環F2+uF2+vF2+uvF2上的(1+u+v)-常循環碼

繆 揚, 劉 麗

(合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009)

環F2+uF2+vF2+uvF2上的(1+u+v)-常循環碼

繆 揚, 劉 麗

(合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009)

文章研究了環R=F2+uF2+vF2+uvF2上的(1+u+v)-常循環碼，定義了一個Gray映射,證明了該環上的(1+u+v)-常循環碼的Gray像是等距的準循環碼,并利用該映射得到了二元好碼,進一步確定了任意長度該常循環碼的結構,同時也討論了它的對偶碼。

常循環碼;生成多項式;Gray映射;Gray距離;對偶碼

文獻[1]證明了一些好的二元非線性碼可以看作是環Z4上循環碼的Gray像。自此,有限環上碼的研究引起了很多學者的興趣。文獻[2-3]分別用不同的方法研究了環Zpm上循環碼的結構;文獻[4]研究了環Zm上任意長度的循環碼;文獻[5-7]討論了環F2+uF2上的線性碼、循環碼及其對偶碼,并且得到了二元最優碼;文獻[8]得到了環F2+uF2上單根(1+u)-常循環碼的Gray像是距離不變的二元循環碼;文獻[9]研究了有限鏈環上的循環碼和負循環碼,并給出了該環上循環碼的結構;文獻[10]研究了環Fp[u]/〈um〉上任意長度的(1+λu)-常循環碼,給出了該常循環碼的結構,同時得到了一些二元好碼;文獻[11]研究了環F2+uF2+…+ukF2上的循環碼和(1+uk)-常循環碼。但是這些文獻都是基于有限鏈環上的研究。

最近,文獻[12-13]研究了環F2+uF2+vF2+uvF2上的線性碼和循環碼,并通過Gray映射得到了一些好的二元碼。由于環F2+uF2+vF2+uvF2是非鏈環,因此用于研究該環上碼的方法與有限鏈環中的方法不同。文獻[14]研究了環F2+uF2+vF2+uvF2上奇長度的(1+v)-常循環碼。

本文在上述研究基礎上研究了環R=F2+uF2+vF2+uvF2上任意長度的(1+u+v)-常循環碼,其中u2=v2=0,uv=vu。證明了環R上長為n的(1+u+v)-常循環碼C在Gray映射下的像φ(C)是等距的準循環碼,并給出了一個通過該映射找到二元好碼的例子,同時確定了環R上(1+u+v)-常循環碼的結構。

1 預備知識

環R=F2+uF2+vF2+uvF2是特征為2的有限交換環,其中u、v滿足u2=v2=0,uv=vu。顯然R是局部環但不是主理想環,它的唯一極大理想為:

I={0,u,v,u+v,uv,u+uv,

v+uv,u+v+uv}

(1)

R上長為n的碼是Rn的一個非空子集,若它還是Rn的一個R-子模,則稱其為線性碼。對于R上單位λ和長為n的線性碼C,若對任意碼字c=(c0,c1,…,cn-1)∈C,均有它的λ-常循環移位τλ(c0,c1,…,cn-1)=(λcn-1,c0,…,cn-2)∈C,則稱C為λ-常循環碼。

對于C中任意碼字c=(c0,c1,…,cn-1),可以用R[x]上的多項式來表示,即

(2)

這樣R上長為n的λ-常循環碼亦即R[x]/〈xn-λ〉的理想。特別地,若λ=1,稱C是R上的循環碼。

令x=(x0,x1,…,xn-1),y=(y0,y1,…,yn-1)為Rn中2個元素,x與y的內積定義為[x,y]=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1,C的對偶碼C⊥={x∈Rn|[x,y]=0,?y∈C}。若C?C⊥,稱C為自正交碼;若C=C⊥,稱C為自對偶碼。

2 Gray映射

定義1 對任意的r∈R,有

r=a+ub+vc+uvd

(3)

φ(a+ub+vc+uvd)=

(4)

(5)

(6)

引理1 設φ為定義1中的Gray映射,τ為Rn上的(1+u+v)-常循環移位,則φτ=σ2φ。

證明 設r=(r0,r1,…,rn-1)∈Rn,ri=ai+ubi+vci+uvdi,其中，ai、bi、ci、di∈F2；0≤i≤n-1。由定義1有:

(7)

因此有：

(8)

另一方面,

a0+ub0+vc0+uvd0,…,

(9)

因此有：

(10)

故φτ=σ2φ。

定理1R上長為n的碼C是(1+u+v)-常循環碼的充要條件是其Gray像φ(C)是長為4n、指數為2的二元準循環碼。

證明 設C為R上的(1+u+v)-常循環碼,由引理1可知，σ2(φ(C))=φ(τ(C))=φ(C)。因此,φ(C)是長為4n、指數為2的二元準循環碼。

設φ(C)是長為4n、指數為2的二元準循環碼,由引理1有:

(11)

由于φ是單射,因此τ(C)=C,即C是環R上的(1+u+v)-常循環碼。

定理2 設C是R上長為n的(1+u+v)-常循環碼,則有φ(C⊥)=φ(C)⊥。

證明 設

r1=a1+ub1+vc1+uvd1,

r2=a2+ub2+vc2+uvd2∈Rn

(12)

若[r1,r2]=0,則有：

(13)

因此有：

(14)

故φ(C⊥)?φ(C)⊥。

另一方面,因為R是Frobenius環,所以|C||C⊥|=24n。又因為φ為雙射,所以有：

從而有：

故可得到φ(C⊥)=φ(C)⊥。

推論1C為R上自對偶碼的充要條件是φ(C)為F2上的自對偶碼。

3 R上的(1+u+v)-常循環碼

首先,本文考慮環F2+uF2上的(1+u)-常循環碼,然后借助該結構來考慮環R上的(1+u+v)-常循環碼。設n=2km,其中m是奇數,記

S=F2+uF2，

(15)

則S上長為n的(1+u)-常循環碼是Sn的理想。

對于S上長為n的線性碼C,定義如下與其密切相關的2個長為n的二元線性碼。

撓碼:

(16)

剩余碼:

(17)

引入映射υ:C→Res(C)定義為υ(a+ub)=a,顯然有:

(18)

(19)

其中,hi=min{2k,ki};li=ki-min{2k,ki}。

引理4[10]設C是S上長為n的(1+u)-常循環碼,d1、d2分別為其剩余碼和撓碼的極小Hamming距離。若d1≥2d2,則C的Gray距離為2d2。

本文考慮R上(1+u+v)-常循環碼的結構。設Rn=R[x]/〈xn-(1+u+v)〉,則R上長為n的(1+u+v)-常循環碼可以視作Rn的理想。對于R上長為n的線性碼C,同樣地定義它的換碼與剩余碼。

撓碼:

Tor(C)={x∈Sn|vx∈C}

(20)

剩余碼:

(21)

考慮映射φ:R→S,定義為:

φ(a+ub+vc+uvd)=a+ub

(22)

將其擴展到多項式環上得到映射Rn→Sn,即

(23)

將φ限制在C上,則有φ:C→Res(C),φ(a+vb)=a,其中，a、b∈Sn。同理有:

Ker(φ)≌Tor(C),

(24)

定理3 設f(x)∈F2[x]整除x2n-1,h(x)=(x2n-1)/f(x)。若C是R上長為n的(1+u+v)-常循環碼,則

(25)

其中,g(x)|f(x)|(x2n-1);g(x)|[p(x)+(xn-1)q(x)]h(x)。

且

deg(g(x))>deg(p(x)),

deg(g(x))>deg(q(x))。

證明 設xm-1=f1(x)f2(x)…fr(x),其中fi(x)是F2[x]中兩兩互素的首一不可約多項式。設C是R上長為n的(1+u+v)-常循環碼,C在φ下的像是Sn的理想,由引理2可知：

其中，p(x),q(x)∈F2[x]。

顯然可以做如下假設：

deg(g(x))>deg(p(x)),

deg(g(x))>deg(q(x))。

(26)

故g(x)|[p(x)+(xn-1)q(x)]h(x)。

另一方面,

(27)

故g(x)|f(x)。

定理4 設C=〈f(x)+vp(x)+uvq(x),vg(x)〉是R上長為n的(1+u+v)-常循環碼,其中f(x),g(x),p(x),q(x)的定義如定理3,則有：

推論2 設C是R上長為n的(1+u+v)-常循環碼,d1、d2分別為Res(C)和Tor(C)的極小Lee距離,若d1≥2d2,則C的Gray距離是2d2。

證明 任意的非零碼字c∈C,若其分量具有形式c=a+vb,其中a∈S{0},b∈S,則φ(C)∈Res(C),故wG(C)≥d1。另一方面,若c=vb,b∈Sn, 則c必在vTor(C)中。根據Gray映射的定義,c的Gray重量是2wL(c)。故若d1≥2d2,則dG(C)=2d2。

定理5 設C是R上的長為n的(1+u+v)-常循環碼,則它的對偶碼C⊥也是R上的(1+u+v)-常循環碼。

證明 設(a0,a1,…,an-1)∈C⊥,對? (c0,c1,…,cn-1)∈C,有

(28)

則

(1+u+v)c1a0+(1+u+v)c2a1+

(29)

(29)式兩邊同乘以1+u+v得:

(30)

所以((1+u+v)an-1,a1,…,an-2)∈C⊥,故C⊥是(1+u+v)-常循環碼。

在定理3中令p(x)=q(x)=0,此時C=〈f(x),vg(x)〉,其中f(x)|(x2n-1),g(x)|f(x)。注意到S是R的子環,故Res(C)=〈f(x)〉是C的子碼。

vTor(C)=v〈g(x)〉包含于C,故此時C的Gray距離為min{d1,2d2},其中d1、d2分別為其剩余碼和撓碼的極小Lee距離。

推論3 設C=〈f(x),vg(x)〉是R上長為n的(1+u+v)-常循環碼,其中f(x)|(x2n-1),g(x)|f(x),則C的Gray距離為min{d1,2d2},其中d1、d2分別為Res(C)和Tor(C)極小Lee距離。

例1 考慮R上長為6的(1+u+v)-常循環碼。在F2[x]中,x12-1=(x-1)4(x2+x+1)4。

令f(x)=(x-1)3(x2+x+1)4,g(x)=(x-1)(x2+x+1)4,則有:

vx5+vx4+(v+uv)x3+

(v+uv)x2+vx+v〉

(31)

(31)式是R上長為6的(1+u+v)-常循環碼。由定理4知,Res(C)=〈(x-1)3(x2+x+1)4〉是S上長為6的(1+u)-常循環碼,參數為[6,2,12];Tor(C)=〈(x-1)(x2+x+1)4〉是S上長為6的(1+u)-常循環碼,參數為[6,23,6];又由推論3知,C的Gray像φ(C)是參數為[24,4,12]的二元準循環碼,它是最優二元碼。

4 結 論

本文研究了環R=F2+uF2+vF2+uvF2上的(1+u+v)-常循環碼的Gray映射及其性質,并利用映射構造出二元好碼,確定了R上任意長度的(1+u+v)-常循環碼結構。還有很多有意義的問題有待研究,比如考慮該環上其他類型的常循環碼或者研究更一般的環R=Fq+uFq+vFq+uvFq(q是奇素數的冪)上常循環碼的問題。

[1] HAMMONS A R，Jr,KUMAR P V，CALDERBANK A R，et al.TheZ4-linearity of kerdock，preparata，geothals and related codes[J].IEEE Trans Inform Theory，1994，40(4)：301-319.

[2] CALDERBANK A R，SLOANE N J A.Modular andp-adic cyclic codes [J].Designs，Codes and Cryptography，1995，6(1)：21-35.

[3] KANWAR P，LóPEZ-PERMOUTH S R.Cyclic codes over the integers modulopm[J].Finite Fields Appl，1997，3(4)：334-352.

[4] DOUGHERTY S T，PARK Y H.On modular cyclic codes [J].Finite Fields and Their Applications,2007,13:31-57.

[5] BONNECAZE A，UDAYA P.Cyclic codes and self-dual codes overF2+uF2[J].IEEE Transactions on Information Theory,1999,45(4):1250-1255.

[6] 余海峰,朱士信.環F2+uF2上線性碼及其對偶碼的二元象[J].電子與信息學報,2006，28(11)：2121-2123.

[7] 李平,朱士信.環F2+uF2上長為2e的循環碼[J].電子與信息學報,2007，29(5)：1124-1126.

[8] QIAN J F，ZHANG L N，ZHU S X.(1+u)-constacyclic and cyclic codes overF2+uF2[J].Applied Mathematics Letters，2006，19(8)：820-823.

[9] DINH H Q,LóPEZ-PERMOUTH S R.Cyclic and negacyclic codes over finite chain rings[J].IEEE Transactions on Information Theory，2004,50(8):1728-1744.

[10] KAI X S，ZHU S X，LI P.(1+λu)-Constacyclic codes overFp[u]/〈um〉[J].Journal of the Franklin Institute,2010，347(5)：751-762.

[11] 王玉.環F2+uF2+…+ukF2上的循環碼和(1+uk)-循環碼[J].合肥工業大學學報(自然科學版),2009,32(7):1117-1120.

[12] YILDIZ B,KARADENNIZ S.Linear codes overF2+uF2+vF2+uvF2[J].Des Codes Cryptogr，2010,54:61.

[13] YILDIZ B,KARADENNIZ S.Cyclic codes overF2+uF2+vF2+uvF2[J].Des Codes Cryptogr，2011，58:221-234.

[14] KARADENNIZ S，YILDIZ B.(1+v)-constacyclic codes overF2+uF2+vF2+uvF2[J].Journal of the Franklin Institute,2011,348(9)：2625-2632.

(責任編輯 閆杏麗)

(1+u+v)-constacyclic codes over ringF2+uF2+vF2+uvF2

MIAO Yang, LIU Li

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In this paper, the (1+u+v)-constacyclic codes over the ringR=F2+uF2+vF2+uvF2are discussed. Firstly, a Gray map ofCis defined and it is proved that under this map the Gray image ofCoverRis a binary distance invariant quasi-cyclic code. And their dual codes are discussed. Then a set of generators of such constacyclic codes for an arbitrary length is determined. Finally, an optimal binary code is obtained from the Gray map.

constacyclic code; generator polynomial; Gray map; Gray distance; dual code

2015-05-07

國家自然科學基金資助項目(11201107;11401154)

繆 揚(1991-),男,安徽合肥人,合肥工業大學碩士生; 劉 麗(1965-),女,安徽樅陽人,博士, 合肥工業大學教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.01.025

TN911.22

A

1003-5060(2016)12-0140-05