考慮非線性摩擦模型的機器人動力學參數辨識

席萬強 陳 柏 丁 力 吳洪濤 謝本華

(南京航空航天大學機電學院， 南京 210016)

考慮非線性摩擦模型的機器人動力學參數辨識

席萬強 陳 柏 丁 力 吳洪濤 謝本華

(南京航空航天大學機電學院， 南京 210016)

針對機器人動力學參數辨識的問題，提出了一種基于人工蜂群算法的辨識方法。考慮到關節摩擦特性，引入非線性摩擦模型，推導了機器人動力學模型的非線性形式。設計滿足速度、加速度邊界條件的五階傅里葉級數作為激勵軌跡來采集實驗數據；利用人工蜂群算法，以蜂群為搜索單位，通過群體間的信息交流方式與優勝劣汰機制，對模型中的未知參數進行了辨識。最后，對得到的辨識模型進行了分析與驗證，結果表明通過辨識得到關節預測力矩與測量力矩有較高的匹配度，所建立的非線性模型能夠更好地描述機器人的動力學特性。

機器人; 參數辨識; 非線性摩擦模型; 人工蜂群算法

引言

工業機器人是一種集機械、控制、計算機、人工智能等跨學科先進技術于一體的高端制造業中重要的智能裝備，近年來一直是國內外研究的熱點[1-3]。在重載、高速工況下，實現機器人高精度的軌跡跟蹤需要設計基于動力學模型的控制器。然而，由于機器人是一個多變量、強耦合的非線性系統[4]，獲得其適用的數學模型難度很大。為了建立精確的機器人動力學模型，需要對其進行參數辨識研究。

機器人的參數辨識一般分為5個步驟：動力學建模、激勵軌跡設計、數據采集及預處理、參數估計和模型驗證。通常，機器人動力學模型中包含有摩擦模型，而摩擦模型在關節換向處影響很大[5]。PFEIFFER等[6]提出了一種由粘滯摩擦和庫倫摩擦組成的線性摩擦模型，但這種簡單模型并不能描述機器人在低速時的摩擦特性；GROTJAHN等[7]通過分析關節摩擦特性，采用線性的經驗項來補償上述模型，并取得了很好的辨識效果；吳文祥等[8]采用非線性形式的Stribeck模型來描述關節摩擦，并用連續的線性函數來逼近Stribeck模型，但仍未解決由于關節換向導致摩擦補償力矩發生突變的問題；KERMANI等[9]將LuGre摩擦模型引入到機器人動力學模型中，在二自由度和四自由度機器人參數辨識中取得了不錯的結果。

本文將一種非線性摩擦模型加入到六自由度串聯型機器人動力學模型中。然后，設計滿足速度、加速度邊界條件的五階傅里葉級數作為激勵軌跡，并使用平均化濾波法和五點三次平滑法對采樣數據進行預處理。在參數估計中，根據人工蜂群算法(Artificial bee colony algorithm，ABC算法)優越的尋優性能，即通過雇傭蜂搜索、跟隨蜂搜索和偵察蜂搜索來獲得模型中待辨識參數的最優值。最后，根據實驗結果對非線性動力學模型的準確性和辨識算法的有效性進行驗證。

1 非線性動力學模型

對于n自由度串聯型機器人，其剛體動力學方程可由Newton-Euler法或Lagrangian法[10]獲得

(1)

機器人關節換向，即在速度為零處，控制器的輸出極易因測量噪聲與數據量化誤差產生高頻跳變，并激發高頻信號。這導致經典的粘滯-庫倫摩擦模型不能完全描述關節摩擦特性。本文采用DAEMI和HEIMANN提出的非線性摩擦模型[7]對關節摩擦建模，則關節i(i=1,2,…,n)處的摩擦力矩為

(2)

根據文獻[11]，機器人動力學模型(除摩擦模型外)可改寫成關于慣性參數的線性形式

(3)

式中τs∈Rn——電機力矩向量Φs∈Rn×10n——辨識矩陣或觀測矩陣θs∈R10n——慣性參數向量

其中，連桿i的慣性參數向量可表述為

(4)

式中Ixxi、Ixyi、Ixzi、Iyyi、Iyzi、Izzi——連桿i相對于坐標系i原點的各慣性張量的6個分量

rxi、ryi、rzi——質心位置

mi——連桿i的質量

另外，Φs不是滿秩矩陣，因為并不是每個慣性參數都對關節力矩有影響，故需通過線性重組的方式去除冗余的慣性參數[12]，從而得到一組最小慣性參數集。式(3)可改寫成

(5)

式中Φ∈Rn×p——觀測矩陣θ∈Rp——包含連桿最小慣性參數集的向量p——最小慣性參數集的個數

因此，機器人非線性動力學模型可表示為

(6)

式中τf∈R4n——摩擦力矩向量 4n——摩擦參數的個數

可以看出，利用最小二乘法不能對方程(6)進行求解，故本文采用ABC算法來尋找其最優解。

2 ABC辨識算法

ABC算法[13]是對蜜蜂群體覓食行為的模擬，它主要由3部分組成：雇傭蜂、待工蜂和蜜源。其中，待工蜂又可分為跟隨蜂和偵察蜂[14]。對于機器人的參數辨識問題，ABC算法將其每個待辨識的未知參數看作為一個蜜源，根據雇傭蜂搜索、跟隨蜂搜索和偵察蜂搜索的機制，通過采集控制輸入的激勵軌跡和控制輸出的關節力矩、關節位置等信息作為訓練樣本，進行尋優計算獲得最優參數。算法的具體步驟如下：

(1)種群初始化。算法隨機產生N組解，即蜜源。蜜源xij(i=1,2,…,N;j=1,2,…,D)由

(7)

隨機產生數值，對實驗結論沒有影響。

(2)收益度計算。收益度fiti為

(8)

其中

根據fiti的大小保留蜜源質量較高的前N/2組解。需指出，fiti越大，模型辨識的精度也就越高。

(3)雇傭蜂搜索。在第T代時，雇傭蜂對已開采N/2組蜜源的鄰域內進行局部搜索，并產生新的蜜源。為保證算法向最優方向進化，利用貪婪算子來擇優保留優良蜜源。具體的數學描述為

(9)

其中r∈[1,2,…,N/2]且r≠i

(10)

(4)跟隨蜂搜索。跟隨蜂概率為

(11)

根據式(11)選擇雇傭蜂進行跟隨搜索，而雇傭蜂找到的蜜源質量越高，被選擇跟隨的概率也就越大。另外，跟隨蜂搜索也通過貪婪算子來擇優保留搜尋結果。

(5)偵察蜂搜索。對于當前被開采的一組蜜源xij，當搜索次數trial超過某個閾值Limit時，若算法尚未更新已找到的最優解，則當前蜜源被放棄，相應的雇傭蜂也變成偵察蜂并根據式(9)重新進行搜索。

(6)輸出當前最優解，然后返回至雇傭蜂搜索，使得算法進化到下一代并反復循環迭代，直到終止條件T=Tmax。

ABC辨識算法的流程圖如圖1所示。

圖1 ABC辨識算法的流程圖Fig.1 Procedure of ABC identified algorithm

3 激勵軌跡設計

(12)

式中t——激勵時間ωf——基頻qi,0——關節位置的補償量K——諧波項個數ai,η、bi,η——正弦項、余弦項的幅值

每個傅里葉級數含有2K+1個參數。

為了減小動力學參數對測量誤差的敏感，需對激勵軌跡進行優化。由于激勵軌跡受到關節位置、電機力矩、關節加速度、工作空間等條件約束，因此激勵軌跡的優化問題可描述為

(13)

4 采樣數據預處理

機器人通過PID控制器連續重復跟蹤激勵軌跡，同時對電動機電流和關節位置信號進行采樣，而電動機電流通過轉矩常數轉換為電動機力矩信號。需要指出是，樣本數據是在機器人起動時刻瞬態效應消失后進行采樣的。由于采樣得到的數據會受到噪聲污染，若直接將該數據用于參數辨識，會降低辨識的精度，因而需對采樣數據進行預處理。

由于通過激勵軌跡所采集的數據具有周期性，故對原始數據進行時域平均化濾波法來提高信噪比，即

(14)

式中qs(k)、xs(k)——第s個周期內第k次采樣得到的關節位置與電動機電流數據

S——采樣周期次數

為了使采集數據平滑，采用五點三次平滑法對采集數據進行平滑處理，即

(15)

這里需指出，對于數據序列反復使用式(15)可得到更加平滑的曲線，但過多的平滑也會導致原始數據信息的丟失，且越往后平滑，改善的效果也不大。另外，平滑后的數據與原始數據的誤差不能超過10%。

通常，因缺少速度與加速度傳感器，相應的關節速度與加速度無法直接測量，而對關節位置直接微分會放大測量中的噪聲，故采用文獻[16]中的解析法來估算角速度與角加速度，具體步驟為：

(1)將預處理后的關節位置數據通過最小二乘法擬合成有限傅里葉級數，即

(16)

(2)對擬合得到的傅里葉級數進行微分，得到關節角速度與角加速度，為

(17)

(18)

每個傅里葉級數含有2Ni+1個參數。

5 實驗結果與分析

5.1 辨識實驗

本實驗采用離線辨識法，相較于在線辨識更易于實施，不需要初值且沒有計算時間約束。所用的六自由度串聯型機器人ER-16如圖2所示。圖3是對應的連桿坐標系，表1給出了ER-16的D-H參數。機器人前3個關節的動力學參數遠大于后3個關節[17]，故辨識實驗僅在前3關節進行。激勵軌跡是基頻為0.04 Hz(周期為25 s)，帶寬為0.25 Hz的五階傅里葉級數，如圖4所示。機器人連續重復跟蹤50個周期的激勵軌跡，整個實驗的采樣頻率為1 kHz，在1個周期內每隔10個采樣點記錄1組關節位置與電動機電流，共采集2 500組原始數據。機器人各關節的運動約束如表2所示。

圖2 ER-16六自由度機器人Fig.2 ER-16 6-DOF robot

圖3 ER-16連桿坐標系Fig.3 ER-16 links coordinate system

為了驗證本文所建模型的精確性，將已提出的基于ABC算法辨識的線性模型(摩擦模型為庫倫-粘滯摩擦)[18]進行對比分析。同樣地，在Matlab 2012b軟件環境下，設置ABC算法的初始條件為：N=30，Limit=15，Tmax=50。利用ABC算法對機器人動力學參數進行辨識，并記錄下迭代過程中每代的最優收益度，迭代曲線如圖5所示。從圖中可以看出，ABC算法在13代時便開始收斂，收斂速度快，且最大收益度為0.781 8。

表1 ER-16連桿參數Tab.1 ER-16 parameters of links

圖4 關節空間優化的機理軌跡Fig.4 Optimized exciting trajectories in joint space

參數關節最小值最大值1-180180q/(°)2-60603-170801-145145q·/((°)·s-1)2-1051053-1701701-5050q··/((°)·s-2)2-40403-65651-1200τ/(N·m)2-10003-600

圖5 ABC算法的迭代曲線Fig.5 Iterative curve of ABC algorithm

根據文獻[19]可得到機器人前3關節共含有27個基本動力學參數，即15個最小慣性參數和12個摩擦參數。經ABC算法辨識的結果如表3所示。

表3 機器人的動力學參數Tab.3 Dynamic parameters of robot

根據表3辨識的動力學參數與期望的運動數據可以計算出各關節力矩的預測值，同時也給出了經過線性模型得到的各關節預測力矩，對比關節力矩的預測力矩與實際測量力矩，結果如圖6所示。從圖中可以看出，通過2種動力學模型得到的各關節預測力矩均對測量力矩有較好的跟隨性；基于非線性模型得到的預測力矩相對平滑，更適合控制器的設計。這表明，本文所建立的非線性模型準確性高，更能體現機器人關節處的摩擦特性。

5.2 模型驗證

對于模型結構或模型解析式已知的系統，模型驗證的任務就是確定模型中參數估計的精度[20]。參數估計的精度可以用預測輸出力矩τi與實際測量力矩τpi的匹配度來衡量，匹配度計算公式為

(19)

圖6 關節預測力矩與實際力矩對比Fig.6 Comparison between predicted torque and actual torque

若δ越接近100%，則說明辨識精度越高；反之，若δ越接近0，則說明辨識精度越差。前3個關節的匹配度分別為86.35%、89.96%和89.24%。匹配度高，僅在速度反轉時出現誤差峰值。這可能與摩擦模型在低速時無法復現復雜的動態摩擦行為有關，因而采用精確的動態摩擦模型可以有效提高辨識匹配度。說明通過ABC算法辨識機器人非線性動力學模型是有效的，能夠準確反映系統的動力學特性。

為了進一步闡述辨識的精確性，圖7給出了通過2種模型辨識的誤差曲線。從圖7a與圖7b可以看出，基于非線性模型辨識的結果在關節換向處(誤差峰值處)的辨識誤差明顯小于基于線性模型辨識得到的結果。然而，圖7c中關節力矩誤差減小得并不明顯，其原因可能為關節3受到關節4、5、6的耦合影響，導致關節3的摩擦特性發生了改變。

圖7 關節預測力矩與實際力矩的誤差Fig.7 Error between predicted torque and actual torque

6 結論

(1)本文提出的辨識算法能夠準確地辨識出動力學參數，算法收斂速度快、尋優能力強，能夠實現對機器人驅動力矩的精確預測。

(2)與線性動力學模型相比，本文建立的非線性動力學模型有效改善了在關節換向處摩擦力矩發生突變的情況。

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Dynamic Parameter Identification for Robot Manipulators with Nonlinear Friction Model

XI Wanqiang CHEN Bai DING Li WU Hongtao XIE Benhua

(CollegeofMechanicalandElectricalEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)

Aiming at the dynamical parameter identification for robot manipulator, the artificial bee colony algorithm for identification was proposed. Considering the friction characteristics that the friction model was unable to reappear the behavior of complex dynamic friction at low speeds, the nonlinear robot model contained the nonlinear friction model was deduced by introducing the nonlinear Daemi-Heimann model. Then, the five order Fourier series was designed as exciting trajectory to collect experimental data, which satisfied velocity and acceleration boundary conditions. With the artificial bee colony algorithm, the colony bee was employed as search unit to identify unknown parameters which included 15 minimum inertia parameters and 12 friction parameters in the model through exchanging the information and retaining the superior individual. Finally, the established model was validated and analyzed, and all the results demonstrated that the proposed identification algorithm can accurately identify the dynamical parameters, and it also had high-speed convergence, strong search capability and can achieve the accurate prediction of robot driving torque. Compared with the linear dynamic model, the established nonlinear dynamical model can effectively improve the condition of sudden change about friction torque at the moment of joints commutation and can well reflect the dynamical characteristics of robot.

robot; parameter identification; nonlinear friction model; artificial bee colony algorithm

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.02.053

2016-06-14

2016-07-30

國家自然科學基金項目(51575256、51375230)

席萬強(1989—)，男，博士生，主要從事工業機器人參數辨識研究，E-mail： xi_wanqiang@163.com

陳柏(1978—)，男，教授，博士生導師，主要從事介入醫療機器人和工業機器人研究，E-mail： chenbye@126.com

TP242

A

1000-1298(2017)02-0393-07