面向EMD分解的徑流分量重構方法對比研究

張洪波+余熒皓+孫文博+曹巍

摘要：水文序列非平穩與非線性的復雜變化導致水文序列中長期預測的準確性備受質疑?！胺纸?預測-重構”模式作為一種新的有效的預測思路近年來備受業界和學者關注。但受到高頻分量預測誤差大、趨勢走向不確定等問題困擾，這種模式在發展過程中仍有諸多需要改進的地方。其中，徑流分量的重構方法是控制高頻分量誤差，提高整體預測精度的關鍵性措施，其優劣對預測效果實現有著重要的意義?；诮涷災B分解（EMD）和自回歸模型（AR）建立“分解-預測”耦合模型，結合粒子群優化（PSO）算法，提出PSO重構系數優化法和高頻分量剔除+重構系數優化法兩種重構方法，結合前人提出的高頻分量剔除法，以陜北丁家溝站、關中華縣站、陜南白河站為算例，對不同重構方法的效果進行對比研究。研究結果表明：基于高頻分量剔除法、PSO重構系數優化法、高頻分量剔除+重構系數優化法三種重構方法的預測效果均較好，五項誤差評價指標均優于標準重構法，三種重構方法均可不同程度地提高預測精度。對比研究發現：高頻分量剔除法在重構過程中剔除了最不穩定且最難預測的高頻分量，提高了預測精度，但提升效果有限；PSO重構系數優化法對所有徑流分量賦予優化重構系數并重構，可最大程度地實現分量間的平差，有效提高了預測精度；高頻分量剔除+重構系數優化法綜合上述兩種方法的優勢，取得了比其他方法更好的預測效果。

關鍵詞：水文學及水資源；徑流預測；EMD分解；重構；重構系數優化

中圖分類號：P338.2文獻標志碼：A文章編號：1672-1683（2017）01-0060-07

Abstract：The accuracy of mid-and long-term forecast on hydrological time series is highly questioned due to the non-stationary and nonlinear complex changes of the series.The "Decomposition-Prediction-Reconstruction" model，as a new and effective forecasting method，has captured the attention of many scholars in related fields in recent years.But troubled by large errors in high-frequency component prediction，uncertain trend and other issues，this model still requires a lot of improvements in the development process.Among all the improvements，reconstruction of runoff component is intensely crucial in controlling high-frequency component prediction error and improving prediction accuracy of the hydrological series.To do this，the "Decomposition - Prediction" hybrid model was established in this paper using empirical mode decomposition （EMD） and autoregressive model （AR）.Two reconstruction methods were proposed based on the particle swarm optimization （PSO） algorithm，which were the PSO-based reconstruction coefficient optimization method and the high-frequency component removal & reconstruction coefficient optimization method.These two methods plus the previous high-frequency component removal method were used to compare the efficacy of hydrological forecasting in a case study on Dingjiagou station in northern Shaanxi，Huaxian station in middle Shaanxi and Baihe station in southern Shaanxi.The results showed that the high-frequency component removal method，PSO-based reconstruction coefficient optimization method and high-frequency component removal & reconstruction coefficient optimization method all predict better than the standard reconstruction method，as reflected by five error evaluation indicators.Thus it can be drawn that these three reconstruction methods can improve the prediction accuracy in different degrees.High-frequency component removal method emphasizes removing the high-frequency component，which is the most unstable and unpredictable，so as to enhance the prediction accuracy，but only by a limited margin due to the simple removal process.PSO-based reconstruction coefficient optimization method is to optimize the reconstruction coefficients of all runoff components and to reconstruct the forecasted series.It can reduce errors during components reconstruction to the greatest extent and improve the prediction accuracy effectively.High-frequency component removal & reconstruction coefficient optimization method combines the above two methods and predicts better than all the other methods.

Key words：hydrology and water resources；runoff prediction；empirical mode decomposition；reconstruction；reconstruction coefficient optimization

在全球氣候變化和人類活動的雙重影響下，河川徑流序列已經從一個相對平穩過程轉變為一個復雜的非平穩、非線性過程，這種變化使得很多基于平穩性假設的水文預測預報方法在變化環境下的應用受到了極大的挑戰。由于徑流受到降雨、蒸發、大氣循環等諸多因素的影響，故徑流序列中包含了許多不同頻率的分量[1]。很多學者嘗試通過分解-預測-重構的方式尋找水文序列中的穩定周期變化量和趨勢變化量，對其進行適宜性預測，以改善由于水文序列非平穩和非線性變化引發的水文中長期預報失真的現狀[2-7]。“分解-預測-重構”模式的特點在于將一個“雜亂無章”的水文序列，經過分解得到多個相對穩定的周期變化序列（IMFs）和一個趨勢性殘余序列（Residual）。由于現有預測方法對穩定變化的序列一般具有較好的預測精度，因此重構后其可獲得較原序列更好的預測效果[8]。如張敬平等利用經驗模態分解（EMD）與徑向基（RBF）神經網絡相結合的方法預測徑流量，發現該方法相對于直接預測具有更高的精確度[9]；趙雪花等將EMD分解技術與RBF、自回歸滑動平均模型（ARMA）、灰色模型GM（1，1）相結合，分析對比了不同數據驅動模型在河川徑流預測中的預測效果[10]。曹麗青等將EMD分解與多尺度統計動力學模型相結合，構建了研究區域的動力學預報方程，并對不同重構分量情形下的預測精度進行了對比[11]。錢曉燕等提出EMD與最小二乘支持向量機（LS-SVM）模型相耦合的徑流中長期預測方法，采用EMD進行序列分解，LS-SVM模型用于預測IMFs分量，取得很好的預測效果[12]。

研究中發現，由于高頻分量預測誤差較大，重構時高頻預測誤差會直接影響序列的整體預測效果[13]。于是有學者開始嘗試對“分解-預測-重構”預測模式中的重構環節做出改進。黃生志等提出了基于經驗模態分解的支持向量機（EMD-SVM）預測模型，在重構過程中剔除了高頻分量（IMF1），提高了預測精度[1]；林樹寬等將基于經驗模態分解和支持向量回歸模型的耦合模型運用于非線性、非平穩時間序列預測中，重構環節采用支持向量回歸法對分量進行非線性組合，獲得了較高的預測精度[14]。

經過對已有成果的分析，筆者發現不同的重構方法對于預測精度提升的效果并不相同，故本文基于經驗模態分解（EMD）和自回歸模型（AR）建立了“分解-預測”的耦合模型，并以此為基礎，對高頻分量剔除法以及本文提出的PSO重構系數優化法、高頻分量剔除+重構系數優化法三種重構方法的提升效果進行對比分析，以揭示不同重構方法對序列預測精度的影響。

1 研究方法

1.1 經驗模態分解（EMD）

經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）是由黃鍔（N.E.Huang）等人于1998年創造性地提出的一種新型自適應信號的時頻處理方法[15]。該方法主要針對非平穩及非線性數據，依據數據自身的時間尺度特征來進行信號分解，得到多個具有物理意義的平穩的固有模態函數（Intrinsic Mode Function，IMF）和具有單一性的趨勢項（Residual）。在水文應用中，EMD分解得到的各徑流分量規律性更強，能夠大大提高預測精度[16-17]。經驗模態分解的具體步驟如下。

步驟1：找出原始時間序列X（t）的所有極大值點與極小值點，用三次樣條插值函數擬合時間序列的上、下包絡線，上、下包絡線的均值m（t）為

步驟3：檢驗h（t）是否可作為固有模態函數（IMF），需滿足以下兩個條件：（1）在任意時刻，有極大值定義的上包絡線和下包絡線均值為零；（2）對于一個分量信號，極值點與過零點數目一樣或者只差一個[18]。若不滿足這兩個條件，則把h（t）當作原始序列重復步驟1、2，直到滿足以上兩個條件，求出第一個固有模態函數I1（t）為止。

步驟4：用原始序列X（t）減去第一個固有模態函數I1（t）得到剩余序列r1（t）：

步驟5：將r1（t）作為新的原始序列重復步驟1至4，分解出所有的固有模態函數I1（t）、I2（t）、…、In（t），直至In（t）為一單調的殘余趨勢項（Residual）為止。

1.2 基于EMD的分解-預測-重構模式

通過對徑流序列進行EMD分解，得到多個固有模態函數（IMFs）和一個殘余趨勢項（Residual），即將非平穩徑流時間序列分解為多個趨于平穩的徑流分量和一個趨勢徑流分量。然后對這些徑流分量分別應用自回歸模型（AR）進行預測。AR模型是時序方法中最基本、應用最廣的時序模型，它對平穩時間序列預測一般能取得較高的預測精度[19]?？杀硎緸椋?/p>

對于一個徑流分量時間序列xt，有

式中：at為滿足均值為零、方差為σ2a的獨立正態分布；φ1，φ2，…，φn稱為模型參數；n為模型的階數。用當前變量的時間序列作為因變量序列，并利用當前變量向過去推移若干期數的時間序列作自變量序列，分析因變量序列和一個或多個自變量序列之間的相關關系，建立回歸方程進行預測，可實現徑流序列的有效外延，即預測。

以分量預測結果為基礎，將徑流分量的預測值乘以對應的重構系數進行重構，即可得到預測精度較傳統的標準重構法更好的新的預測序列。

1.3 重構方法

傳統的標準重構法是將預測得到的各徑流分量直接對應相加，得到預測序列。其缺點在于徑流分量的預測誤差將被直接疊加到預測序列上，進而導致預測效果不理想。為了解決這一問題，提高預測精度，不同的重構方法被應用于徑流分解后的重構過程中，但結果不甚相同。為了分析不同重構方法對預測結果的影響，本文提出了PSO重構系數優化法、和高頻分量剔除+重構系數優化法兩種重構方法，并與標準重構法、高頻分量剔除法進行對比研究，分析其優劣。圖1顯示了不同重構方法的基本原理。

1.3.1 高頻分量剔除法

高頻分量（如IMF1）是徑流分量中最不平穩、非線性最強的一個徑流分量。由于其波動范圍大，且難以預測，是重構后預測誤差的主要來源。相關研究表明，愈不平穩、非線性愈強的原始序列經過EMD分解后將產生愈不規則、愈難預測的高頻分量，預測精度也將大打折扣。故有些學者在重構時采取高頻分量剔除法[1]，即剔除高頻分量（如IMF1），而將其余徑流分量進行重構（如圖1a），以期提升預測精度。

1.3.2 PSO重構系數優化法

粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）于1995年由Kennedy和Eberhart共同開發[20]?；舅枷胧峭ㄟ^群體中個體之間的協作和信息共享，從隨機解出發，通過迭代尋找出最優解。其算法在可行解空間中初始化一群粒子，每個粒子都代表優化問題的一個潛在最優解，用位置、速度和適應度值表征每個粒子，其中適應度值的好壞表示粒子的優劣。粒子通過跟蹤個體極值（Pbest）和群體極值（Zbest）在解空間中運動，動態調整飛行速度，以期向群體中最好微粒位置飛行，從而使所優化問題得到最優解[21]。

結合PSO的尋優原理，將各個徑流分量的重構系數值與PSO的粒子相對應，徑流分量個數與PSO的空間維數相對應，時間序列率定期的相對誤差絕對值的平均值（MAPE）與PSO的適應度值相對應。PSO重構系數優化主要以率定期的模擬值為基準，當重構之后得到的新序列的預測誤差最小時，PSO優化終止，各徑流分量按照重構系數進行重構（圖1b）。這里需要是說明的是，由于率定期的模擬值與原始序列分解值之間存在誤差，因此優化得到的重構系數之和不一定為1。而PSO優化的效果實現主要是依據各個徑流分量間預測誤差相互抵消，即平差。在預測分量的重構過程中，該方法可一定程度上減小重構誤差的疊加，從而實現預測精度的顯著提升。

1.3.3 高頻分量剔除+重構系數優化法

基于高頻分量剔除法，提出高頻分量剔除+重構系數優化法。其在重構過程中先去除高頻分量（如IMF1），對其余徑流分量進行PSO優化，求出系數后再進行重構（圖1c）。此方法在重構過程中去除了誤差的主要來源，即高頻分量（如IMF1），同時將剩余的徑流分量按照系數重構，兼具兩種方法的特點，以期最大程度上減小了預測序列的誤差，提高了預測精度。

2 實例計算

2.1 算例與評價指標選取

陜西省位于中國西北部，縱跨黃河、長江兩大流域。全省總面積20.6萬km2，地形特點為南北長、東西窄，地勢南北高，中部低。由北向南依次為陜北黃土高原、關中平原、陜南秦巴山地。受氣候條件、地形、地貌、水文地質條件等的差異性影響，陜北、關中、陜南三個地區的水資源分布、產水量、徑流特征等顯著不同。為了驗證研究成果的普適性，本文分別選取無定河流域的丁家溝站、渭河流域的華縣站、漢江流域的白河站為研究對象。三站分別位于陜西省的陜北黃土高原、關中平原、陜南秦巴山地三個差異性地區，其水文特征各具代表性，也更適于反映研究方法在不同區域的適用性。

本次研究數據采用的是丁家溝站（1959年-2010年）、華縣站（1959年-2009年）、白河站（1935年-1995年）的實測年徑流序列，數據序列來源于黃委會水文局匯編的《黃河流域水文資料》和陜西省水利廳。所選站點均屬于研究區內控制流域面積大，且可代表該流域水文特性的站點。

為了檢驗徑流預測效果的好壞，本文選取相對平均誤差的絕對值（MAPE）、標準均方誤差（NMSE）、平均絕對誤差（MAE）、方向變差對稱值（DVS）和納什效率系數（NSE）5種誤差評價指標[22]來對預測效果進行綜合性衡量與評價。其中，MAPE、NMSE和MAE的數值越小、DVS的數值越大、NSE越接近1，說明擬合越精確，預測效果越好。

2.2 EMD分解與預測結果

2.2.1 EMD分解

對丁家溝站、華縣站和白河站的實測年徑流序列進行EMD分解，結果見圖2。由圖2可知，三個水文站的實測徑流序列均可分解為4個固有模態函數（IMFs）和1個殘余趨勢項（Residual）；隨著分解次數的增加，IMF1-IMF4均逐漸呈現規整和平穩化，丁家溝站和華縣站的殘余趨勢項呈緩慢遞減趨勢，白河站的殘余趨勢項略有波動，呈緩慢上升趨勢。

2.2.2 基于AR模型的徑流預測

選取丁家溝站1959年-2000年（42年）為率定期，2001年-2010年（10年）為驗證期；華縣站1959年-1999年（41年）為率定期，2000年-2009年（10年）為驗證期；白河站1935年-1985年（51年）為率定期，1986年-1995年（10年）為驗證期。在各個站點上，利用AR模型，分別對EMD分解得到的徑流分量子序列進行預測，得到各徑流分量率定期和驗證期的預測效果評估見表1。

預測序列擬合效果見圖3，圖中虛線之前為率定期，虛線之后為驗證期。由表1和圖3可知，低頻分量（如IMF3、IMF4、Residual）在率定期的擬合效果好，實測曲線和預測曲線接近重合，驗證期的預測效果雖在極值點上存在偏差，但整體預測效果較好。

而高頻分量（如IMF1、IMF2）在率定期的擬合效果并不理想，驗證期的預測效果也不佳。如若直接重構，整個徑流序列的預測誤差也將主要源自高頻分量，因此降低高頻分量預測誤差對整體預測結果的影響是提高整體預測精度的根本。為了消減高頻分量的誤差影響，同時也避免過多的信息丟失，本文在高頻分量剔除法和高頻分量剔除+重構系數優化法中主要剔除了IMF1，而保留了IMF2。2.3 重構系數

采用PSO重構系數優化法和高頻分量剔除+重構系數優化法，基于率定期的模擬數據對丁家溝站、華縣站、白河站三站的各徑流分量求取重構系數，并按此重構系數重構驗證期的預測分量，得到最終徑流序列的預測結果。PSO重構系數優化法和高頻分量剔除+重構系數優化法的重構系數見表2。

2.4 重構效果分析

結合標準重構法，對四種重構方法的提升效果進行對比分析，預測序列在驗證期的預測效果評估如表3所示。結果顯示，標準重構法的預測誤差較大，預測效果不甚理想，其中華縣站平均相對誤差絕對值（MAPE）更是達到了47.05%。在陜北黃土高原、關中平原、陜南秦巴山地三個差異性地區，高頻分量剔除法、PSO重構系數優化法、高頻分量剔除+重構系數優化法三種重構方法預測結果的誤差評價指標值均優于標準重構法，說明三種重構方法均能不同程度上減小誤差，提高預測精度，且這一結論對不同流域均適用。

通過對比，不難發現高頻分量剔除法剔除了最不穩定、且預測精度最差的高頻分量（IMF1），控制了誤差來源，預測效果得到了有效提升。但由于受PSO重構系數優化法雖然疊加了高頻分量（IMF1），但在尋優過程中，最大程度上相互抵消了各徑流分量的預測誤差，故可獲得相對比較滿意的預測效果。丁家溝站、華縣站和白河站三站預測效果的平均相對誤差絕對值（MAPE）分別為6.75%、26.12%和23.25%，均滿足中長期水文預測精度要求，可見此重構方法有效、可行。但是由于PSO算法的終止條件是使得率定期的MAPE值最小，故在驗證期高頻分量IMF1的預測誤差仍會影響整體預測效果。

高頻分量剔除+重構系數優化法綜合了上述兩種方法的優勢，不但剔除了預測效果最差的高頻分量（IMF1），同時對其余徑流分量進行了重構系數優化，一定程度上可相互抵消其預測誤差。從丁家溝站、華縣站和白河站三站的評價指標看，較其他重構方法均有明顯改善，其中平均相對誤差絕對值（MAPE）達到了6.73%、25.71%和20.65%，系所有重構方法中預測精度最高的。同時，三個不同地域的站點的預測結果也表明高頻分量剔除+重構系數優化法的優越性并非偶然，而是具有一定的普適性。

3 結論

基于分解-預測-重構的預測模式，對比了不同徑流分量重構方法對徑流預測效果的影響，并得出以下結論。（1）相比標準重構法，高頻分量剔除法、PSO重構系數優化法、高頻分量剔除+重構系數優化法三種重構方法在不同流域均可在不同程度上減小預測誤差，提高預測精度，具有普適性；（2）高頻分量剔除法在重構過程中剔除了最不穩定且最難預測的高頻分量，可提高預測精度，但預測精度提升效果有限；（3）PSO重構系數優化法求取每個徑流分量的重構系數并按照重構系數進行重構，重構過程中可最大程度上在各徑流分量間進行預測誤差的平差，可有效提高預測精度；（4）高頻分量剔除+重構系數優化法綜合上述方法的優勢，剔除了預測誤差最大的高頻分量，并對其余徑流分量按照重構系數進行重構，重構后預測效果最好。（5）基于PSO重構系數優化法與高頻分量剔除+重構系數優化法的預測模式效果較好，滿足中長期水文預測精度要求，可作為未來基于分解-預測-重構的預測模式的重構方法。

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