“數與式”中的新面孔

何念雪

“數與式”是中考的常考知識點之一，近年來各地中考涌現了不少新題型，不少題目從新情境、新視角立意，營造了一個充滿靈氣的中考大舞臺，下面摘取數例加以剖析，與同學們共同感受其獨特的魅力.

一、開放型試題

例1 （ 2016·湘潭）多項式x2+1添加一個單項式后可變為完全平方式，則添加的單項式可以是 .（任寫一個符合條件的即可）

【分析】本題添加項可為乘積二倍項或平方項.

解：設添加的單項式為Q，如果這里首末兩項是x和1這兩個數的平方，那么中間一項為加上或減去x與1的乘積的2倍，故Q=±2x；如果這里首末兩項是Q和1，則乘積二倍項是x2=2×1×[12]x2，所以Q=[14]x4，故答案為[14]x4、±2x中任意一個.

【點評】本題為開放性題目，只要符合完全平方式即可，要求非常熟悉公式特點.另外注意題目中要求添加的條件是“單項式”，切不要誤填[14x2].

二、新定義型試題

例2 （2016·永州）我們根據指數運算，得出了一種新的運算，如表是兩種運算對應關系的一組實例：

根據上表規律，某同學寫出了三個式子：①log216=4，②log525=5，③log2[12]=-1.其中正確的是（ ）.

A.①② B.①③

C.②③ D.①②③

【分析】根據指數運算和新的運算法則得出規律，根據規律運算可得結論.

解：①因為24=16，所以此選項正確；②因為55=3125≠25，所以此選項錯誤；③因為2-1=[12]，所以此選項正確.故選B.

【點評】新定義題是近年的熱點題，它的實質是一種規定，規定某種運算方式，規定某個概念的特征性質，然后要求參考者按照規定去計算、求值，理解概念，解決問題.

三、程序設計題

例3 （2016·安順）根據如圖所示的程序計算，若輸入x的值為1，則輸出y的值為

.

【分析】觀察圖形我們可以得出x和y的關系式為：y=2x2-4，因此將x的值代入就可以計算出y的值，如果計算的結果小于0，則需要把結果再次代入關系式求值，直到算出的值大于0為止，即可得出y的值.

解：由題中的計算程序列出算式：12×2-4，由于12×2-4=-2，-2<0，∴應該按照計算程序繼續計算：（-2）2×2-4=4，∴y=4.

【點評】本題考查了程序運算，解題時應先認真觀察程序的意義，然后將字母的值代入求解，注意分步驟落實，這樣在解題的過程中比較容易檢測過程的正確性.

四、探索規律試題

1.圖形類規律題.

例4 （2016·荊州）如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數逐漸增加1的規律拼成下列圖案.若第n個圖案中有2017個白色紙片，則n的值為（ ）

A.671 B.672 C.673 D.674

【分析】由圖知：第1個圖案有4個白色菱形紙片，第2個圖案有7個白色菱形紙片，第3個圖案有10個白色菱形紙片……從而可知每個圖案都比前一個圖案多3個白色菱形紙片，用含n的代數式表示此規律，最后根據發現的規律列出方程求解.

解：認真觀察圖形，確定圖形變化規律：第1個圖案有4個白色菱形紙片，第2個圖案有7個白色菱形紙片，以后每個圖案都比前一個圖案多3個白色菱形紙片，所以第n（n是正整數）個圖案中的白色菱形紙片的個數為3n+1，所以3n+1=2017，n=672，故選B.

【點評】解決此類問題應先觀察圖形的變化趨勢，從第一個圖形開始進行分析，是逐漸增加還是逐漸減少，相鄰兩個圖形的變化量與位置序號有怎樣的關系.如果所求圖形的位置序號較大時，需要運用從特殊到一般的探索方式，分析歸納找出增加或減少的變化規律，并用含n的代數式表示出來解題.

2.數字類規律題.

例5 （2016·黃石）觀察下列等式：

第1個等式：a1=[11+2]=[2-1]；

第2個等式：a2=[12+3]=[3-2]；

第3個等式：a3=[13+2]=[2-3]；

第4個等式：a4=[12+5]=[5-2]；

……

按上述規律，回答以下問題：

（1）請寫出第n個等式：an= ；

（2）a1+a2+a3+…+an= .

【分析】（1）①觀察所給等式第一個等號的右邊，歸納規律：分子都為1，分母是兩個二次根式的和，并且兩個二次根式的被開方數是連續整數，且較小的被開方數與等式的序號相同；②觀察所給等式第二個等號的右邊，歸納規律：是將第二個等號的左邊進行分母有理化.（2）先將a1、a2、a3、a4、…、an代入，再將每個式子分母有理化即可求值.

解：（1）觀察題中提供的等式可知，a1是被開方數從1開始的兩個連續整數的二次根式的和的倒數，a2是被開方數從2開始的兩個連續整數的二次根式的和的倒數，a3是被開方數從3開始的兩個連續整數的二次根式的和的倒數，……，于是猜想an=[1n+n+1]，再分母有理化得[n+1-n].（2）a1+a2+a3+…+an=[2]-1+[3]-[2]+…+[n+1-n]=[n+1-1].故答案為：（1）[1n+n+1]=[n+1-n]；（2）[n+1-1].

【點評】規律探究問題，一般從最簡單的幾個數、式或圖形觀察、分析、發現，再由特殊到一般，猜想、歸納、總結出規律（用代數式或等式表示），最后進行驗證，確認規律是正確的.