排列組合的常用方法

鄭國鵬

摘 要：排列組合是高考的重要內容，它是概率與統計的基礎，廣泛運用于概率統計的計算當中，且在日常生活中也有重要的實際意義。在近些年的高考數學試卷中，考查比例越來越高，所以掌握排列的常用方法十分必要。主要講述有關排列組合的常用方法。

關鍵詞：排列；組合；方法

一、特殊元素、特殊位置優先考慮法

例如：1名教師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法多少種？

解：法1：先考慮特殊元素“老師”有A1

3種排法，再把4名學生排在余下4個位置有A4

4種，共有A1

3·A4

4=72種

法2：先考慮特殊位置“兩端”，即從4名學生中選2人排在兩端有A2

4種，再把剩下兩名學生和老師排在其他3個位置有A3

3種，共有A2

4·A3

3=72種

二、相鄰問題用捆綁法

例如：5人排成一排，其中甲乙必須排在一起，有幾種排法？

解：把甲乙兩人捆綁看成一個大元素，與其他三人組成4個元素全排列有A4

4種，其中甲乙兩人內部排列有A2

2種，共A4

4·A2

2種。

三、不相鄰問題用插空法

例如：5人排成一排，其中甲乙不排在一起，有幾種排法？

解：要求不相鄰的甲乙兩人先不排，其他3人先排有A3

3種，再把甲乙兩人插在3人組成的4個空檔中有A2

4種，共有A3

3·A2

4種。

四、定序問題用除法

例如：5人排成一排，其中甲、乙、丙三人排序一定，有幾種排法？

解：如果沒有要求排序一定，則有A5

5種，其中包含有甲、乙、丙三人的全排列A3

3種，而甲、乙、丙三人一定的排序只是A3

3其中的一種，即只占，所以共有A5

5·=種

（此種問題歸結為用沒要求時的全排列種數除以要求定序的個數的全排列種數。）

五、正難則反法（也叫間接法、排除法）

例如：5個唱歌節目和3個舞蹈節目，要排成一個節目單，要求前四個節目中要有舞蹈，有幾種排法？

解：本題若直接考慮則情況比較多，可從反面考慮，即先求出前四個節目中沒有舞蹈的排法種數有A4

5·A4

4種，而沒任何要求的排法種數有A8

8種，所以共有A8

8-A4

5A4

4種。

六、組合中的平均分組問題

1.全部平均分組問題

例如：6個人分成3組，每組2人有幾種分法？

解：=15種。若改為分成2組，每組3人，則有種，應多體會。

2.部分平均分組問題

例如：6名運動員分配到4所學校擔任教練，每校至少一人，則分配方法有幾種？

解：6名運動員分到4所學校去做教練，每校至少一人，有以下兩類情形：

第一類：4所學校分到的運動員各有3、1、1、1人，這樣的分法一共有：（C3

6·）·A4

4=480種；

第二類：4所學校分到的運動員各有2、2、1、1人，這樣的分法一共有：（·）·A4

4=1080種；

根據分類計數原理可得：6名運動員分到4所學校去做教練，每校至少一人，有480+1080=1560種分法。

（以上兩類情形中均采用“先分組后排列”的思想方法，即6個人先分成4組再把這4組分到學校，其中分組時出現了部分平均分組，處理方法跟全部平均分組類似。）

七、組合中的隔板法（此法適用于沒有區別的元素的分配問題，常見的有名額分配、相同小球的分配等）

例1.20個相同的小球放入4個不同的盒子，每盒至少一球，有幾種放法？

解：先把20個小球排成一排，由于球都是相同的，所以只有一種排法；再在20個小球之間的19個空檔中插入3個隔板，有C3

19種不同插法。所以共有C3

19種放法。

例2.20個相同小球放入4個不同的盒子，有幾種放法？

解：本題與上題的區別是每個盒子不一定都放球，此時也可以用隔板法。將20個小球與將要插入的3個隔板看成23個元素，放在23個位置上。問題簡化為在23個位置上選出3個位置放隔板，其他20個位置都放球，有C3

23種不同放法。

例3.20個相同小球放入4個編號分別為1、2、3、4的盒子，要求每盒中的球數要大于其編號數，有幾種放法？

解：先在4個盒子中放入與其編號相同數目的小球，因為小球都相同，所以只有一種放法，還剩下10個小球，此時再利用隔板法將剩下的10個小球放入4個盒子中（此時要求每個盒子都要再放球）有C3

9種，所以共有C3

9種。

例4.20個相同小球放入4個編號分別為1、2、3、4的盒子，要求每盒中的球數不小于其編號數，有幾種放法？

解法1：先在4個盒子中放入與其編號相同數目的小球，因為小球都相同，所以只有一種放法，還剩下10個小球，此時再利用隔板法將剩下的10個小球放入4個盒子中（此時沒有要求每個盒子都要再放球）有C3

13種，所以共有C3

13種。

解法2：先在編號為1、2、3、4的四個盒子中分別放入0個、1個、2個、3個小球，因為小球都相同，所以只有一種放法，還剩下14個小球，此時再利用隔板法將剩下的14個小球放入4個盒子中（此時要求每個盒子都要再放球）有C3

13種，所以共有C3

13種。

編輯 張珍珍