基于單步法的車輛主動懸架有限頻域靜態輸出反饋控制

王 剛 陳長征 于慎波

(沈陽工業大學機械工程學院， 沈陽 110870)

基于單步法的車輛主動懸架有限頻域靜態輸出反饋控制

王 剛 陳長征 于慎波

(沈陽工業大學機械工程學院， 沈陽 110870)

針對車輛主動懸架系統，提出了基于單步法求解的靜態輸出反饋有限頻域H∞控制器設計方法。由于現有的有限頻域H∞控制定理含有雙線性項，且全狀態反饋控制增益并不滿足單步法的充分條件，導致靜態輸出反饋問題無可行解。文中應用GKYP引理給出了一個新的基于靜態輸出反饋的有限頻域H∞控制定理。該定理可采用單步線性矩陣不等式LMI直接求解，相對于傳統的迭代LMI及CCL算法，極大地簡化了設計過程。借助狀態反饋信息，避免了初始求解的不可行性。最后，通過數值算例及臺架試驗驗證了該方法的可行性。

車輛； 主動懸架； 頻域約束； 靜態輸出反饋；H∞控制； 線性矩陣不等式

引言

隨著汽車行業的競爭發展，乘客對汽車的舒適性、穩定性提出了越來越高的要求。傳統的被動懸架難以達到預期的性能，開發主動、半主動懸架是最具市場前景的發展方式之一[1]。汽車主動懸架控制問題并非單純的抑制車身的振動加速度，還需綜合考慮懸架動行程、接地性，輸入飽和等約束，顯然增加了設計的難度。近年來，大部分學者提出考慮約束的H∞控制策略，用于處理汽車主動懸架的多目標控制問題[2-5]。目前的一些非線性控制方法[6-8]，雖然具有較強的魯棒性，但僅以簧載質量位移為控制目標，難以保證懸架的物理約束，且簧載位移無法直接測量。顯然，考慮約束的H∞控制策略是一個有效的可選方案。近年來，SUN等[9-11]提出了汽車主動懸架的有限頻域H∞控制策略。相對于全頻域H∞控制而言，有限頻域控制能進一步提高懸架的舒適性[12-13]。

目前關于汽車懸架的有限頻域H∞控制均是基于全狀態反饋和動態輸出反饋[9-16]。靜態輸出反饋具有結構簡單、易于工程實踐等優點[17-24]。因此，有必要進一步研究汽車懸架的有限頻域H∞靜態輸出反饋控制。有限頻域H∞靜態輸出反饋問題比傳統的全頻域靜態輸出控制具有更強的耦合性，傳統的一些方法難以求解，一直是控制理論的一個難點問題。文獻[17]提出了采用兩階段法處理有限頻域H∞靜態輸出反饋控制問題，并應用于結構振動控制當中，然而該方法對于主動懸架控制并無可行解。

本文提出一個基于單步法求解的有限頻域H∞靜態輸出反饋控制定理，用于車輛懸架的多目標控制。通過數值算例及臺架試驗驗證所提方法的有效性。

1 問題描述及必要引理

考慮狀態空間形式的連續線性系統為

(1)

式中x(t)∈Rn——系統狀態u(t)∈Rm——系統輸入ω(t)∈Rw——外部干擾y(t)∈Rq——系統輸出，q

A、B、B1、C、C1、D1、C2、D2為合適維數的常數矩陣，且外部干擾ω(t)∈l2[0，∞)。

對于全狀態反饋控制，控制器具有

u(t)=Kx(t)

(2)

式中K——待設計的狀態反饋增益矩陣

將式(2)代入式(1)中，可得基于全狀態反饋的閉環系統

(3)

其中

對于靜態輸出反饋控制，控制器可設計為

u(t)=y(t)

(4)

則基于靜態輸出反饋的閉環系統可表示為

(5)

其中

=A+BC1=C1+D1C

2=C2+D2C

主要控制目標為設計一個有限頻域H∞靜態輸出反饋控制器，使得被控系統式(1)在無干擾下漸近穩定，且滿足指標

(6)

|{z2}i|≤1 (i=1,2,…,p2)

(7)

式中Tz1ω——ω到z1的傳遞函數γmin——能量增益ω——頻率，ω1<ω<ω2

為了證明文中提出的主要定理，首先引進GKYP引理[17]：對于閉環系統式(3)，有限頻域不等式(6)成立，僅當存在對稱矩陣P>0、Q>0滿足

ΦTΞΦ<0

(8)

其中

(9)

式中O——零矩陣

2 有限頻域控制器設計與綜合

由于現有的有限頻域控制定理[9-16]不滿足單步法的充分條件，全狀態反饋增益不能因式分解為正定矩陣乘積的形式，導致靜態輸出反饋問題并無可行解。因此，文中提出新形式的基于全狀態反饋的有限頻域控制H∞定理，使得控制增益矩陣可分解為正定矩陣乘積的形式，并引入了松弛系數，使其具有更小的保守性。

定理1(有限頻域H∞狀態反饋控制)：給定正標量γ、r、η、a1、b1、a2、b2、c2。閉環系統(3)在ω=0時漸近穩定，且在最大干擾能量ωmax=r/η下滿足性能指標(6)、(7)。若存在對稱矩陣X>0，Q>0，Ps>0，P滿足

Ξs+ΩT+Ω<0

(10)

Ξ+Γ+Γ<0

(11)

(12)

其中

(13)

(14)

同理，將ΦT及其轉置左右乘不等式(11)可得

ΦT(Ξ+ΓT+Γ)Φ<0

(15)

注意到ΓΦ=0，因此式(15)等價于ΦΞΦ<0。根據GKYP引理可知，有限頻域指標式(6)得到保證。

定義一個能量函數V(t)=xT(t)Psx(t)。對于任意的η>0，有不等式

對V(t)求導可得

進一步將式(12)寫為

(16)

將式(16)兩邊同時左乘xT右乘x，可得

(17)

故在最大干擾ωmax=r/η下，式(7)得到保證。

考慮到定理1中含有雙線性項及逆矩陣，難以直接應用LMI凸優化技術求解，需要對其進行同余變換。定義變換矩陣為

(18)

(19)

(20)

(21)

其中

(22)

式中XN∈R(n-q)×(n-q)——對稱正定矩陣XR∈Rq×q——對稱正定矩陣YR∈Rm×q——一般矩陣N∈Rn×(n-q)——ker(C)的基底L∈R(n-q)×q——任意矩陣

將式(22)代入推論1中可得基于單步法求解的有限頻域H∞靜態輸出反饋控制準則。

(23)

(24)

(25)

備注1：單步法的證明過程可參閱文獻[20]。根據定理2，有限頻域靜態輸出反饋控制問題可通過一個單步LMI直接求解。區別于傳統的全頻域靜態輸出反饋控制問題，有限頻域具有更強的耦合性，控制矩陣不僅與系統參數矩陣耦合，也和頻域不等式矩陣耦合。傳統的一些迭代LMI算法、CCL算法[21]及一些進化算法[4]不一定具有可行解，且設計及編程復雜。顯然，定理2極大地簡化了設計過程。

備注2：注意到定理2中含有一個自由矩陣L，該矩陣需要設計者自行選擇。矩陣L的選取對定理2的可行性具有決定性的影響，當L選取不當時，定理2并無可行解。在以往大部分工作中，均采用經驗調試的方法，當系統維數較大時，該方法是繁瑣的。根據當前較新的研究成果，文獻[22]提出了借助狀態反饋的信息決定矩陣L，避免了問題的不可行性。

因此，采用3個步驟求解有限頻域H∞靜態輸出反饋控制增益矩陣。

(1)首先求解凸優化問題

(26)

(2)若式(26)具有可行解，則矩陣L為

(27)

(3)將求出的矩陣L代入R中，并求解凸優化問題

(28)

為了便于對比，這里亦推導出基于單步法求解的全頻域H∞靜態輸出反饋控制準則[19]。

定理3(全頻域H∞靜態輸出反饋控制)：考慮閉環系統式(5)，給定正標量γ、r，則系統在ω=0時漸近穩定，且在最大干擾能量ωmax=r/γ2下滿足全頻域H∞性能及約束性能(7)。若存在對稱矩陣XN>0，XR>0及一般矩陣YR滿足

(29)

(30)

其中

3 車輛主動懸架控制應用

將第2節提出的控制定理應用到車輛主動懸架控制當中。限于篇幅考慮，文中以圖1所示的1/4車主動懸架模型[9]為研究對象。顯然，該方法同樣適用于整車懸架。

圖1 1/4車主動懸架模型Fig.1 1/4 vehicle active suspension model

其動力學方程為

(31)

式中ms、mu——車身及非簧載質量ks、cs——懸架剛度和阻尼系數zs、zu——車身及非簧載質量位移ku——輪胎剛度u——主動執行力zr——路面干擾

選取系統的狀態矢量為

(32)

由于狀態變量zu-zr包含路面干擾，采用低成本傳感器難以測量，故文中選取可測的狀態矢量為

(33)

時域硬約束選為

(34)

式中zmax——規定的最大懸架行程umax——執行器的最大輸出力

式(34)中第1項表示懸架動行程約束；第2項表示輪胎動靜載荷比；第3項表示控制飽和。

為了驗證所提控制的有效性，以圖1所示的模型為例給出數值驗證。車輛參數[9]如表1所示。

表1 車輛參數Tab.1 Vehicle parameters

需要注意的是在文獻[9]中，有限頻域最大能量干擾界限設定為ωmax=r/η，η=10 000，而全頻域最大能量干擾界限為r/γ2，實際上η遠大于γ2，這樣的比較并不等價。若強行設置η=γ2，文獻[9]中的定理并無可行解。為了解決該問題，文中引入了松弛變量，減少了設計的保守性。

為了公平地比較，選取有限頻域設計參數為r=0.3，η=150。求解全頻域控制定理發現γ2始終接近于79。因此，全頻域的設計參數選為r=0.16。則兩者的最大能量干擾界限均為ωmax=0.002。

頻域約束參數選為ω1=4 Hz，ω2=8 Hz，最大控制力為umax=1 500 N。定理2中的松弛變量參數選為a1=0.000 01，b1=1.8，c1=3.233，a2=1，b2=1。調節松弛變量，可得保守性小的結果。通過算例研究發現，在約束界限允許的情況下，c1值越小越好。

求解式(26)～(28)可得有限頻域靜態輸出反饋控制器為

f=[6.663 7-1.556 7-0.349 0]

求解定理3可得全頻域靜態輸出反饋控制器為

e=[10.168 7-0.372 9-0.459 4]

根據求出的控制器，可得圖2所示的懸架系統頻域響應情況。圖中比較了相同干擾界限下的全頻域狀態反饋(SFC)、全頻域靜態輸出反饋(SOFC)、有限頻域狀態反饋(SFC)及靜態輸出反饋(SOFC)的頻域響應情況。從圖中可看出，在相同的干擾界限下，有限頻域控制器在低頻段能取得較小的加速度L2增益，尤其在人體對舒適性更為敏感的4～8 Hz范圍內。由于兩者是在相同干擾界限下做比較，故懸架動行程及輪胎動載的峰值增益是相等的。

圖2 懸架系統頻響曲線Fig.2 Frequency response curves of suspension system

為了評估控制系統在時域的響應情況，以連續的長坡型包塊作為路面干擾激勵[3]，即

(35)

式中h——包塊高度，取0.05 mV——車速，取25 m/sL——包塊長度，取5 m

圖3為懸架系統在長坡包塊激勵下車身加速度的時域響應曲線，從圖中可看出，基于有限頻域控制的懸架系統具有較小的加速度幅值，舒適性得到改善。圖4給出了主動懸架時域硬約束的響應情況，在給定的干擾界限下，有限頻域控制器能滿足懸架時域硬約束條件，懸架動行程、輪胎動載、控制力都在限值內。

圖3 車身加速度包塊響應Fig.3 Bump response of car body acceleration

圖4 懸架約束響應 Fig.4 Constraint response of suspension

由于舒適性可量化為加速度的均方根，為了評估控制器在隨機路面激勵[16]下的響應情況，表2～4給出了各性能指標的均方根，其中激勵時間為10 s，車速為25 m/s。從表中可看出，對于不同等級的路面輪廓，有限頻域控制能取得較小的加速度均方根，同時其余的物理約束均方根指標也小于被動控制，滿足規定的性能要求。

4 臺架試驗結果

為了進一步評估該方法的有效性，采用圖5所示的主動懸架比例試驗臺進行臺架試驗，臺架部件規格及尺寸如表5所示。工作部件包括與設備配套的基于Matlab/Simulink用戶的實時控制軟件、AMPAQ-L2型線性電流放大器和一個Q8-USB型數據采集卡。

由于實際參數與名義參數存在一定偏差，直接采用第2節所提方法難以達到預期的效果。因此，需要考慮系統的參數不確定性，設計一個魯棒控制器。參照文獻[5]中的步驟可將定理2拓展為考慮參數攝動的魯棒控制準則。將求解出的控制增益編入控制軟件中，產生控制力由電動機控制模塊轉換為電動機控制信號進行實時反饋控制。在測試中，頂盤加速度由下方安裝的加速度計直接測量，頂盤和中間盤的位移由分辨率為1 024的編碼器測量，并通過高通濾波器將其轉換為速度量。路面干擾有底部的電動機-帶傳動裝置模擬產生，激勵頻率與幅值設置為4～6 Hz、0.01 m。根據設備的規格及電動機功率，最大懸架行程選為zmax=0.03 m，最大控制輸出選為umax=50 N。

表2 車身振動加速度均方根Tab.2 Root mean square of body acceleration m/s2

表3 懸架動行程比率均方根Tab.3 Root mean square of suspension dynamic stroke ratio

表4 輪胎動靜載荷比均方根Tab.4 Root mean square of tire load ratio

圖5 主動懸架試驗臺Fig.5 Active suspension setup1.可調質量塊 2.加速度計 3.無刷直流電動機 4.位移編碼器5.可調剛度彈簧 6.干擾傳遞板 7.傳動絲杠 8.伺服電動機

表5 設備參數Tab.5 Setup specification

試驗結果如圖6～8所示。圖6為不同控制下頂盤加速度的響應情況。顯然，對比于被動控制及全頻域控制，有限頻域控制能取得更好的干擾衰減效果，具有較小的保守性。從圖7中可看出，懸架行程小于規定的約束值。圖8為輪胎行程zu-zr的響應情況。

5 結束語

提出了基于單步法求解的有限頻域靜態輸出反饋H∞控制器設計方法，用于車輛主動懸架的多目標控制。應用GKYP引理，以LMI的形式給出了控制器的設計準則。針對一類約束的線性系統，給出了一個新的有限頻域H∞控制定理，使其滿足單步法的充分條件，通過引入松弛變量減少了設計的保守性。區別于以往的靜態輸出反饋求解方法，本文采用一個新的單步法，減少了編程及計算時間，且借助全狀態反饋信息來避免問題的不可行性。數值及試驗結果驗證了設計方法的有效性，相對于被動系統及全頻域控制而言，有限頻域的控制方法能更好地衰減4～8 Hz的低頻振動，在保證時域約束的前提下，舒適性得到改善。

圖6 垂直加速度響應Fig.6 Vertical acceleration response

圖7 懸架動行程Fig.7 Suspension deflection

圖8 輪胎行程 Fig.8 Tire deflection

1 寇發榮. 汽車磁流變半主動懸架系統設計與試驗[J/OL]. 農業機械學報, 2016, 47(4):280-287.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20160437&flag=1.DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2016.04.037. KOU Farong. Design and test of vehicle semi-active suspension with magnetorheological damper[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2016, 47(4):280-287. (in Chinese)

2 宋剛, 許長城. 考慮控制時滯的車輛主動懸架隨機預瞄控制[J/OL]. 農業機械學報, 2013, 44(6):1-7.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20130601&flag=1.DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2013.06.001. SONG Gang, XU Changcheng. Stochastic optimal preview control of active vehicle suspension with time-delay consideration[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2013, 44(6):1-7. (in Chinese)

3 宋剛, 吳志剛, 林家浩. 考慮時域硬約束的車輛主動懸架H∞控制[J]. 農業機械學報, 2009, 40(4):11-17. SONG Gang, WU Zhigang, LIN Jiahao.H∞control of active suspensions with time-domain hard constraints[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2009, 40(4):11-17. (in Chinese)

4 孔英秀, 趙丁選, 楊彬, 等. 具有時滯的主動懸架非脆弱H∞/L2-L∞靜態輸出反饋控制[J/OL]. 農業機械學報, 2014, 45(8):1-7.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20140801&flag=1.DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2014.08.001. KONG Yingxiu, ZHAO Dingxuan, YANG Bing, et al. Non-fragileH∞/L2-L∞static output feedback control of active suspension with actuator input delay[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2014, 45(8):1-7. (in Chinese)

5 陳長征, 王剛, 于慎波. 含輸入時滯的電動汽車懸架系統有限頻域振動控制的研究[J]. 振動與沖擊, 2016, 35(11): 130-137. CHEN Changzheng, WANG Gang, YU Shenbo. Finite frequency domain vibration control for suspension systems of electric vehicles with actuator input delay[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(11): 130-137. (in Chinese)

6 DESHPANDE V S, MOHAN B, SHENDGE P, et al. Disturbance observer based sliding mode control of active suspension systems[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(11):2281-2296.

7 YAGIZ N, HACIOGLU Y. Backstepping control of a vehicle with active suspensions[J]. Control Engineering Practice, 2008, 16(12): 1457-1467.

8 SUN W, PAN H, ZHANG Y, et al. Multi-objective control for uncertain nonlinear active suspension systems[J]. Mechatronics, 2014, 24(4):318-327.

9 SUN W, GAO H, KAYNAK O. Finite frequencyH∞control for vehicle active suspension systems[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2011, 19(2): 416-422.

10 SUN W, LI J, ZHAO Y, et al. Vibration control for active seat suspension systems via dynamic output feedback with limited frequency characteristic[J]. Mechatronics, 2011, 21(1):250-260.

11 SUN W, ZHAO Y, LI J, et al. Active suspension control with frequency band constraints and actuator input delay[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2012, 59(1): 530-537.

12 WANG R, JING H, YAN F, et al. Optimization and finite-frequencyH∞control of active suspensions in in-wheel motor driven electric ground vehicles[J]. Journal of the Franklin Institute, 2015, 352(2):468-484.

13 WANG R, JING H, KARIMI H R, et al. Robust fault-tolerantH∞control of active suspension systems with finite-frequency constraint[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2015, 62-63:341-355.

14 CHEN Y, ZHANG W, GAO H. Finite frequencyH∞control for building under earthquake excitation[J]. Mechatronics, 2010, 20(1): 128-142.

15 LI X, YANG G. AdaptiveH∞control in finite frequency domain for uncertain linear systems[J]. Information Sciences, 2015, 314(1): 14-27.

16 王剛, 陳長征, 于慎波. 含路面預瞄信息的車輛主動懸架有限頻域多目標控制[J/OL]. 農業機械學報, 2015, 46(12): 294-300.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?flag=1&file_no=20151240&journal_id=jcsam.DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2015.12.040. WANG Gang, CHEN Changzheng, YU Shenbo. Finite frequency multi-objective control of vehicle active suspension with road preview information[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2015, 45(12): 294-300. (in Chinese)

17 ZHANG H, WANG R, WANG J, et al. Robust finite frequencyH∞static-output-feedback control with application to vibration active control of structural systems[J]. Mechatronics, 2014, 24(4): 354-366.

18 CRUSIUS C, TROFINO A. Sufficient LMI conditions for output feedback control problems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1999, 44(5):1053-1057.

19 WANG G, CHEN C, YU S. Optimization and static output-feedback control for half-car active suspensions with constrained information [J]. Journal of Sound and Vibration, 2016, 378:1-13.

20 RUBUO-MASSEGU J, ROSSELL J, KARIMI H, et al. Static output-feedback control under information structure constraints[J]. Automatica, 2013,49(1):313-316.

21 LI P, LAM J, CHEUNG K. Multi-objective control for active vehicle suspension with wheelbase preview[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014,333(21): 5269-5282.

22 PALACIOS-QUINONERO F, RUBUO-MASSEGU J, ROSSELL J, et al. Feasibility issues in static output-feedback controller design with application to structural vibration control[J]. Journal of the Franklin Institute, 2014, 351(1):139-155.

23 BAKKA T, KARIMI H.H∞static output-feedback control design with constrained information for offshore wind turbine system[J]. Journal of the Franklin Institute, 2013, 350(8):2244-2260.

24 PALACIOS-QUINONERO F, RUBUO-MASSEGU J, ROSSELL J, et al. Vibration control for adjacent structures using local state information[J]. Mechatronics, 2014, 24(4):336-344.

Single-step Method Based Finite Frequency Static Output Feedback Control for Vehicle Active Suspension Systems

WANG Gang CHEN Changzheng YU Shenbo

(SchoolofMechanicalEngineering,ShenyangUniversityofTechnology,Shenyang110870,China)

A static output-feedback based finite frequencyH∞controller design method was proposed for vehicle active suspension systems. The static output-feedback controller gain matrix was directly derived via a single-step linear matrix inequality (LMI) optimization. As the previous finite frequencyH∞control theorem did not satisfy the sufficient conditions of single-step method and contained some bilinear terms. The static output-feedback control problem of previous finite frequencyH∞control theorem was infeasible. A new static output-feedback based finite frequencyH∞control theorem was given by using the generalized Kalman-Yakubovich-Popov (GKYP) lemma. The initial static output-feedback controller gain matrix can be directly solved by a single-step LMI optimization. Compared with the traditional iterative linear matrix inequality (ILMI) and cone complementarity linearization (CCL) algorithms, the design process was greatly simplified. The initial infeasibility issue of the static output-feedback control was resolved by using the state-feedback information. Finally, the effectiveness of the proposed method was validated by numerical and experimental results. The results for different road excitations showed that the finite frequency controlling can improve ride comfort effectively, while keeping suspension dynamic deflection, tire dynamic load and controlling input within allowable values.

vehicle; active suspension; frequency-domain constraint; static output-feedback;H∞control; linear matrix inequality

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.02.048

2016-05-08

2016-06-27

國家自然科學基金項目(51175350)和遼寧省科技創新重大專項(2015106023)

王剛(1990—)，男，博士生，主要從事車輛懸架系統及傳動系統振動控制研究，E-mail： w346024519@126.com

陳長征(1964—)，男，教授，博士生導師，主要從事機械設備振動噪聲控制研究，E-mail： CCZedu@126.com

TP273； U463.33

A

1000-1298(2017)02-0354-08