古典概型應用求解策略

宋揚

摘 要：古典概型是概率論的基礎，又有著很高的實用價值，已成為義務教育階段數學課程的一項重要內容.結合初中數學活動課的教學實踐，通過古典概型應用的若干實例，闡述了問題求解的策略、多種方法以及不同方法的具體適用場合，對古典概型的解題規律做了有益的探究.

關鍵詞：古典概型；等概基本事件組；有利場合數；應用實例；求解策略；計算方法

古典概型是概率論發展史上最早被人們認識、研究并加以應用的概率模型，是一種特殊的數學模型.古典概型在概率論中具有相當重要的地位，不僅其優越性明顯，應用廣泛，而且是進一步學習概率不可或缺的內容.

一、學習古典概型的重要性

1.有利于理解概率的意義.對于古典概型，頻率的穩定性比較容易驗證，也與同學們已有的生活經驗和數學活動經驗相吻合，從而概率的存在性和確定性易于領會、理解和接受.

2.可幫助我們直接計算隨機事件發生的概率，化解大量重復試驗帶來的耗時費力的矛盾，避免破壞性試驗造成的損失.也就是說，不需要做任何試驗，只要分析事件的本質，確認是古典概型，就可以直接計算得到概率的精確值，而且是理論值，它與用統計方法得到的結論相一致.

3.能夠有效地解決生產、生活和科研中的某一類問題.如抽簽、摸球、搖號、擲骰子、中獎率、次品率、密碼解鎖、公平規則設計等.

二、古典概型的概念

1.等概基本事件組

設A1，A2，…，An是一個事件組，如果它具有下列三條性質：

（1）A1，A2，…，An發生的機會相同（等可能性）；

（2）在任一次試驗中，A1，A2，…，An至少有一個發生.也就是除此以外，不可能有別的結果（完全性）；

（3）在任一次試驗中，A1，A2，…，An至多有一個發生.也就是說這n個事件是互相排斥的（互不相容性）.

則稱A1，A2，…，An為一個等可能基本事件組，也稱為一個等概基本事件組，其中任一事件Ai（i=1，2，…，n）稱為基本事件.

2.概率的古典定義

如果試驗的所有可能的結果可以表述為一個等概基本事件組A1，A2，…，An.其中有且僅有m個基本事件包含于隨機事件J（即當且僅當這m個事件中任一事件發生時，事件J發生），則比值m/n就稱為事件J的概率，記作P（J）=m/n.其中，n是基本事件的總數，m是事件J所包含的基本事件數，通常叫做事件J的有利場合數，或有利結果數.

3.古典概型及其計算公式

可以根據概率的古典定義來計算隨機事件的概率，這樣的概率模型稱為古典概型.

P（J）=m/n是概率古典定義的核心內容，它給出了古典概型中隨機事件的概率計算公式.

三、求解方法與策略

1.古典概型的確認.對所要解決的問題，首先要確定是不是屬于古典概型？這主要根據古典概型的兩個基本特征，即試驗結果是否具有有限性和等可能性.

2.判定等可能性的常用依據.

（1）客觀對稱性（如拋擲硬幣、擲骰子等試驗）；

（2）某種均衡性（如摸球、抽簽等試驗）.

3.考察等概基本事件組.

等概基本事件組是與古典概型相互印證的，也是概率計算的第一步.對某些問題，等概基本事件組不是唯一的，可供選擇.一般情況下，其基本事件的總數越少，求解越為簡便.

4.按照古典概型中隨機事件的概率計算公式，先求分母和分子，再求比值，即得所求概率.分母是等概基本事件組中基本事件的總數，分子是相應事件所包含的基本事件數，即該事件的有利場合數.

5.運用多種方法實施計算.

（1）直接列舉法；（2）表格法；（3）樹狀圖法；（4）根據乘法原理；（5）根據排列與組合的基本知識，或兼用乘法原理；（6）根據概率的運算性質.

6.不同計算方法的適用場合.

（1）計算簡單隨機事件的概率，可運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）.當試驗結果顯然或試驗步驟只有1個時，可直接列舉出所有等可能的結果；當試驗步驟只有2個且試驗結果較少時，表格法和樹狀圖法都是行之有效的；當試驗步驟只有2個但試驗結果較多時，宜選用列表的方法，顯得整體清晰，類別分明，解題便捷.

（2）當試驗分為3步（或以上），通常選用樹狀圖法；如果要采用列表法，則需2張（或更多）表格，即分步列表.

（3）義務教育階段，宜使用列舉法，幫助計算.

（4）初中后階段，可介紹乘法原理，并實施計算.乘法原理通俗易懂，其思想方法與樹狀圖法是一致的.遵循認知規律，所花時間不多，初中學生很快就能接受并較好地掌握，既可以幫助快捷計算，也可以作為對列舉法的一種驗算或印證，確保列舉的所有等可能結果既不遺漏，也不重復.

（5）當試驗出現的結果較多時，往往需要運用乘法原理或排列與組合的基本知識加以計算.

（6）隨著概率知識的進一步學習和加深，運用概率的運算性質進行計算，常常會收到更好的效果.

7.轉化（化歸）策略舉例.

（1）編號.例如，在摸球試驗中，通常將彩色球編號，目的是創設等可能性.

（2）等分.例如，在轉盤問題上，通常將轉盤作等分、涂色處理，就是把無限轉化為有限，從而歸結為古典概型來求解.

8.對比策略舉例.

（1）放回與不放回，或稱有放回與無放回.例如，在摸球試驗中常有這兩種不同的情形，注意到這二者之間的聯系與區別，對比在使用表格時各自呈現的特點，從而掌握其規律.抽簽方法指的是不放回的情形.

（2）有序與無序，也就是考慮順序與不考慮順序.對某些問題，必須考慮順序；而對有些問題，兩種方法都能使用.注意這二者之間的聯系與區別.

（3）比照.這里是指通過對問題實質的分析，能否與一些常見的實用類型等同看待.例如，某些實際問題可以比照為摸球問題，某些實際問題可比照為抽簽問題，等等.問題的實質相同，解決問題的思想方法也相同.

四、應用實例與一題多解

文中解題過程，在使用排列數或組合數符號計算的等號后面，緊接著寫出了詳細數字，是為了看清楚，讓初中學生在還沒有學習排列與組合知識的情況下，能運用乘法原理有效實施計算.為書寫簡潔起見，同一題中的同一隨機事件除首次出現外，均用J表示.

例1.經典分金幣問題.傳說，17世紀中葉，法國貴族公子梅雷參加賭博，和賭友各押賭注32枚金幣.雙方約定：拋擲1枚質地均勻的硬幣，正面朝上，梅雷得1分；反面朝上，賭友得1分，先積滿10分者贏全部賭注.賭博進行了一段時間，梅雷已得8分，賭友得7分.這時，梅雷接到通知，要他馬上陪國王接見外賓，賭局只好中止.于是，產生了一個問題，應該怎樣分配這64枚金幣才算公平合理？這就是歷史上著名的“分賭注”問題.

解：假設賭局繼續，那么最多再拋擲硬幣4次，就可以分出輸贏.不妨用m表示梅雷積1分，用d表示賭友積1分，運用樹狀圖法可得所有等可能的結果共有16種，其中，梅雷先積滿10分的有利場合數為11，賭友先積滿10分的有利場合數為5.所以P（梅雷贏）=；P（賭友贏）=.于是梅雷應分得64×=44（枚）金幣，賭友應分得64×=20（枚）金幣.

參考文獻：

[1]楊裕前，董林偉.等可能條件下的概率[M].南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2016.

[2]陳家鼎，劉婉如，汪仁官.古典概型，概率統計講義（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1998.

編輯 趙飛飛