一類二階具多時滯次二次增長條件泛函微分方程同宿軌的存在性

田繼青，張超龍，郭承軍

（1.電子科技大學中山學院，廣東中山528400；2.仲愷農業工程學院計算科學學院，廣東廣州510225；3.廣東工業大學應用數學學院，廣東廣州510006）

一類二階具多時滯次二次增長條件泛函微分方程同宿軌的存在性

田繼青1，張超龍2，郭承軍3

（1.電子科技大學中山學院，廣東中山528400；2.仲愷農業工程學院計算科學學院，廣東廣州510225；3.廣東工業大學應用數學學院，廣東廣州510006）

本篇論文的目的是研究一類二階具多時滯次二次增長條件泛函微分方程同宿軌的存在性.利用Mawhin的連續定理，對一列周期解取極限，得到了所研究的系統具有一個非平凡的同宿軌.

同宿軌；多時滯；Mawhin的連續定理

1 引言

最近這些年，利用臨界點理論，許多學者研究了Hamilton系統同宿軌的存在性，但具多時滯的泛函微分方程一般不具有變分結構，因此無法運用臨界點理論去研究解的存在性問題.在本文中，利用Mawhin的連續定理，對一類二階具多時滯次二次增長條件的泛函微分方程，我們建立了同宿軌的存在性定理.在文獻[1-7]中，研究的是二階Hamilton系統同宿軌的存在性，而在文獻[8-12]中，他們考慮了一階Hamilton系統同宿軌的存在性.

本文中，我們討論了如下泛函微分方程

關于次二次增長條件見（H4），對應于超二次增長條件，其重要工作見Rabinowitz[1].

如果當t→±∞時，有x（t）→0，則我們說x（t）是系統（HS）的同宿軌.另外，如果x不恒等于0，則稱x為非平凡的同宿軌.

為了證明我們的主要結果，我們首先介紹Mawhin的連續定理[13].為此，我們給出如下一些有用的定義.令X和Y為兩個Banach空間，L∶DomL?X→Y是一個線性映射，N∶X→Y為一個連續映射.如果L滿足：

（i）dim KerL=co dim Im L＜+∞；

（ii）Im L在Y中是閉的；

則稱映射L是指標為零的Fredholm算子.如果L是一個指標為零的Fredholm算子，則存在連續投影算子P∶X→Y和Q∶Y→Y，使得Im P=KerL和Im L=KerQ=Im（I－Q）成立.并且∶（I－P）X→Im L有逆存在，我們用Kp表示.如果Ω是X中的一個有界的開子集，QN（Ω）是有界的且是緊的，則稱映射N為Ω上L－緊的.因為Im Q和KerL同構，故存在一個同構J∶Im Q→KerL.

定理A（Mawhin的連續定理[13]）：令L是一個具零指標的Fredholm算子，N是一個在上L－緊的非線性算子.如果

（2）對每個x∈?Ω∩Ker（L），有QNx≠0和deg（QN，Ω∩Ker（L），0）≠0；

2 主要結果

現在我們對a1（t）、a2（t）和f（t）做如下假設：

（H1）；

（H2）M2=maxt∈[0，T]a2（t）≥a2（t）≥m2=mint∈[0，T]a2（t）＞0；

（H3）f∶R→R是一個連續有界函數，且f不恒等于0和，其中η＞ 0是正常數；

（H4）存在常數0≤γi≤1和βi（t）∈L2（R，R+）（i=1，2，…，n），有下列條件成立

其中α=min{m2，1}，β（k）i（t）是βi（t）在區間[－kT，kT]上的2kT周期截取，ρ是由式（7）定義的一個正常數.

定理2.1：假設（H1）-（H4）被滿足，則系統（HS）存在一個非平凡同宿軌x∈C2（R，R），使得x'（t）→0，t→±∞.

注2.2：當γi=1（i=1，2，…，n）時，文獻[4]是系統（HS）的特殊情形.

為方便我們的證明，需要一些預備工作.對每個k∈N，令

定義Xk上的范數如下

令

及Yk上的范數，從而都是Banach空間.

注2.3：如果x∈Xk，則有x(i)（0）=x(i)（2kT）（i=0，1）.

在Izydorek和Janczewska[5]的工作中，系統（HS）的同宿軌是通過對一系列周期函數解xk∈Xk取極限得到的.因此，我們考慮如下系統

其中對?k∈N，fk∶R→R是f在區間[－kT，kT]上的具有2kT周期的截取函數，Xk是系統（HSk）的2kT周期解.

定義算子Lk∶Xk→Yk和Nk∶Xk→Yk如下：

在Yk中是閉的.因此Lk是一個指標為零的Fredholm算子.

對x=x（t）∈X和y=y（t）∈Yk，如下定義Pk∶Xk→Xk和Qk∶Yk→Yk/Im（Lk）：

顯然有Im Pk=KerLk和Im Lk=KerQk=Im（Ik－Qk），故

令Ωk為Xk中的有界開子集，易知有界，是緊的.從而映射Nk為k中L－緊的.

引理2.4：令Lk、Nk、Pk和Qk分別是（1）、（2）、（5）和（6）所定義的算子，則Lk是一個指標為零的Fredholm算子，Nk在k上是L－緊的，其中k是Xk中任意有界開子集.

3 主要結果的證明

在我們的證明中，需要用到Rabinowitz在文獻[11]中的一個重要結果.

命題3.1：對x∈Xk，存在一個正常數ρ，使得下面的不等式成立：

現在，我們考慮如下的輔助方程

引理3.2：假設定理2.1中的條件成立.對?k∈N，如果xk（t）是方程（8）的2kT周期解，則存在獨立于的正常數，使得

證明：假設xk（t）是方程（8）的2kT周期解.由（8）我們有

由（7）和（10），可得

這意味著

因為0≤γi≤1和，從而存在正常數使得

另一方面，由（8）有

從而有

由（7）和（18），有

從而引理3.2成立.

引理3.3：假設（H1）－（H4）成立，則對?k∈N，系統（HSk）存在一個2kT周期解.

證明：假設x（t）是方程（8）的2kT周期解.由引理3.2知，存在獨立于的正常數使得（9）成立.對任意的正常數，其中.令

可知Lk是一個指標為零的Fredholm算子，Nk在上是L－緊的（文獻[13]）.

由于Ker（Lk）={x∈Xk∶x（t）=c∈R}及Xk上的范數如下

從而由（20）知，當x∈?Ωk∩Ker（Lk）時，有.

由（H4）可得（如果選擇的充分大）

最后，對于?x∈?Ωk∩Ker（Lk），由（2）、（6）和（20）－（22），有

因此，對?x∈Ker（Lk）∩?Ωk和η∈[0，1]，可得

從而有

由引理3.2，對?x∈?Ωk∩Dom（L）k和∈[0，1]，有Lkx≠Nkx.由定理A，方程Lkx= Nkx在Dom（L）∩上至少存在一個解.因此系統（HSk）存在一個2kT周期解.

引理3.4：令{xk}k∈N是由引理3.3得到的序列，則在中存在一個x0，使得xk→x0，k→+∞.

證明：由（14）及Arzela-Ascoli定理，從而有{xk}k∈N在中收斂到系統（HS）的一個解x0，且滿足

由（HSk）可得

因此x0是系統（HS）的一個解.

另外，我們有

這表明（23）成立.

引理3.5：引理3.4中得到的函數x0是系統（HS）的同宿軌.

我們分兩步證明.

第一步：我們證明x0（t）→0，t→±∞.

由（23），有

因此，（15）和（24）表明我們的斷言是正確的.

由（14）、（19）和（24），只需要證明

另一方面，由系統（HS）有

因此對所有的t∈R，有g（t，0，0，…，0）=0，x0（t）→0，t→±∞，同時可得，所以式（25）成立.

定理2.1的證明：顯然，由引理3.5，可得定理2.1.

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Existence of Homoclinic Solutions for a Class of Subquadrtic Second-order Differential Equations with Multiple Lags

TIAN Jiqing1,ZHANG Chaolong2,GUO Chengjun3
（1.Zhongshan Institute,Universityof Electronic Science and Technology,Zhongshan,528402,Guangdong,China 2.Zhongkai Universityof Agriculture and Engineering,Guangzhou,510225,Guangdong,China 3.School of Applied Mathematics,GuangdongUniversityof Technology,Guangzhou,510006,Guangdong,China）

The existence of homoclinic orbits is examined for a class of sub-quadrtic second order differential equations with multiple lags.By using Mawhin's continuation theorem,a nontrivial homoclinic orbit is obtained as a limit of a certain sequence of periodic solutions of the equation.

homoclinic orbit;multiple lags;Mawhin’s continuation theorem

O175

A

1001-4217（2017）01-0022-08

2016-03-03

郭承軍，副教授、博士，研究方向：主要從事泛函微分方程、Hamilton系統以及常微分方程理論及其應用等課題的研究．E-mail：guochj817@163.com

廣東工業大學培英育才基金項目（112410004204）和國家留學基金委資助項目（201308440327）