無感蔡氏電路混沌同步控制實(shí)驗(yàn)

閔富紅， 彭光婭， 葉彪明， 王恩榮

(南京師范大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院, 江蘇 南京 210042)

無感蔡氏電路混沌同步控制實(shí)驗(yàn)

閔富紅， 彭光婭， 葉彪明， 王恩榮

(南京師范大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院, 江蘇 南京 210042)

設(shè)計(jì)了綜合性強(qiáng)的非線性電路實(shí)驗(yàn)，基于合適的線性反饋控制器，實(shí)現(xiàn)運(yùn)動行為不同的2個(gè)蔡氏電路系統(tǒng)的混沌同步控制。利用非線性限幅函數(shù),設(shè)計(jì)等效無感蔡氏電路的同步控制電路圖，電路結(jié)構(gòu)簡單易操作。通過調(diào)節(jié)電位器的阻值，改變同步控制器的增益，觀測實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到漸近同步。通過非線性電路系統(tǒng)的開發(fā)式實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力和科研能力，有利于非線性電路課程的深入學(xué)習(xí)和理解。

電路實(shí)驗(yàn); 蔡氏電路； 同步控制

蔡氏電路是非線性電路中產(chǎn)生復(fù)雜動力學(xué)行為的最簡單的混沌振蕩電路之一,由美國加州大學(xué)蔡少棠教授[1-5]于1983年提出。蔡氏電路作為一種典型的非線性電路,其結(jié)構(gòu)簡單,易于電路實(shí)驗(yàn)和改建,運(yùn)動行為豐富,可廣泛應(yīng)用于非線性科學(xué)和保密通信等領(lǐng)域。因而,蔡氏電路的混沌同步控制已經(jīng)成為當(dāng)前非線性科學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)課題。文獻(xiàn)[6]使用Multisim仿真軟件研究了電路元件參數(shù)對稱和不對稱情況下蔡氏電路的混沌控制與同步；文獻(xiàn)[7]針對經(jīng)典三階蔡氏電路,提出一種利用符號函數(shù)的非線性投影同步控制方法,并完成了硬件電路實(shí)驗(yàn)；文獻(xiàn)[8]基于穩(wěn)定性理論,數(shù)值模擬了變形蔡氏電路的同步和錯(cuò)位同步的問題；文獻(xiàn)[9]提出了一種絕對值函數(shù)反饋控制的同步法,實(shí)現(xiàn)了變形蔡氏電路的函數(shù)同步控制的軟件仿真和硬件電路實(shí)驗(yàn)；文獻(xiàn)[10]基于T-S模糊法實(shí)現(xiàn)了蔡氏電路的輸出反饋同步；文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階蔡氏電路同步控制的無感模塊化電路圖并完成了模擬實(shí)驗(yàn)。以上工作為蔡氏電路同步的研究奠定了良好的基礎(chǔ),但有些控制方法過于理論化,沒有實(shí)際硬件電路實(shí)驗(yàn)。另外,由于傳統(tǒng)蔡氏電路電感元件的存在,在進(jìn)行硬件電路實(shí)驗(yàn)調(diào)試時(shí),誤差較大且設(shè)計(jì)精度很難滿足要求。為此,本課題組根據(jù)蔡氏電路系統(tǒng)中變量的運(yùn)算關(guān)系,利用運(yùn)算放大器的限幅原理[12],設(shè)計(jì)了等效的無感蔡氏電路[13],通過實(shí)驗(yàn)演示發(fā)現(xiàn)其輸出的周期運(yùn)動、混沌吸引子與經(jīng)典蔡氏電路的運(yùn)動行為完全相同,且硬件電路實(shí)驗(yàn)易于調(diào)試。

本文提出基于模塊化的等效無感蔡氏電路系統(tǒng),設(shè)計(jì)簡單的反饋控制器,實(shí)現(xiàn)運(yùn)動行為不同的蔡氏電路系統(tǒng)混沌同步控制實(shí)驗(yàn)。通過改變電位器的阻值,調(diào)節(jié)同步控制器的增益,使得驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)漸近同步,以加深學(xué)生對非線性電路的認(rèn)知。通過對蔡氏電路同步控制的電路設(shè)計(jì)、軟件模擬仿真、硬件電路調(diào)試以及觀測分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果,提高學(xué)生的電路設(shè)計(jì)能力和實(shí)踐能力,培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新思維的能力。

1 問題描述

蔡氏電路系統(tǒng)已被廣泛用于高校的物理學(xué)和電路課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中。蔡氏電路無量綱的數(shù)學(xué)模型為:

(1)

為了觀測具有不同運(yùn)動行為的2個(gè)蔡氏電路系統(tǒng)同步,設(shè)式(1)系統(tǒng)為驅(qū)動系統(tǒng),則受控的響應(yīng)系統(tǒng)為:

(2)

u=(u1,u2,u3)T為要設(shè)計(jì)的同步控制函數(shù)。

根據(jù)設(shè)計(jì)的不同控制器u,可使得驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的輸出達(dá)到完全同步、投影同步或者函數(shù)同步等。在進(jìn)行非線性電路實(shí)驗(yàn)過程中,學(xué)生可以自由選擇不同的控制器進(jìn)行電路設(shè)計(jì),觀測同步關(guān)系,從而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。由于蔡氏電路的系統(tǒng)狀態(tài)變量z由y直接控制,因此控制了變量y以后無需對z再進(jìn)行同步控制。因而提出一種基于3個(gè)狀態(tài)變量添加控制環(huán)節(jié)、實(shí)現(xiàn)2個(gè)狀態(tài)變量同步控制的方法,實(shí)現(xiàn)2個(gè)運(yùn)動行為不同的蔡氏電路同步,設(shè)計(jì)的合適線性反饋控制器為:

(3)

其中,參數(shù)k1、k2為控制增益,p1、p2為比例系數(shù)。當(dāng)p1=p2=1時(shí),則實(shí)現(xiàn)2個(gè)混沌系統(tǒng)的完全同步,否則屬于投影同步。所設(shè)計(jì)的同步控制方法簡單,便于觀測得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

2 蔡氏系統(tǒng)同步電路的設(shè)計(jì)

在經(jīng)典蔡氏電路系統(tǒng)中,包括1個(gè)電感、1個(gè)電阻、2個(gè)電容以及一個(gè)非線性電阻環(huán)節(jié)。其中,非線性電阻環(huán)節(jié)是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動的關(guān)鍵。由于混沌的初始敏感性,在實(shí)際電路實(shí)驗(yàn)中對電感的精度要求很高,從而很難觀測到穩(wěn)定的混沌運(yùn)動。為此,課題組利用運(yùn)算放大器的限幅特性,實(shí)現(xiàn)非線性的不連續(xù)特性,設(shè)計(jì)了只包含電阻、電容、運(yùn)算放大器及二極管等元器件的無感等效蔡氏電路,通過調(diào)節(jié)阻容元件的大小,很容易從示波器中觀測不同的周期運(yùn)動與混沌吸引子的時(shí)序圖、李莎育圖形。基于等效的無感蔡氏電路圖,設(shè)計(jì)的驅(qū)動系統(tǒng)、響應(yīng)系統(tǒng)及控制器的模塊化同步控制電路圖見圖1。圖1中虛框部分為同步控制器電路,是由運(yùn)算放大器和電阻構(gòu)成的減法電路。根據(jù)電路的基本理論以及各個(gè)元件的特征,得到驅(qū)動系統(tǒng)的電路狀態(tài)方程如下:

(4)

非線性函數(shù)電路由電阻R1、R2、R3,以及2個(gè)導(dǎo)通電壓約為0.65V的1N5712型二極管以及正負(fù)電源共同實(shí)現(xiàn),具體表達(dá)式為:

(5)

比較式(1)與式(4)得到驅(qū)動系統(tǒng)各參數(shù)的表達(dá)式為:

(6)

同樣道理,受控的響應(yīng)系統(tǒng)(見式(2))的電路表達(dá)式為:

(7)

圖1 同步控制系統(tǒng)電路圖

其中,非線性環(huán)節(jié)選擇元件與驅(qū)動系統(tǒng)部分一致,表達(dá)式為:

(8)

并且控制器部分的表達(dá)式為:

(9)

將受控的響應(yīng)系統(tǒng)(見式(2))、控制器(見式(3))與式(7)比較,則系統(tǒng)參數(shù)的表達(dá)式為:

(10)

若取電阻Ra1=Ra2=Ra3=Ra4=10 kΩ,Rb1=Rb2=Rb3=Rb4=10 kΩ時(shí),由圖1可得可知控制器部分的控制增益與比例因子分別為:

(11)

比例因子p1、p2的值定為1,表示驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的達(dá)到完全同步,當(dāng)然根據(jù)實(shí)際需要通過調(diào)節(jié)相關(guān)電阻,p1、p2的值也可以進(jìn)行調(diào)節(jié),以實(shí)現(xiàn)不同的同步控制類型。如果固定電容C1的值,只要調(diào)節(jié)電位器Ra5和Rb5的值,就可以改變同步控制器增益的大小,實(shí)現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步控制。

3 硬件電路實(shí)驗(yàn)

在實(shí)驗(yàn)過程中,使用UTD4062C型號的示波器觀察整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行情況。首先調(diào)節(jié)電位器,分別觀測未施加控制器之前驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的運(yùn)動。當(dāng)選取α1=9.5時(shí),阻值R4=35 kΩ、R5=3.5 kΩ、R8=1 kΩ,驅(qū)動系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)為多渦卷吸引子,如圖3(a)所示;當(dāng)選取α2=9.0時(shí),阻值R18=38.89 kΩ、R19=3.89 kΩ,R22=1.11 kΩ,此時(shí)響應(yīng)系統(tǒng)處于單渦卷混沌吸引子,如圖3(b)所示。然后,合上控制開關(guān),調(diào)節(jié)電位器Ra5和Rb5的阻值,當(dāng)Ra5=Rb5=100 Ω,即k1=k2=100時(shí),觀測到驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到完成同步,響應(yīng)系統(tǒng)由單渦卷吸引子迅速轉(zhuǎn)換為雙渦卷混沌運(yùn)動,如圖4所示。可見,驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)：x1-x2、y1-y2和z1-z2曲線擬合是斜率為1的直線,驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的全狀態(tài)變量的時(shí)序圖都漸近同步,充分地驗(yàn)證這種新型控制器的可行性。

與經(jīng)典蔡氏電路系統(tǒng)的同步控制電路相比較,這里硬件實(shí)驗(yàn)中使用了等效的無感蔡氏電路,電路結(jié)構(gòu)簡單,易于調(diào)試,可以從示波器直接觀測中3個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量的同步情況,波形穩(wěn)定,實(shí)驗(yàn)效果好。該實(shí)驗(yàn)激發(fā)了學(xué)生對非線性電路的深入學(xué)習(xí)的興趣。

圖2 同步控制系統(tǒng)電路實(shí)物圖

圖3 未加控制前驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的x-y相圖

圖4 同步控制效果圖

4 結(jié)論

本文以經(jīng)典蔡氏電路為研究對象,基于簡單的反饋控制方法實(shí)現(xiàn)了具有不同運(yùn)動的2個(gè)混沌系統(tǒng)同步,設(shè)計(jì)了等效無感蔡氏電路的同步控制電路圖,焊接電路板,完成了硬件實(shí)驗(yàn)的測試,實(shí)現(xiàn)了全狀態(tài)變量的完全同步。實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合設(shè)計(jì)要求,電路簡單易懂,可操作性強(qiáng)。通過完成無感蔡氏電路同步的實(shí)驗(yàn),調(diào)節(jié)電位器可以觀測到系統(tǒng)的周期運(yùn)動與混沌吸引子,加深了學(xué)生對非線性電路的認(rèn)識,讓學(xué)生熟悉了混沌同步控制。此外,學(xué)生可利用Multisim軟件完成電路模擬仿真,并將仿真結(jié)果與硬件電路實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果比較,進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的可行性與有效性。當(dāng)然,學(xué)生還可以繼續(xù)實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的創(chuàng)新,設(shè)計(jì)不同的控制器電路,完成相應(yīng)的軟硬件實(shí)驗(yàn),觀測不同實(shí)驗(yàn)結(jié)果,從而拓寬眼界,提高其科研創(chuàng)新能力。

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Experiment on chaotic synchronous control of Chua’s circuit without inductors

Min Fuhong, Peng Guangya, Ye Biaoming, Wang Enrong

(School of Electrical and Automation Engineering，Nanjing Normal University，Nanjing 210042，China)

A strong comprehensive nonlinear circuit experiment is designed, and based on linear feedback controller, the chaotic synchronization control for two Chua’s circuits with different motion is realized. By using the nonlinear limiting amplitude function, the synchronous control circuit diagram of Chua’s circuit without inductors is designed. Its circuit structure is simple, and its operation is easy. Through adjusting the resistance value of the potentiometer, the gain of the synchronous controller is changed. In the observation of the experimental results, the asymptotic synchronization is achieved for the drive system and response system. Through the open experiment of nonlinear circuit, the students’ innovative ability and scientific research ability are cultivated, and it is also helpful for the students to gain the deep learning and understanding of Nonlinear Circuit course.

circuit experiment; Chua’s circuit; synchronous control

10.16791/j.cnki.sjg.2017.02.012

2016-08-08 修改日期：2016-10-09

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51475246); 江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BK20131402)；江蘇省研究生教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目(JGLX16_016); 南京師范大學(xué)研究生教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐重點(diǎn)課題

閔富紅(1970—),女,江蘇海安,博士,副教授,研究方向?yàn)榉蔷€性電路的教學(xué)與研究.

E-mail：minfuhong@njnu.edu.cn

G642.3, TM132

A

1002-4956(2017)2-0043-04