柱形測壓銅柱的靜態特性分析

王芳， 郭增貴， 朱明武

(1.南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094； 2.國營第641廠， 遼寧 錦州 121017)

柱形測壓銅柱的靜態特性分析

王芳1， 郭增貴2， 朱明武1

(1.南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094； 2.國營第641廠， 遼寧 錦州 121017)

為了提高銅柱測壓的精度，對廣泛應用于兵器膛壓測量的柱形銅柱靜態變形規律進行了研究。在合理假設基礎上建立了柱形銅柱靜態變形的數學模型，并根據大量的銅柱靜態校準數據對模型參數進行了估計。根據此模型進行的仿真計算結果與實驗數據能很好地吻合，具有對不同規格銅柱的廣泛適用性，能可靠地估算銅柱的靜態變形規律。依據該數學模型，對銅柱測壓靈敏度隨變形量變化的規律和加工尺寸偏差對測壓精度的影響兩方面進行了計算和分析。結果表明：當銅柱壓后高度為原始高度的73%時，銅柱的測壓靈敏度最高；銅柱及工作活塞的幾何尺寸誤差是影響測量不確定度的主要因素，通過提高銅柱的加工精度可以明顯提高銅柱測壓精度。

兵器科學與技術； 膛壓測量； 測壓銅柱； 塑性測壓器； 靜態特性

0 引言

1 銅柱靜態變形的數學模型

1.1 銅柱靜態變形的數學模型建立

盡管鐓粗研究的最終結果不能用于銅柱的分析計算，然而其研究的某些方法和結論卻有可借鑒之處。影響墩粗過程的要素主要是材料的力學特性、被鐓粗體的原始尺寸(直徑d0和高度h0)和試件端面與壓頭之間的摩擦應力。其中摩擦力是銅柱變形過程復雜化的重要原因。

大量柱形銅柱靜態校準數據的分析結果表明，可以把原本復雜的三維變形過程簡化為“準一維變形”過程。建模的基本假設及其根據如下：

1)所有銅柱的材料力學特性是高度一致的。因為銅柱都采用高純度的無氧銅，并經過嚴格的多次冷拔、退火處理，材質的均勻性和一致性遠遠超過一般的工業用金屬材料。

2)摩擦力對于各種規格的銅柱影響基本相同。因為銅柱測壓器的材料、加工精度、表面質量等影響摩擦力的因素，幾乎都得到嚴格的控制。

3)銅柱變形過程中，其形狀始終保持為圓柱形，即忽略腰鼓形的影響。

4)銅柱變形過程中體積不變。因為高純度的無氧銅的彈性極限很低(約30 MPa)，相應的應變值小于3×10-4；而銅柱的工作應變卻較高，達0.1～0.55. 因此彈性變形引起的體積變化可以忽略，而塑性變形過程是體積不變的。

根據以上假設，可以列出以下基本方程：

力平衡方程

pS=σSc,

(1)

體積不變關系

(2)

應變與瞬時高度關系

(3)

彈性恢復關系

Eεe=σe,

(4)

式中：p是壓力(Pa)；S是活塞工作面積(m2)；σ是銅柱平均應力(Pa)；Sc是銅柱截面積(m2)；h是銅柱受壓后的瞬時高度(m)；d0、h0分別為銅柱的原始直徑和原始高度(m)；ε是銅柱的應變值；E是銅柱材料的楊氏模量(Pa)；εe是銅柱卸載過程的彈性應變；σe是銅柱卸載過程的應力(Pa)。

(1)式、(2)式聯立可得

(5)

(4)式、(5)式聯立并考慮到彈性恢復過程的總應變值為

(6)

式中：Δ是銅柱卸載過程的彈性恢復量(m)；hc是銅柱卸載后的殘余高度(壓后高度)。可得

(7)

(3)式、(6)式、(7)式聯立可得銅柱在加壓p時的瞬時應變值：

(8)

銅柱靜態校準的結果是獲得一組關于壓力與壓后高的數據對(pi,hci),i=1,2,…,n. 利用(5)式和(8)式，可以計算得到相應的瞬時應力、應變數據對(σi,εi),i=1,2,…,n. 對7種規格的柱形銅柱(φ3 mm×4.9 mm,φ4 mm×6.5 mm,φ5 mm×8.1 mm,φ6 mm×9.8 mm,φ8 mm×13 mm,φ4 mm×8 mm,φ3.5 mm×8.75 mm)，38個批次的313個數據對[8]，進行了計算分析，結果表明，用一個3階多項式可以很好地描述柱形銅柱的應力、應變關系：

σ(ε)=2.458×109ε3-3.233×109ε2+
1.592×109ε+5.293×107.

(9)

擬合曲線的相關系數為0.992 4，標準差為4.1 MPa. 圖1清楚地表明了擬合曲線與上述7種不同規格銅柱的實驗數據符合得很好。應當指出的是，根據(5)式和(8)式計算所得的應力、應變值以及由此而來的應力、應變關系式(9)式，并不是材料真正的應力和應變關系，而是隱含了對摩擦力等影響因素進行了修正的等效應力和等效應變的關系式。

圖1 銅柱材料的塑性應力、應變曲線Fig.1 Plastic strain-stress curve of copper cylinders

(10)

式中的系數a0、a1、a2、a3可以根據以上分析計算獲得，但按照(10)式直接利用7種不同規格銅柱的多批次靜態校準數據(共百余組校準數據)進行擬合，得到其中的系數應該是更可靠的。計算結果如下：a0=2.516×109,a1=-6.602×109,a2=7.659×109,a3=-3.528×109.

根據(10)式不難求得銅柱的壓力系數k=dp/dhc，符合

(11)

圖2是按照(10)式和(11)式繪出的統一的柱形銅柱特性曲線，圖2(a)和圖2(b)兩條曲線適用于各種不同規格的柱形銅柱。

圖2 統一的柱形銅柱工作特性曲線Fig.2 Unified characteristic curves of copper cylinders

1.2 柱形銅柱特性的計算分析和驗證

根據以上數學模型，給定基本參數d0、h0、S，并合理設定一系列銅柱受壓后的相對壓后高xi(i=1,2,…,m)，代入(10)式可得到一系列數據f(xi). 再代入某種銅柱的R值，可計算出pi,并根據xc求得壓后高值hci，從而可以得到各種銅柱的工作特性曲線。

圖3是7種不同規格銅柱的計算結果與實驗數據的關系圖。圖3中的曲線和數據點都相當吻合，說明(10)式對銅柱分析具有很好的工程精度和廣泛的適用性。

圖3 7種柱形銅柱的工作特性計算結果Fig.3 Calculated results of seven different copper cylinders’ parameters

2 柱形銅柱靜態特性分析

利用(10)式和(11)式還可以分析銅柱多方面的工作特性，下面僅從銅柱壓力系數的特點和加工尺寸偏差對測壓精度的影響兩方面進行初步分析。

2.1 銅柱壓力系數的變化規律

按(11)式不難證明，k的最小值出現在xc=2a2/6a3=0.73附近。即在hc=0.73h0附近靈敏度最高(見圖2(b)曲線)。這一點與實際數據非常吻

合。由于銅柱的實際壓后高度在(0.45～0.9)h0范圍之內，這說明銅柱的靈敏度在其量程內呈兩端低、中間高的特點，所以任何柱形銅柱工作在其量程的中間偏上的壓力處是最佳的。

2.2 銅柱及活塞尺寸偏差對測壓精度的影響

銅柱及活塞的主要幾何尺寸如銅柱的原始直徑d0和高度h0及活塞直徑dp的加工誤差顯然對銅柱的測壓誤差是有影響的，然而過去由于缺乏適用的數學模型，一直無法定量分析其中的關系。而上述(10)式建立了這些參數及壓力之間的數學模型，為定量分析提供了基礎。表1是根據(10)式求得的當誤差源分別來自于銅柱的原始直徑d0和高度h0及活塞的直徑dp，輸出分別為壓力p和壓后高度hc時誤差傳遞的靈敏系數。表1中相對誤差傳遞的靈敏系數除了3個常系數(k2,k3,k4)之外，其他3個都與k1有關。分析可知k1隨相對壓后高度xc增大而急劇增大，說明原始高度h0的相對誤差對測壓的相對誤差影響隨著壓力減小而急劇增大。而k2、k3都是常數，所以d0、dp的誤差對測壓精度的影響是不隨壓力大小變化的。而k5、k6隨xc的變化相對較小。

表1 柱形銅柱幾何參數的誤差傳遞靈敏系數

由以上計算結果可知：第一，銅柱原始直徑d0公差的影響大于銅柱原始高度h0的公差；第二，同樣的尺寸公差對小尺寸銅柱的影響較大；第三，h0公差的影響隨xc的增大而增大，即對小壓力測量的影響大；d0公差的影響隨xc的增大而減小，即對小壓力測量的影響小。最后，由計算偏差與允許偏差之比可以看出，銅柱原始尺寸偏差是標定壓后高度偏差的主要成因，由此可以得出結論：提高銅柱加工精度可以明顯地提高銅柱測壓的精度。利用(10)式和(11)式還可以進行多方面的分析，本文限于篇幅不再贅述。

表2 銅柱加工誤差對壓后高度的影響

3 結論

1)本文從工程應用出發，建立了柱形銅柱的半經驗數學模型，通過與大量實測數據的比較表明，該模型具有足夠高的工程計算精度，和對不同規格銅柱的廣泛適用性。

2)分析表明，銅柱壓后高度等于原始高度的73%時靈敏度最高，合理的工作量程應盡可能對稱地分布在這個壓后高值的兩側。

3)目前我國的銅柱及工作活塞的幾何尺寸誤差是影響測量不確定度的主要因素，通過提高銅柱的加工精度可以明顯提高銅柱測壓精度。

4)利用本文的數學模型還可以對柱形銅柱的優化設計、合理生產及科學使用提供更多的幫助，相關的研究工作尚待繼續進行。

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Static Characteristics of Copper Cylinders for Chamber Pressure Measurement

WANG Fang1, GUO Zeng-gui2, ZHU Ming-wu1

(1.School of Mechanical Engineering,Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China;2.State-owned Factory 641, Jinzhou 121017, Liaoning, China)

Copper cylinders as a sensing element of crusher gauges are widely used for measuring the peak pressure in weapon chamber. In order to improve the measuring accuracy, a new mathematic model is proposed to investigate the static deformation of copper cylinders. The model parameters are estimated based on calibrated data.The calculated results are in good agreement with the experimental results. This model can be well applied to estimate the static deformation law of copper cylinders, and has wide applicability to different specifications of copper cylinders. According to the mathematical model, the variation of copper cylinder pressure sensitivity with deformation and the influence of machining dimension deviation on the accuracy of pressure measuring are calculated. When the height of copper cylinder after compression is 73% of its original one, the pressure sensitivity of the copper cylinder is the highest. The geometric dimension tolerances of copper cylinder and piston are the main factors which affect the pressure measurement uncertainty. The pressure measuring precision of copper cylinders can be improved by improving the machining precision obviously.

ordnance science and technology; chamber pressure measurement; copper cylinder; crusher gauge; static characteristic

2016-07-12

國防科技工業基礎科研計劃項目(2014年)

王芳(1966—)，女，博士研究生。E-mail: wangfang@mail.njust.edu.cn； 郭增貴(1931—)，男，研究員。E-mail: guosong816@sina.com

朱明武(1933—)，男，教授，博士生導師。E-mail: zhumw105@126.com

TJ012.1+6

A

1000-1093(2017)02-0412-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.02.028