對指向?qū)W科核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教科書的理解
——以“整式的加減”為例

◎范連眾 孔凡哲

對指向?qū)W科核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教科書的理解
——以“整式的加減”為例

◎范連眾 孔凡哲

我國當(dāng)前正在使用的各版本的初中數(shù)學(xué)教科書，在“整式加減”一章的修訂中表現(xiàn)出了高度的一致，這既不符合教科書“一標(biāo)多本”的教材建設(shè)體制的初衷，又將教科書的內(nèi)容設(shè)計局限于數(shù)學(xué)學(xué)科思維的羈絆。指向培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教科書的理解，應(yīng)依托數(shù)學(xué)學(xué)科核心知識，指向數(shù)學(xué)思維發(fā)展過程中所帶給學(xué)生的文化修養(yǎng)與品格塑造、注意學(xué)習(xí)情境的主題化與生活化、學(xué)習(xí)內(nèi)容的典型性與可遷移性、編排設(shè)計的螺旋化等設(shè)計策略的運用。

學(xué)科核心素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)；教科書

一、問題的提出：教科書修訂后的困惑

我國從1986年開始，改革“一綱一本”的通用教材，實行“一標(biāo)多本”的教材建設(shè)體制，這是中國近代數(shù)學(xué)教育史上的重要轉(zhuǎn)折，標(biāo)志著中央對教材建設(shè)方面的課程權(quán)力進行了適當(dāng)?shù)南路?。實行教材多樣化的政策的緣由是由于中國幅員廣大，經(jīng)濟文化發(fā)展很不平衡，義務(wù)教育的內(nèi)容應(yīng)該因地制宜，有所不同。各地可以根據(jù)當(dāng)?shù)氐膶嶋H狀況，自主地選擇優(yōu)質(zhì)教材，提高教材的使用效率，同時也激活教材出版，有利于形成了良性的競爭市場。2001年，在教育部頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》的指導(dǎo)下，北師大、華師大、人教社等多家出版社先后通過審核并發(fā)行了義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書。十年后，教育部修訂并發(fā)布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，各家出版社也開始發(fā)行修訂后的義務(wù)教育教科書，新修訂的初中數(shù)學(xué)教科書都已通過審核并被使用。2014年，國家公布了《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的框架》（征求意見稿），我國的基礎(chǔ)教育將走入“核心素養(yǎng)”時代，這給教師研究和使用教科書提供了廣闊的空間。

對當(dāng)前主要版本的教科書中“整式及其加減”的內(nèi)容編排進行比較，可以發(fā)現(xiàn)，修訂后的教科書“雷同”現(xiàn)象較為突出。首先，修訂后的各版本教科書在內(nèi)容選擇上高度一致，都把用字母表示數(shù)、列代數(shù)式、求代數(shù)式的值、單項式、多項式、整式、單項式系數(shù)、次數(shù)、多項式的項數(shù)、次數(shù)的概念、合并同類項、去括號、整式的加減做為主要內(nèi)容，只是北師版增加了探索與表達規(guī)律，華師版介紹了多項式的升降冪排列，青島版將函數(shù)的初步知識融合進來。其次，在結(jié)構(gòu)安排上，修訂前有三個版本的教科書安排了兩章，按螺旋上升式進行編排。修訂后有兩個版本都變兩章為一章，七個版本中有六個表現(xiàn)出了高度的統(tǒng)一。最后，在邏輯順序上，絕大多數(shù)版本都是按字母表示數(shù)—代數(shù)式—代數(shù)式的值—整式及其加減的順序進行。那么，是不是這部分內(nèi)容的特點決定了這種編排的唯一性呢？

二、蘊含在建立“符號意識”過程中的數(shù)學(xué)思維與學(xué)生發(fā)展

“整式加減”的學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)的基礎(chǔ)之上，傳統(tǒng)的內(nèi)容包括字母表示數(shù)、代數(shù)式、整式、合并同類項、去括號、整式的加減運算等，這些內(nèi)容既是對有理數(shù)的概括與抽象，又是后繼學(xué)習(xí)整式的乘除、分式和根式的運算、方程、函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，還是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科及其他科學(xué)技術(shù)不可缺少的工具。這部分內(nèi)容是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生符號意識的重要素材。

羅素說過：數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。所謂符號，就是針對具體事物抽象概括出來的一種簡略的記號或代號，數(shù)、字母、圖形、關(guān)系式等，都是符號。數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，是數(shù)學(xué)的思維工具，同時還是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維方法的載體，數(shù)學(xué)知識只有通過數(shù)學(xué)語言的表述才能被人們掌握、理解、應(yīng)用和交流。數(shù)學(xué)符號具有形式上的簡潔性、內(nèi)涵的精確性、使用上的統(tǒng)一性、應(yīng)用上的可操作性等特點，同時數(shù)學(xué)符號還具有簡約思維、提高效率、便于交流的功能。

Abraham A認為，符號意識主要包括六個成分：對符號的理解和審美能力、對符號表達式的理解及運算能力、用符號關(guān)系式表征言語和圖像信息的意識、選擇恰當(dāng)符號表征問題的能力、判斷與比較符號的多種含義的意識、對不同情境下符號所起不同作用的直覺感?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。”對“符號意識”的理解應(yīng)該與對“數(shù)感”的理解有所區(qū)分，“感”是指對數(shù)學(xué)對象中隱含的意義整體性地領(lǐng)悟感受，“意識”則是建立在學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗之上，需要通過學(xué)生努力而形成的一種直覺之上、能力之下的一種積極的心理傾向。對于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)符號是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，建立符號意識將有助于理解符號的意義，有助于有效地運用符號解決問題，有助于理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和數(shù)學(xué)思考的重要形式，從而有助于學(xué)生更好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

義務(wù)教育階段，學(xué)生用符號表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系是一個漸進的過程。在小學(xué)階段，學(xué)生經(jīng)歷了從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)并應(yīng)用單一運算符號進行數(shù)的運算的第一次抽象。在初中階段，將用字母表示數(shù)及其數(shù)量關(guān)系，從研究一個個特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，其抽象程度顯然超過了小學(xué)階段抽象出數(shù)的過程，是學(xué)生的認識上的一個階段性的飛躍。在初等代數(shù)中，用字母表示既包括用字母表示數(shù)，表示公式、運算律，現(xiàn)實世界和各門學(xué)科中的各種數(shù)量關(guān)系，還包括表示變化規(guī)律等等。因此各版本教科書都在字母表示數(shù)這一節(jié)中安排了這四個方面的例子，北師版更是單獨設(shè)立一節(jié)來用字母表示變化規(guī)律，青島版還將用字母表示變量、常量及它們之間的關(guān)系融合在用字母表示數(shù)這一節(jié)課中，應(yīng)該說是一種有益的探索。

對于符號的解釋，教科書可以通過課堂練習(xí)或者課后作業(yè)來進行適當(dāng)?shù)臐B透，例如對代數(shù)式“4a”都可以怎樣解釋的問題。而對于符號的運算，湘教版修訂前的教科書進行了嘗試，在第二章中先學(xué)習(xí)一次式的加減，在第四章中再學(xué)習(xí)較復(fù)雜的多項式的加減。而臺灣的教科書則安排得更為合理，在學(xué)生學(xué)習(xí)了單項式的概念之后，增加了單項式與一個數(shù)相乘，讓學(xué)生體會乘法交換律、結(jié)合律在式的運算中的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)完多項式的概念之后，同樣安排了多項式與數(shù)的乘法運算，這樣既體會到了乘法分配律的應(yīng)用，又總結(jié)了去括號的方法，這樣的內(nèi)容設(shè)計，值得國內(nèi)的教材編寫者學(xué)習(xí)。對于幫助學(xué)生理解符號之間相互轉(zhuǎn)換的問題，臺灣的教科書更具有特色一些，他們通過讓學(xué)生利用多種方法解決一些與自己熟悉的生活之中的實際問題，來加深學(xué)生對符號的理解，發(fā)展學(xué)生的符號意識和推理能力。

在利用符號解決現(xiàn)實問題這個領(lǐng)域，各版本教科書都利用課前引例、課堂例題、課堂練習(xí)和課后作業(yè)等各種機會進行滲透。只是哪些實際問題更與學(xué)生的生活實際相聯(lián)系，問題解決更有挑戰(zhàn)性方法還存在差異。有些教科書中的實際問題的成人眼光太強了些，有些問題現(xiàn)實性弱了些，人為編造的痕跡強了些，追求應(yīng)用角度的面面俱到，對一個問題的描述超過幾十字，超出了學(xué)生的經(jīng)驗理解。

三、跳出學(xué)科思維的羈絆，指向培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)

教科書是以課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，依據(jù)教學(xué)規(guī)律，由學(xué)科專家編寫，經(jīng)權(quán)威組織審定，供學(xué)校施教使用的文本教學(xué)材料。教科書是學(xué)生直接的學(xué)習(xí)對象，是理解課程內(nèi)容并實現(xiàn)課程目標(biāo)的媒介，其重要性不言而喻。在教科書編寫的過程中，學(xué)科專家的學(xué)科思維起著重要的作用。

“整式的加減”這部分內(nèi)容的嚴(yán)謹性、連貫性，層層遞進和深入，表現(xiàn)出了典型的數(shù)學(xué)思維，即便是刪刪減減，也都是以和后繼學(xué)習(xí)相關(guān)聯(lián)。但“整式的加減”僅僅是學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)的起點和基礎(chǔ)，學(xué)生在以后的方程、函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，都將不斷地加深對其理解，過早地將這部分內(nèi)容完備化、邏輯化，不見得是最科學(xué)的方法。比如前面提到過的去括號，利用乘法分配律學(xué)生可以自然地遷移和理解，嚴(yán)謹?shù)摹⒊绦蚧牡娜ダㄌ柗▌t反而會將學(xué)生帶入了程序化的思維空間。

再如本章的數(shù)學(xué)概念繁多，學(xué)科專家大都采用從特殊到一般，從具體實例到代數(shù)抽象的處理方式，將學(xué)生的思維固化為簡單的類比和抽象，給學(xué)生帶來深刻體驗的是對概念的辨析和應(yīng)用，而不是對生活的數(shù)學(xué)理解。同時，由于教學(xué)目標(biāo)的多元性，教學(xué)對象的多樣性，教學(xué)情境的復(fù)雜性，不存在一種絕對有效和最優(yōu)的、在各種情況下都適用的教科書編寫策略。但是，選擇或建構(gòu)一種教科書編寫策略，對于教科書的編寫、修訂和理解，仍然是十分重要。為此，筆者提出以下策略。

（一）以一兩個主問題情境，貫穿符號理解學(xué)習(xí)的始終

感受符號學(xué)習(xí)的必要性是學(xué)生建立符號意識的前提已成為共識，如果學(xué)生一開始就不理解符號的含義，那么接下來的操作過程必定是是機械的、無意義的。當(dāng)下的教科書無論是概念引入，還是例題習(xí)題，提供的問題情境比較多，每一個概念、符號的引入都有不同的情境，學(xué)生在建立符號意識的開始要接受的第一個挑戰(zhàn)就是在各種新情境中完成從生活到數(shù)學(xué)的抽象，而實際上完成一個情境下的一個例子，是無法實現(xiàn)這一情境類型下的模型建立和數(shù)學(xué)抽象，更可況要實現(xiàn)不同情境下對同一個數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)模型的抽象，這無疑增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。事實上，以整式加減的學(xué)習(xí)為例，無論是用字母表示數(shù)、代數(shù)式、整式等概念的學(xué)習(xí)，還是合并同類項、去括號等法則的學(xué)習(xí)，都可以利用現(xiàn)實生活中的購買商品的問題情境或者是一個數(shù)學(xué)內(nèi)部需找規(guī)律的問題情境來貫穿始終。學(xué)生在一個熟悉的、穩(wěn)定的學(xué)習(xí)背景下，就會把注意力集中到抽象本質(zhì)的思維中，有利于完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（二）抓住學(xué)科知識的內(nèi)涵實質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可遷移性

眾所周知，式的學(xué)習(xí)要與數(shù)的學(xué)習(xí)進行類比，運算律在式的運算中同樣成立。然而對學(xué)生而言，只用貼標(biāo)簽的方式并不足以讓學(xué)生信服和理解。既然要學(xué)生運用符號進行運算和轉(zhuǎn)換，抓住數(shù)學(xué)本身的內(nèi)涵實質(zhì)，感受符號轉(zhuǎn)換的合理性就顯得十分重要。例如讓學(xué)生用不同的方法計算a盒大包裝和b盒小包裝糖果的價錢，就讓學(xué)生自然而然地理解字母參與運算的法則，這一思考問題的過程就是數(shù)學(xué)思考的過程，發(fā)展符號意識也就是讓學(xué)生運用符號進行思考，這也是數(shù)學(xué)抽象、推理和模型思想的集中反映?？梢杂嬎闾枪膬r錢類似，計算不同商品的包裝價格可以繁衍出與“整式的加減”有關(guān)的很多數(shù)學(xué)概念和運算規(guī)則。而將包裝問題、出租車的計費問題、通訊費的計算問題等不同情境下的實際問題相聯(lián)系、相比較，真正對學(xué)生創(chuàng)造自主思考、合作探究的機會，就可以使學(xué)生的文化修養(yǎng)和品格塑造在豐富的數(shù)學(xué)活動和問題解決過程中得以實現(xiàn)。

（三）恰當(dāng)運用螺旋式上升原則，降低學(xué)習(xí)難度

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》就明確指出，在編制數(shù)學(xué)教科書時，重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則。恰當(dāng)?shù)剡\用螺旋式上升的教科書編寫方法，關(guān)鍵就是尋求“窄而深”課程設(shè)計風(fēng)格與“廣而淺”課程設(shè)計風(fēng)格之間的某種平衡。這個平衡點的尋找，既要在每門課程的整體設(shè)計上尋求“可比深度”與“可比廣度”的平衡,也要在每門課程的不同內(nèi)容之間因地制宜、因時制宜，針對不同的局部內(nèi)容采用“窄而深”“廣而淺”甚至“少而深”的課程設(shè)計風(fēng)格，以求得適宜的課程整體難度?！罢郊捌浼訙p”雖然是基礎(chǔ)內(nèi)容，雖然可以集中到一個章節(jié)進行學(xué)習(xí)，但是采用直線式還是螺旋式，各版本的教科書還應(yīng)根據(jù)自身的編排優(yōu)勢，各具特色，表現(xiàn)出了不同的方法。例如青島版就采用了螺旋式，將函數(shù)的初步知識融合在字母表示數(shù)的學(xué)習(xí)之中，使函數(shù)的學(xué)習(xí)提前，也為下一個螺旋的開始做好了鋪墊。湘教版先安排一次式的加減的學(xué)習(xí)，再對多項式及其加減深入學(xué)習(xí)，這對于基礎(chǔ)稍弱的中西部地區(qū)的學(xué)生是十分有利的。而對于直線式的安排，也要考慮課程的難度，如單項式次數(shù)、系數(shù)，多項式次數(shù)、項數(shù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)分開安排，如果集中安排，要控制例習(xí)題的數(shù)量和難度，發(fā)展無疑會增加課程的廣度與深度，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的困難。

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)該是豐富多彩的，學(xué)習(xí)方式應(yīng)該是多種多樣的，對初中數(shù)學(xué)教科書的理解在思考學(xué)科思維的嚴(yán)謹性、完備性、科學(xué)性的同時，一定還應(yīng)該以切實培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)為中心，把握初中學(xué)生的思維特點，抓住學(xué)科知識的真正內(nèi)涵，吸收借鑒國際上教科書研究的先進經(jīng)驗，考慮到我國基礎(chǔ)教育的現(xiàn)狀，揚長避短，不斷創(chuàng)新，才能發(fā)揮教科書應(yīng)有的作用，實現(xiàn)教育目標(biāo)。

[1]胡東芳.新中國課程政策的歷史回顧與理論思考[J].清華大學(xué)教育研究.2002（04）.

[2]陳立，黃翔.如何發(fā)展符號意識[J].中學(xué)生數(shù)理化.2014（9） .

[3]姜寧寧，李瑩.符號意識的內(nèi)涵及培養(yǎng)策略[J].基礎(chǔ)教育論壇.2013（10） .

范連眾，大連市甘井子區(qū)教師進修學(xué)校中教部教師；孔凡哲，東北師范大學(xué)教育學(xué)部教授。

（責(zé)任編輯：楊強）