“求同存異”在數學課堂教學中的應用

鞏明志

“求同存異”是對研究對象采用比較的方法，確定其與另一事物的相同點和不同點，也就是求同、求異.比較是數學教學的重要手段，是學生理解和掌握知識的重要方法，“有比較才有鑒別”.求同存異是研究問題的方法，也是比較的目的.在比較中可以認識事物發展的一般規律，也可以在比較中找到差異，從而將事物從本質上區別開來，促進了認識的深化.在高中數學中，許多內容是既有區別又有聯系的.教師如果在課堂教學中能充分利用比較的方法，求同存異，就會有助于突出重點、突破難點，使學生容易接受知識，掌握方法，形成能力.學生掌握了比較法的學習方法，就會激發他們學習數學的興趣與積極性，同時也能培養學生的創新思維能力。

一、求同存異有助于基本概念的建立

數學中的基本概念都源于對生活事實的認知與抽象.求同存異是這一過程的基本認知方法，它可以加深對概念的理解和記憶，明確概念的內涵和外延，從而正確地運用概念.比如函數概念的構建過程，就是通過大量實例的研究，尋找發現他們的共同點：都有兩個變量x，y；有確定的對應關系；對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應.如果去掉實例本身的現實意義、幾何意義等，就可以抽象出函數的概念.導數概念的獲得也是通過大量的實例分析，求同存異，引出了函數的平均變化率、瞬時速度、瞬時變化率的概念，進而形成了導數的概念.利用導數的定義求函數在某一點的導數包含著函數平均變化率的求法，揭示了函數平均變化率與函數瞬時變化率之間的關系，進一步體現了求同存異的思想和方法.還有在等差數列概念的教學時，可以讓學生研究下面的例子，找到有相同特征的例子。①1、2、3、4、5、…②1、-2、-5、-8、-11、…③2、4、6、8、10、…④1、2、4、8、16、…⑤、1、、、、…

學生通過研究發現①②③⑤中，都有an+1-an=d.雖然各個例子中的d值不盡相同，但他們有一個共同特征，均為常數，從而形成了等差數列的概念.知道了概念的來源，加深對概念的理解和掌握。

二、求同存異有利于簡化知識理解，幫助記憶

某些數學知識雖然表現形式各不相同，但具有相同的本質屬性.因此利用求同存異的方法，探求其相同點，能夠達到化繁為簡、增強記憶、事半功倍的效果.如三角函數中有2kπ±α，π±α，-α，±α，±α等眾多誘導公式，其數量大、易混淆、難記憶，使得學生望而卻步.如果運用求同存異的方法對其進行研究，就會發現這些公式的變換無非是函數名稱與符號的變化.2kπ±α，π±α，-α三組公式中，函數名稱不變；±α，±α兩組公式中，函數名稱變化；所有公式中的符號可由角度所在象限決定.而且通過進一步的研究發現，五組公式中的角度都可以表示成±α（k∈Z），從而將眾多誘導公式的變化過程簡記為：奇變偶不變，符號看象限.即當k為奇數時，函數名稱變化；當k為偶數時，函數名稱不變化；符號由角度所在象限決定.三角函數中的和（差）角公式又是學習的一個難點，研究發現，只有公式Cα+β是需要用其他知識推導得出的.Cα-β，Sα±β，Tα±β是以Cα+β為基礎，通過三角變形而得到的.因此，只要記清楚Cα+β，其他公式的獲得只需應用三角函數變換.求同存異的應用，從本質上對知識進行了甄別、理解和把握，大大減少了知識的數量，提高了記憶的質量和學習的效率。

三、運用求同存異辨析相對及易混的概念，加深對概念的理解

高中數學中存在很多相對的、易混淆的概念.如函數與映射、指數與對數、等差與等比、橢圓與雙曲線等等.有學生將函數與映射區分不開來，混為一談.其實運用求同存異的方法，不難發現他們的共同點是：確定的對應關系；對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應.不同點是：函數是兩個非空數集之間的關系，而映射可以是數集與數集、非數集與非數集之間的關系.因此，函數是一種特殊的映射，映射不一定是函數.指數函數與對數函數在圖象和性質上有很多相似之處，易于混淆.教學時運用求同存異的方法，相互比較，找到他們的相同點與不同點，認識其本質屬性，加深對概念的理解。

四、運用求同存異探求問題的解決方法

數學中的新知識是建立在舊知識基礎之上的.在學習新知識的時候，如果運用求同存異的方法，就會從舊知識中發現解決新問題的方法，以及學習新知識的方法.如學習指數函數之前，已經學習了一般函數的圖象和性質.指數函數是函數，那么學習指數函數就可以從解析式、定義域、圖象、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等方面來研究.如研究指數函數單調性時，通過畫函數 y=2x，y=3x，y=

x，y=

x的圖象，求同存異，發現函數y=ax（a>0且a≠1）中，當a>1時，是增函數；當0

總之，求同存異為學生的自主學習提供了思路和方法，使學生能更好地進行數學探究、數學建模等學習活動，極大地激發了學生學習數學的興趣和他們的創新思維.

注：本文系2017年度甘肅省“十三五”教育科學規劃課題《在數學課堂教學中運用“求同存異”培養學生創新思維能力的研究》成果，課題立項號：GS[2017]GHB1106。

編輯 李琴芳