一類含參數(shù)緊支撐正交小波的構造

張麗嫻，楊守志

（汕頭大學數(shù)學系，廣東汕頭515063）

一類含參數(shù)緊支撐正交小波的構造

張麗嫻，楊守志

（汕頭大學數(shù)學系，廣東汕頭515063）

本文提供了一種新的尺度函數(shù)構造方法.通過兩個已知的正交兩尺度符號簡單的加權平均得到一個新的尺度符號，所構造的尺度符號能夠生成一個尺度函數(shù).這尺度函數(shù)具有正交性、緊支撐性，且生成L2上的一個多分辨分析，對應的正交小波生成L2上小波空間.這種構造方法使得在同一區(qū)間長度上的小波具有無窮種，豐富了小波的種類.

尺度函數(shù)；小波；正交性；多分辨分析；小波空間

0 引言

上世紀80年代初Morlet[1]首次提出小波這個概念，主要用于地質勘探.Meyer[2-3]在Morlet的方法進行深入研究，使得小波分析得到突破性發(fā)展.隨后，各個領域專家和學者開始研究小波，且與各自領域相互結合，形成了如今小波在各領域廣泛使用的狀況.由于小波具有較好的應用前景，許多學者仍繼續(xù)研究，Daubechies[4-5]提出一類緊支撐正交小波基的構造.Chui[6-8]給出了一類緊支撐樣條小波的構造.Li[9]等構造了任意長度的正交小波的低通濾波器的系數(shù).為了得到更好的性質，文獻[10]提出新平穩(wěn)雙正交樣條小波的概念.Zarmehi[11]等構造出有界區(qū)間上匹配的多結B樣條小波.

本文提供了一種含參數(shù)的正交尺度函數(shù)構造方法.隨著參數(shù)選擇的不同，在同一區(qū)間長度所構造的小波也不一樣.這種構造方法使得在同一區(qū)間長度上，具有無窮多種小波，大大地豐富了小波的種類，給優(yōu)化應用提供了更多的選擇.

1 新緊支撐正交尺度函數(shù)的構造

定義1假設{Vj（j∈Z）}為L2（R）的閉子空間，如果Vj滿足：

（1）一直單調性：…?V-2?V-1?V0?V1?V2?…?L2（R）；

（2）漸進完全性：∩j∈ZVj=0，；

（3）伸縮規(guī)則性：φ（x）∈Vj?φ（2-jx）∈V0，j∈Z；

（4）平行不變性：φ（x）∈V0?φ（x－k）∈V0，對所有的k∈Z.

那么Vj稱為L2（R）上的一個多分辨分析.

對上述的φ（x）∈V0，存在唯一序列pk∈l2（Z），使得

稱φ是尺度函數(shù)

稱為尺度函數(shù)φ的兩尺度符號.

為了構造的需要，下面引入兩個結果.

Cohen條件[4-5]設P（ω）形如（2）式的一個多項式，若滿足下列條件：

（1）P（0）=1；

則P（ω）是正交尺度函數(shù)的符號.

Riesz引理[6]令a0，…，aN∈R，而且aN≠0，使

那么存在具有實系數(shù)且精確次數(shù)為N的一個多項式

1.1 新尺度符號的構造

定理1設P1（ω）和P2（ω）是滿足Cohen條件的兩個尺度符號.構造，其中∈[0，1]，那么Pne（wω）是一個新的正交尺度符號.

證明：

（1）顯然Pnew（ω）滿足Cohen條件（2）.

由Cohen條件和Riesz引理可知Pne（wω）是正交尺度符號.

為了方便，設

2 新的尺度函數(shù)性質

2.1 對應的尺度函數(shù)和小波函數(shù)

設φnew是Pnew（ω）生成的正交尺度函數(shù)，其兩尺度關系為：

對應的正交小波

2.2 φnew（x）屬于L2（R）

為了證明φnew（x）∈L2（R），只需證明B＜2N－1.（見文獻[6]）

設φ1和φ2是兩個已知尺度符號P1（ω）、P2（ω）生成的尺度函數(shù)，屬于L2（R）且逼近階分別為N1，N2，N1≤N2，那么P1（ω）、P2（ω）有下面的形式：

其中S（10）=1與S（1）≠1，S（20）=1與S（2）≠1.

由于φ1和φ2屬于L（2R），所以分別有.

因為

所以φnew（x）∈L2（R）.

2.3 φnew的逼近階

定理2假設P1（ω）和P2（ω）滿足（2）式，由P1（ω）和P2（ω）分別生成的尺度函數(shù)φ1和φ2逼近階分別為N1，N2，且N1＜N2，

證明：因為φ1和φ2逼近階分別為N1，N2，等價于：

所以，φnew逼近階為N2.

3 例子

以Haar、Db2的尺度符號P1（ω）和P2（ω）為例子，其中，那么

表1分別為參數(shù)取0，0.2，0.4，0.6，0.8，1所對應的尺度系數(shù).

表1 一些取值所對應的尺度系數(shù)

表1 一些取值所對應的尺度系數(shù)

n pnn pn0 0.2 1 0 0 1 2 3 1 1 0.9729 0971 0694 606 1.0256 9611 5194 648 0.0270 9028 9305 394 0.0256 9611 5194 648 0.6 0.8 0 1 2 3 0 1 2 3 0.8995 9830 9520 806 1.0833 7054 3503 968 0.1004 0169 0479 194 0.0833 7054 3503 968 0.8423 2571 8270 764 1.1187 1892 0520 785 0.1576 7428 1729 236 0.1187 1892 0520 785 0 1 2 3 0.9404 6360 3146 514 1.0531 6526 8525 773 0.0595 3639 6853 486 0.0531 6526 8525 773 0.4 1 0 1 2 3■）/4（3＋3（1＋3■）/4（3－3■）/4（1－3■）/4

圖1-3是參數(shù)分別取值為0，0.6，1的尺度和小波圖像.左為尺度涵數(shù)圖像，右為小波涵數(shù)圖像.

圖1 =0，左為尺度函數(shù)，右為小波函數(shù)

圖2 =0.6，左為尺度函數(shù)，右為小波函數(shù)

圖3 =1，左為尺度函數(shù)，右為小波函數(shù)

由Riesz引理知系數(shù)：

其中r=-0.2565，z1=0.0087＋0.2409i，z2=0.2558－0.0662i，選擇單位圓內的點

生成的尺度符號為：

圖4為對應的尺度函數(shù)和小波圖像.

[1]GROSSMANNA，MORLET J.Decomposition of hardy functions into square integrable wavelets of constant shape[J].SIAM J Math Anal，1984，15（4）：723-736.

[2]MEYERY.Waveletsandfast numerical algorithms[J].Handbookof Numerical Analysis，1997，5：639-713.

[3]MEYER Y.Orthonormal wavelets[M].Berlin：Springer，1989.

[4]DAUBECHIES I.Orthonormal bases of compactly supported wavelets[J].Comm Pure Apple Math，1988，41（7）：909-996.

[5]DAUBECHIES I.Ten lectures on wavelets[M].Philadelphia：SIAM，1992.

[6]CHUI C K.An introduction to wavelets[M].Boston：Academic Press，1992.

[7]CHUI C K，HAN B，ZHUANG X.A dual-chain approach for bottom-up construction of wavelet filters with any integer dilation[J].Applied And Computational Harmonic Analysis，2012，33（2）：204-225.

[8]CHUI C K，LIAN J A.Construction of orthonormal multi-wavelet with additional vanishing moments[J].Advance In Computational Mathematics，2006，24（1/4）：239-262.

[9]LIJ P，TANG Y Y.Generalanalytic construction for wavelet low-passed filters[J].International Computer Conference On Wavelet Active Media Technology And Information Processing，2001，2251：314-320.

[10]PRIMBSM.New stable biorthogonalspline-waveletson the interval[J].ResultsIn Mathematics，2010，57（1/2）：121-162.

[11]ZARMEHIF，TAVAKOLIA.Construction ofthe matched multiple knotB-spline wavelets on a bounded interal[J].International Journal of Computer Mathematics，2015，92（8）：1688-1714.

Construction of a Class of Compactly Supported Orthogonal Wavelet with Parameter

ZHANG Lixian,YANG Shouzhi
（Department of Mathematics，Shantou University，Shantou 515063，Guangdong，China）

A newmethod for constructing scaling function is presented.A newscale symbol by two known scale symbols is obtained.The new scale symbol can generate a scale function.The scaling function has orthogonalityand compact support.A L2multiresolution analysis and wavelet orthogonal wavelet spaceis generated.Thewaveletin thesameinterval oflength with infiniteis obtained.

scale function;wavelet;orthogonality;multi-resolution analysis;wavelet space

O29

A

1001-4217（2017）01-0015-07

2016-03-16

張麗嫻（1992—），女，廣東東莞人，在讀碩士研究生.研究方向：小波分析及應用.E-mail：14lxzhang@stu.edu.cn.

廣東省自然基金資助項目（2015A030313443）