基于MATLAB的超松弛迭代法的電位研究

湖南大學電氣與信息工程學院 林昊宇

基于MATLAB的超松弛迭代法的電位研究

湖南大學電氣與信息工程學院 林昊宇

有限差分法作為靜態場電位求解問題的有效數值解法，它將場域劃分為有限個網格節點，用差分方程組求得近似解。本文由此出發，詳細介紹了用有限差分法求解場域電位的基本原理，并詳細闡述了幾種常用的迭代方法，并用實例重點分析了運用超松弛迭代法求解場域電位的方法。本文運用MATLAB語言進行計算，簡單、易讀，擺脫了傳統C語言程序的不足，最后通過繪制電位分布圖像仿真驗證了算法和程序的正確性與有效性。

有限差分法；超松弛迭代法；靜態場電位問題；MATLAB

一、引言

隨著計算機技術、實驗研究技術的迅速發展，電磁場學科在教研、工程上的應用也在逐步加深。而經典電磁學理論作為電磁技術發展的理論基礎，其核心麥克斯韋方程組的重要性不言而喻。因此在工程上求解電磁場的基本任務，便是根據電磁場域的特性建立數學模型，利用麥克斯韋方程列出方程，利用邊界條件，求解出磁場的分布。

電位的計算則是靜電場計算的基本問題。只要計算出電位，包括電場強度在內的電磁場物理量都可以由其求得。在以往的區域電位求解中，主要有解析法和數值法兩大類。解析法所求得的結果較為精準，但是在實際的工程問題中往往因為條件過于復雜而無法求得。故在此情況下，用數值法求解電磁場電位便是良方。近年來，隨著計算機技術的發展和各種算法技術的進步，數值方法有了很大的飛躍，主要內容包括：有限差分法、有限元法、蒙特卡洛法等。本文將使超松弛迭代法，通過MATLAB研究區域磁場的電位問題。

二、關于超松弛迭代法

超松弛迭代法是在有限差分法的基礎上為提高收斂速度，采用加權平均而得到的新算法。因此我們需要先了解運用有限差分法求解區域磁場的基本原理。所謂有限差分法（finite difference method），是一種求偏微分（或常微分）方程和方程組定解問題的數值解的方法，它以差分原理為基礎，具有簡單、直觀的特點，是最早廣泛應用于電磁場數值分析領域的方法。用此方法時，采用離散化思想，計算的步驟通常如下：

采用一定的網格劃分格式，把實際連續的的磁場離散為有限的多個點。

使用差分原理，對磁場域內偏微分方程以及磁場域邊界條件進行差分離散化處理，即用差商替代偏導數，寫出相應的差分格式。

結合代數方程組的求解，可通過計算機程序，求出由以上的步驟得到的代求邊界問題的差分方程的解，即可求出網格節點的位函數值，進一步求得電位分布。

下面以二維泊松方程的第一類邊值問題為例介紹用有限元差分法求解區域電位的基本原理。

二維靜電場的邊值條件滿足：

將如圖1的場域分成足夠小的正方形網絡，網絡之間的距離為步長h，節點A,B,C,D,E上的電位分別用φ0,φ1,φ2,φ3和φ4表示。

圖1 區域磁場網格劃分

設函數φ在x0處可微，則沿x方向在x0處的泰勒公式展開為：

由(3)+(4)得：

同理，在y方向上有：

將式(5)、(6)代入式(1)的邊界條件中，得到泊松方程的五點差分格式：

式(8)表明，任意點的電位等于它周圍四個點電位的平均值。當求解區域很大時，劃分的網格點很多，那么求解的方程組中，未知數也將很多。此時采用迭代法較為簡便。下面將就常用的幾種迭代法作簡要分析。

1.簡單迭代法

在圖1中，將包含界別在內的節點均以下標(i,j)表示，用上標n表示某點電位的第n次迭代值。由式(8)得出點(i,j)的第n+1次電位的計算公式為：

在以式(9)進行迭代計算時，迭代順序可按先行后列，或先列后行進行，逐級求出近似值。迭代過程如遇到邊界節點時，代入邊界值或邊界差分格式，直到連續兩次迭代求得的電位差值在允許誤差范圍內，結束迭代。

2.高斯-賽德迭代法

為了節約計算時間，對簡單迭代法進行適當改進，即每計算出一個節點的高一次近似值，就立即用它參與其他節點的差分方程的計算，它的表達式可以寫為：

由于高一級迭代值的提前使用，高斯-賽德迭代法比簡單迭代法快一倍左右，數據容量也小。

3.超松弛迭代法

為了進一步加快收斂速度，采用超松弛迭代法。這里引入收斂因子α，將某節點的新舊電位值之差乘以收斂因子，在加到該節點的舊電位值上，以之作為該節點的新電位值。表達式如下所示：

研究可知，迭代收斂的速度與收斂因子有明顯關系，如下表所示：

表1 收斂因子與迭代次數關系表

由于收斂因子的選取一般依經驗而定，對于正方形磁場場域，可由下面的經驗公式計算最佳收斂因子：

除此之外，迭代收斂的速度還與電位初始值的給定、網格剖分精細和工程精度誤差有關。

三、實例分析

下面用實例闡述通過MATLAB使用超松弛迭代法求解場域電位的方法。例：在一個長直接地金屬槽中，其橫截面如圖2所示，其側壁與底面電位均為零，底蓋電位的相對值為10，試求槽中間區段的電位分布。

圖2 長直接地金屬槽

對于金屬槽中間區段的電場分析，可理想為二維平行平面場的問題，選定直角坐標系，槽內電位函數滿足拉普拉斯方程，構成如下所示的第一類邊值問題：

為了全面了解超松弛迭代法的應用，本例先在粗略的網格剖分下，計算槽內九點區域電位的近似解，再推算區域內任意點的電位情況。解題過程如下：

（1）場域離散化。用正方形網格對場域進行粗略剖分，使得步距，方向的等分數均為，使場域內存在九個點。

（4）給定初值：進取零值為初始值。

（5）給定迭代解收斂的指標。規定，當各網格內點相鄰二次迭代的近似值的絕對誤差的絕對值均小于10-5時，迭代終止。

經計算可知，迭代次數為13，用MATLAB求解出九點的電位值和電位分布圖像如下所示：

圖3 用MATLAB計算得到的九點電位值

圖4 用MATLAB繪制得到的電位分布圖

下面研究如何求出任意點的電位。該問題的關鍵在于如何設置合適的程序終止條件。為此提出如下思路：引入一個判斷矩陣P和兩個計算矩陣Va、Vb，其中Vb作為初始矩陣，Va作為迭代矩陣，判斷矩陣則作為循環執行與否的條件，而迭代矩陣與初始矩陣之差作為是否滿足誤差限的判斷條件。當某一次迭代使得迭代矩陣與初始矩陣之差的絕對值小于誤差限，則令判斷矩陣P=0，以此跳出循環。給出MATLAB代碼實現如下：

N=100;

Va=zeros(N);

Vb=zeros(N);

for i=2:N-1

Va(1,i)=10;

end

e=1e-5;

p=ones(N);

p(:,N)=0;

p(N,:)=0;

p(1,:)=0;

p(:,1)=0;

while sum(abs(p(:)))～=0

Vb=Va;

for i=N-1:-1:2

for j=2:N-1

Va(i,j)=Vb(i,j)+1.17/4*(Vb(i-1,j)+Va(i+1,j)+Vb(i,j+1)+Va(i,j-1)-4*Vb(i,j));

if abs(Va(i,j)-Vb(i,j))

p(i,j)=0;

end

end

end

end

contour(Va);

grid on

通過更改程序中的N值，可以求出場域點陣中任意點的電位值。假令N=100，繪制出電位分布曲線如圖5所示：

圖5 用MATLAB繪制得到100×100點陣的電位分布圖

[1]謝處方,饒克謹．電磁場與電磁波(第四版)[M]．北京:高等教育出版社,2006．

[2]倪光正．工程電磁場原理(第二版)[M]．北京:高等教育出版社,2009．

[3]葛哲學．精通MATLAB[M]．北京:電子工業出版社,2008．

[4]王飛,裴永祥．有限差分方法的MATLAB編程[J]．新疆師范大學學報(自然科學版),2003,22(4):22-27．