平衡法確定,擬解中的函數滿足Riccati方程;再將擬解代入行波變換后的方程,得到一個方程組;最后,借助計算機代數系統Mathematica解此方程組,確定擬解,即為全新的精確解。這種方法求得的Burgers方程的精確解,包含了一些文獻的結果,也修正了某些文獻的結論。這種方法可以用來求一系列偏微分方程的精確解。

行波變換; 精確解;Burgers方程

0 引 言

非線性偏微分方程(組)的解法受到如數學、物理學、工程學和生物學等各個學科工作者的廣泛重視,為了尋求它們的解法,科研工作者們做了大量有益的工作,得到了一些行之有效的求解方法,如分離變量法、反散射方法、Backlund變換法、Darboux變換法、tanh函數法、Riccati方程法等[1-8]。本文借助行波變換法[9-10]、雙曲函數法、改進的雙曲函數法[11-12]和齊次平衡法[13-15],獲得了Burger的新的精確解。

1 Burgers的新的精確解

Burger方程如下:

(1)

首先,假定(1)有如下形式的解:

(2)

k是待定常數。 將式(2)代入式(1)整理化簡得

(3)

對式(3)積分,積分常數取0,式(3)變為

(4)

1.1 利用雙曲函數法

假定式(4)有如下形式的解:

(5)

其中:M是待定的正整數;ai(i=0,1,2,…,M)是待定常數;φ(ξ)是函數,滿足Riccati方程,即

(6)

P,Q是任意常數。那么式(6)有如下形式的解:

若PQ<0,

(7)

C是常數。

借助齊次平衡法,得到方程

(8)

解得M=1

因此,式(5)的具體形式為

(9)

將式(6)和式(9)代入式(4),得到方程:

(10)

令φi(ξ),(i=0,1,2,)的系數為0,得到關于ai(i=0,1,…)和k的代數方程組,即

(11)

利用Mathematica運算,求得如下形式的解:

(12)

將式(7),式(9)和式(12)代入式(2),就得到式(1)的新的精確解,即

(13)

(14)

1.2 利用改進的雙曲函數法

假定(4)有如下形式的解:

(15)

其中:M是待定的正整數;ai(i=0,1,2,…,2M)是待定常數。φ(ξ)也滿足Riccati方程(6),借助齊次平衡法,仍然有M=1。因此式(15)的具體形式為

(16)

將式(6)和式(16)代入式(4),得到方程:

(17)

令φi(ξ),(i=0,±1,±2,)的系數為0,得到關于ai,(i=0,1,2)和k的代數方程組,利用Mathematica運算,求得如下形式的解:

(18)

將式(7),式(16)和式(18)代入式(2),又就得到式(1)的新的精確解,即

(19)

(20)

2 結 論

利用行波變換法、雙曲函數法、改進的雙曲函數法和齊次平衡法,獲得了Burgers的全新精確解。這種方法也可用于解其他非線性偏微分方程(組)。Burgers的全新精確解的獲得將為近似計算、定理分析等現實問題提供幫助。

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ExactsolutionsofBurgers

LI Wei

(CollegeofMathematical,BohaiUniversity,Jinahou121013,China)

Itisveryimportanttofindtheexactsolutionofnonlinearpartialdifferentialequations.Burgersequationisanonlinearpartialdifferentialequationforsimulatingthepropagationandreflectionofshockwaves.Burgersequationplaysanimportantroleinnonlinearpartialdifferentialequations.AgreatamountofworkhasbeendonetoobtaintheexactsolutionoftheBurgersequation.Inthispaper,weobtainnewexactsolutionoftheBurgersequation.Firstly,thetravelingwavetransformationoftheBurgersequationiscarriedout;Secondly,Respectivelybyusinghyperbolicfunctionmethodandimprovedhyperbolicfunctionsmethod,differentformsofquasisolutionwasgiven,thenumberinthesolutionisdeterminedbythehomogeneousbalancemethod,functionwiththeRiccatiequation;Finally,thequasisolutionisdeterminedbythecomputeralgebrasystemMathematica,whichisanewexactsolution.Theexactsolutionnotonlycontainstheresultsofsomeliterature,butalsorevisessomeoftheconclusionsoftheliterature.Thismethodcanbeusedtofindaseriesofexactsolutionsofpartialdifferentialequations.

travelling-wavetransform;exactsolutions;Burgersequation

2016-10-29。

國家自然科學基金資助項目(11547005)。

李 偉(1977-),男,遼寧錦州人,渤海大學講師,碩士。

1673-5862(2017)01-0073-03

O

A

10.3969/j.issn.1673-5862.2017.01.013