問題驅動法在定積分概念教學中的應用

曹順娟

摘 要：教學的組織應依據學生的認識規律，如何組織課堂教學更切合學生的認知規律。筆者根據自己的教學經驗，總結出了“設置驅動問題，激發學生思考，利用已知解決未知”的問題驅動法。問題驅動法是讓學生帶著問題去學習新的知識，并在解決這些驅動問題時，形成對新知識的初步認識。該文介紹了如何將“問題驅動法”應用到定積分概念的教學中。

關鍵詞：問題驅動法 學習型社會 認識規律 驅動問題

中圖分類號：G6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）09（b）-0166-02

“國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）”的戰略目標為：到2020年，基本實現教育現代化，基本形成學習型社會，進入人力資源強國行列。如何進行教學改革促進學習型社會的形成。中國科學院院士李大潛說過：教學改革的主體雖然是教師，但所針對的對象則是廣大的學生，因此，一定要遵循學生的認識規律，才能收到事半功倍的效果。教師一定要設身處地站在學生的角度思考，考慮怎樣組織教與學才能更切合學生的認識規律。

教學組織應依據學生的認識規律，尤其是數學這樣一門抽象的學科應該如何實施教學。筆者根據自己的教學經驗，總結出了“組織適當的驅動問題，激發學生思考，利用已知解決未知”的問題驅動法。

1 依據數學知識形成規律，得到“問題驅動法”

我們先認識一下一套數學理論是怎么形成的。

首先，人們在生產生活中遇到一個難解決的實際問題，數學家將之抽象為一個數學問題，設法利用已知的數學知識去初步解決。其次，對于這種普遍存在的問題，數學家將初步解決的方法進行充分抽象、提升，使之成為一套新的數學理論。對該數學對象，可以應用數學方法進行進一步研究，從而完善這套數學理論。最后，數學家再將這套完整的理論反哺到最初解決的實際問題中，這樣就得到更有效的解決方法，并且還可以利用新得到的數學知識來解決類似的其他問題。

至此，一套數學理論就形成了，可以把這個過程簡化成下面的流程圖（如圖1）。

在教學中發現對于一個數學概念或知識點，很多同學往往知其然而不知其所以然，會效仿例子做題，但是問其為何這樣解，卻說不知道或不清楚，這和我們所要培養的學習型人才背道而馳，深究這里面的原因，是學生對該知識沒能深入思考，再究其深層原因，實為教師未遵循學生的認識規律教學，對該知識點沒有通過恰當的方式進行教學，這樣就使得學生只是被動接受，而不能真正理解如何去用。問題驅動法就可以很好解決學生未加思考就接收知識的問題。這種方法是教師通過設置一些適當的驅動問題，層層引導學生去思考，學生在不斷思考和不斷解決問題的過程中形成對概念的初步認識。這樣的過程使得學生既清楚概念的來龍去脈，又能深刻理解概念的意義。

2 “問題驅動法”在定積分概念中的應用

教師如何設置好驅動問題，激發學生思考，層層解決完各個問題之后，使得原來的實際問題得以解決。我們以定積分概念為例，進行說明如何設置驅動問題，使得學生在思考中學習并領悟概念。

首先，以回憶三角形和梯形的面積開始引入，這兩個圖形的面積，是學生熟悉的“已知知識”。這時，老師可設置問題：把梯形的一斜邊變成曲線，這樣的圖形—— 曲邊梯形的面積如何計算？對于這個中心的驅動問題，學生會無從下手，老師可以設置下面的一系列小的問題進行驅動，使得學生逐一解決，最終解決該中心問題。

驅動問題1：對于未知的曲邊梯形面積，雖然我們還不知是否有已知的公式計算其精確值，但是能否可以退而求其次，用已知圖形的面積來近似它的面積？

解決方案：用三角形或梯形的面積進行近似。

驅動問題2：直接用三角形或梯形的面積來近似，誤差是不是太大？如何減少誤差？

解決方案：把大的曲邊梯形分成一個個小的曲邊梯形，逐個近似再求和，且曲邊函數的連續性可保證這樣做的效果比直接近似更優。

驅動問題3：這樣得到的值仍然為近似值，怎樣消除誤差？

解決方案：（此時需要提示：什么時候誤差較小？怎樣才能使得誤差盡可能小？即誤差無限接近于0。可以讓學生觀察曲邊梯形寬時誤差大還是窄時誤差大得到啟示。）利用極限這個數學工具進行消除誤差。

這樣，中心驅動問題得以解決。

驅動問題4（延伸問題）：如何計算變速直線運動的路程？

這個問題和上面的中心驅動問題一樣，需要用已知（勻速直線運動）近似未知（變速直線運動），進而解決未知問題。通過前面問題的思考學生很容易把該問題解決好。

驅動問題5：上面的兩個問題有什么相似之處？

一是解決過程相似：大化小、常代變、近似和、取極限。二是結論類似：均為乘積和式的極限。這兩個問題：一個是幾何上的問題；另一個是物理上的問題，把其過程和結論抽象出來即為一個新的數學概念——定積分。

通過層層思考，學生主動完成知識的形成過程，接下來再介紹定積分的定義時，學生就會容易理解，而不會感覺概念來的突兀，晦澀。

南開大學數學科學學院教授，首屆“國家級教學名師”顧沛曾說：一個教師，如果既把教學當作職業去恪守，又把教學當作事業去熱愛，還把教學當作藝術去追求，那么，境界高了，教學效果也一定會更好。他還提出了教學的3個層次：第一層次，把教學僅當作一種職業，在自己的崗位上勤勤懇懇，任勞任怨，認真備課、上課、批改作業、答疑輔導。第二層次，把教學也當作一項事業，全身心投入，孜孜以求，探索規律，努力奉獻，追求成功。第三層次，把教學還當作一門藝術，貫通古今，博采眾長，精心設計，不斷創新，在課堂的舞臺上信手拈來，左右逢源，寓教于理，寓教于情，寓教于樂，讓學生在欣賞和享受中吸取廣泛的營養。站在前輩的肩膀上，筆者對教學藝術的理解是幫助學生學會發現問題且利用所學解決問題的藝術。

反觀現在的高校教育工作者，很大一部分教學工作者只會照本宣科，而沒有自己的理解、總結和概括，讓學生云里霧里；或只關注該課程內容，而忽視學習的目的和方向，以及相關知識和技能的培養，這只能算作第一層次的教學。有些教學工作者去實施第二層次教學，但由于高校科研壓力之大，無暇顧及教學方法的研究，所以這部分教師也為數不多。真正能把教學當作一門藝術并成功實施的，數量很少。雖然大部分教學工作者能力，精力和經驗有限，但只要有足夠的熱情、并且不懈地努力，就有可能向著藝術性的教學不斷前進。積極探討與實踐相適應的教學方法，把學生培養成學習型人才，應該從口號變為現實，成為每一位教師都在踏踏實實做的事情。

參考文獻

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