基于流固耦合作用的上懸式離心機轉鼓解析動力學建模

楊旭娟 徐光恒 李宇龍 李兆軍

(1. 廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室，廣西 南寧 530004；2. 廣西大學機械工程學院，廣西 南寧 530004；3. 廣西高校臨海機械裝備設計制造及控制重點實驗室培育基地，廣西 欽州 535000)

基于流固耦合作用的上懸式離心機轉鼓解析動力學建模

楊旭娟1,2,3徐光恒1,2李宇龍1,2,3李兆軍1,2,3

(1. 廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室，廣西 南寧 530004；2. 廣西大學機械工程學院，廣西 南寧 530004；3. 廣西高校臨海機械裝備設計制造及控制重點實驗室培育基地，廣西 欽州 535000)

以上懸式離心機轉鼓為研究對象，應用有限單元法將轉鼓壁劃分為板單元，將糖膏劃分為三棱柱單元，充分考慮轉鼓和糖膏的流固耦合作用，建立反映轉鼓與糖膏流固耦合關系的解析動力學模型，比較轉鼓在考慮流固耦合作用下和不考慮流固耦合作用的振動模態，分析流固耦合對轉鼓振動模態的影響。研究表明，所建上懸式離心機轉鼓解析動力學模型反映了系統參數與其動態性能之間的內在關系。同時，由于考慮系統的流固耦合特性，增加了附加質量矩陣，從而對系統的固有頻率產生重要影響，為了避免轉鼓系統產生共振現象，確定系統的工作頻率范圍時，應該考慮流固耦合作用的影響。

上懸式離心機；振動特性；流固耦合；轉鼓；解析動力學模型；有限元

上懸式離心機作為制糖企業的核心設備，是一種利用離心力將固體和液體分離的旋轉機械設備。在制糖工業中，其主要功能是將蔗糖晶體與糖膏分離。為了提高工作效率，需要提高離心機轉速；而隨著轉速的提高，離心機的振動問題就越發嚴重，導致事故頻發[1-2]。因而深入開展上懸式離心機振動特性的研究對確保制糖設備安全高效運行是十分必要的。

目前，學者們對上懸式離心機轉鼓動力學問題進行了廣泛的研究。例如，ANGHEL C I[3]對離心機轉鼓進行了應力分析，并研究了引起應力集中的決定因素；李建明等[4]運用有限元分析法，采用無量綱理論對錐形轉鼓和法蘭連接處的應力進行分析；藍永庭等[5]運用Ansys軟件對包含孔結構的離心機轉鼓進行強度分析，建立優化數學模型對轉鼓結構及工藝設計進行優化；李巖舟等[6]運用Ansys軟件對上懸式離心機轉鼓在滿負荷工況下進行強度分析，并對轉鼓壁厚進行優化；蒙文[7]運用Ansys軟件采用三維有限元法分析加強箍分布參數、截面參數以及過盈量對轉鼓應力的影響；Park等[8]建立了水平旋轉轉鼓的簡化離散有限元模型，并進行了離心機轉鼓的動態性能及優化，針對轉鼓的填充率、轉速、摩擦系數對動態性能的影響做了參數化分析。

學者們多年的研究為上懸式離心機的安全穩定工作起到了非常重要的推動作用。但這些研究多是基于軟件對離心機轉鼓進行建模和分析，難以反映轉鼓動態性能與其結構參數的內在關系。已有的研究均未考慮轉鼓和糖膏的流固耦合關系。而流固耦合動力學問題的研究已是很多工程領域的研究熱點，如水輪機的流固耦合動力學研究[9]，船體與水的流固耦合振動問題研究[10]，儲液容器的流固耦合動力學問題研究等[11]。流體與固體之間的流固耦合作用直接影響系統的動態性能，并最終影響系統的安全、可靠運行。糖膏屬于流體，在離心機實際的運行過程中，糖膏和流體之間也存在相互作用的流固耦合作用。因此，有必要建立考慮流固耦合作用的上懸式離心機轉鼓解析動力學模型。

本研究擬以上懸式離心機轉鼓為研究對象，應用有限元法建立轉鼓—糖膏系統的流固耦合解析動力學模型，并在該動力學模型的基礎上分析流固耦合作用對轉鼓振動模態的影響。

1 考慮流固耦合的上懸式離心機轉鼓解析動力學模型

1.1 位移模式

上懸式離心機轉鼓壁厚相對于轉鼓直徑較小，在分析中，將轉鼓壁視為薄殼，采用三角形板單元將轉鼓壁劃分單元，見圖1。

圖1板單元上任意點沿x方向的位移u(x,y,t)，沿y方向的位移v(x,y,t)，沿z方向的位移w(x,y,t)可分別表示為：

(1)

其中，Nui、Nvi、Nwi為單元型函數。

1，2，3表示單元節點，每個節點設u、v、w 3個位移，xyz為單元坐標系

1.2 單元動能

單元的動能可表示為：

(2)

式中：

T——轉鼓板單元的動能，J；

ρ(x,y)——材料質量密度，kg/m3；

h——板殼單元厚度，m。

將式(1)代入式(2)，忽略剛體運動與彈性運動的耦合項，將動能表示成二次型的形式得

(3)

式中：

N——轉鼓壁板單元形函數矩陣，由轉鼓的形狀幾何參數確定，且

N=

1.3 單元勢能

在一般彈性理論中，忽略u、v二階導數非線性項，而保留一階導數非線性項，有非線性位移—應變關系：

(4)

將式(1)代入位移—應變關系式(4)，整理得應變與節點位移之間的關系式為：

(5)

式中：

ε ——應變；

S0——應變矩陣，反映了應變與位移之間的關系；

且ε=[εx,εy,γxy]T；

S1=[1,0,0]T,S2=[0,1,0]T,S3=[0,0,1]T；

由應力—應變關系

σ=Dε，

(6)

式中：

σ——應力；

D——彈性矩陣。

式(6)反映了應力與應變之間的關系。

考慮單元的彈性變形能和流體壓能，單元的總勢能為：

(7)

式中：

p(x,y,z,t)——任意點糖膏流體的壓強，Pa；

u——位移向量，u=[u v w]T；

ns——單元表面法向向量。

假設糖膏在轉鼓內做定常流動，由計算流體力學，流體域壓強分布可表示為：

(8)

式中：

n——流體單元節點數；

NL——流體單元形函數矩陣；

pp——節點壓強向量。

由式(1)和式(8)可得：

(9)

式中：

ρf——糖膏質量密度，kg/m3。

根據變分原理，可得流體—結構耦合關系[12]529-531：

(10)

式中：

NL——流體單元形函數。

考慮到糖膏厚度比轉鼓壁厚度大得多，有一定的厚度，為了與實際情況更為相符，采用6節點線性三棱柱單元將糖膏劃分單元，見圖2。

為了表示三棱柱單元的型函數，在平行于棱邊的方向用坐標ζ，在垂直于棱邊的三角平面內用面積坐標Li，且

(11)

式中：

L1,L2,L3——面積坐標。

圖2 糖膏三棱柱單元Figure 2 Fillmass three prism unit

將式(5)、(6)和(9)代入式(7)，聯立式(10)，并忽略轉鼓勢能表達式中的幾何項后可得轉鼓板單元的勢能為：

(12)

式中：

1.4 單元運動微分方程

應用拉格朗日方程：

(13)

式中：

F——外加載荷的廣義力向量；

q——轉鼓單元受到的與其相聯結的單元對其的作用力向量。

得到不考慮阻尼情況下單元的運動微分方程為：

(14)

式中：

1.5 總體方程

將轉鼓系統沿周向等分為8個部分，其中每個部分的單元劃分見圖3，每個部分轉鼓壁由4個三角形板單元組成(單元節點為9，10，17，18，25，26)，下底板(單元節點為1，2，9，10)和上擋液板(單元節點為25，26，33，34)分別由兩個三角形板單元組成，糖膏由4個三棱柱單元組成(單元節點編號為1，2，9，10，17，18，25，26，33，34，41，42)。

設B為轉鼓單元局部編號與系統編號間的坐標協調矩陣，R為轉鼓單元坐標與整體坐標間的轉換矩陣。采用粘滯阻尼理論來近似估計阻尼的影響，以整體進行編號的轉鼓系統廣義坐標向量為U，則轉鼓系統的運動微分方程為：

(15)

式中：

圖3 轉鼓有限元模型Figure 3 The finite element model of the drum

M、C、K——分別為轉鼓系統的質量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣；

F——廣義力向量；

M0——轉鼓壁質量矩陣；

且M=BTRT(m+m′)RB，M0=BTRTmRB，K=BTRTkRB。

從方程(15)的推導過程可見，其中K包含系統的結構參數，M包含轉鼓壁質量矩陣和考慮糖膏流體產生的附件質量矩陣，不僅包含轉鼓的材料密度和轉鼓的結構參數，還包含流體的密度和流體的結構參數等，該解析動力學方程不僅反映了系統動態性能與其系統參數之間的內在關系，還反映了系統的流固耦合特性。

1.6 模態分析

模態分析反映的是系統的固有特性，在方程(15)的基礎上，不考慮系統的阻尼和激勵，可得上懸式離心機轉鼓系統的無阻尼自由振動的動力學方程為：

(16)

假設系統做同步簡諧運動，則其解可表示為：

U=Asin(ωt+φ)，

(17)

式中：

ω——系統的固有頻率，rad/s；

A——系統的模態矢量。

將式(17)帶入式(16)，根據可解性條件，可得系統的頻率方程為：

(18)

通過求解方程(18)即可得到系統各階的固有頻率。

2 實例分析

以某大型上懸式離心機轉鼓為研究對象，主要結構參數、材料參數及離心機工作參數見表1，將這些參數帶入到剛度矩陣和質量矩陣的計算中可得剛度矩陣和質量矩陣，通過求解方程(18)即可得到系統各階固有頻率。進而通過仿真計算可得流固耦合作用對轉鼓系統固有頻率的影響。

表2為轉鼓系統在考慮流固耦合作用下和不考慮流固耦合作用下的前8階固有頻率計算結果，其中η為糖膏流固耦合作用對轉鼓固有頻率的影響系數，且

η=fs/fa，

(19)

式中：

fa——轉鼓不考慮流固耦合作用下的固有頻率，Hz；

fs——轉鼓考慮流固耦合作用的固有頻率，Hz。

由表2可知，考慮轉鼓和糖膏的流固耦合作用將使系統的固有頻率顯著下降，由轉鼓系統在流固耦合作用下與不考慮流固耦合作用的前8階固有頻率比較可知，工作狀態下，系統在流固耦合作用下的固有頻率較小，且流固耦合作用的影響系數為0.7左右。因此，為了避免轉鼓系統產生共振現象，確定系統的工作頻率范圍時，應該考慮流固耦合作用對系統固有頻率的影響。

3 結論

本研究建立了上懸式離心機流固耦合解析動力學模型，該模型不僅包含系統的結構參數，而且還包含系統的流體參數，不僅反映了系統動態性能與其系統參數之間的內在關系，還反映了系統的流固耦合特性。由于考慮系統的流固耦合特性，系統增加了附加質量矩陣。系統的前8階固有頻率較不考慮流固耦合作用時均有下降，最大降幅將近30%，可見考慮流固耦合特性對系統的振動模態有重要影響。這將為進一步研究系統的動態性能和優化設計提供依據。

表1 離心機參數表Table 1 Parameters of the centrifuge

表2 轉鼓系統前8階固有頻率Table 2 Natural frequencies of the drum

[1] 湯新文, 陳海輝. 離心機轉鼓爆裂事故分析[J]. 機電工程技術, 2005, 34(3): 104-105.

[2] MATEO A, HEREDERO F, FARGAS G. Failure investigation of a centrifuge deplex stainless steel basket[J]. Engineering Failure Analysis, 2011, 18: 2 165-2 178.

[3] ANGHEL C I. Stress concentration and fatigue life prediction for disks centrifugal separators[J]. Periodica Polytechnica: Chemical Engineering, 1999, 43(2): 117-136.

[4] 李建明, 薛小平, 唐宗紅. 離心機錐形轉鼓與法蘭連接處應力的有限元分析[J]. 四川大學學報: 工程科學版, 2015, 47(6): 191-197.

[5] 藍永庭, 陳淵, 張煥, 等. 帶加強箍糖用離心機轉鼓強度分析及優化設計[J]. 食品與機械, 2014, 30(3): 76-78.

[6] 李巖舟, 陳淵, 王偉, 等. 上懸式制糖離心機轉鼓壁厚優化[J]. 機械設計與制造, 2013(9): 178-180.

[7] 蒙文. 加強箍參數對錐籃離心機轉鼓應力的影響[J]. 食品與機械, 2014, 30(1): 100-103, 113.

[8] PARK J, WASSGREN C R. Modeling the dynamics of fabric in a rotating horizontal drum using the discrete element method[J]. Particulate Science and Technology, 2003, 21(2): 157-175.

[9] TRIVEDIA C, CERVANTESA M J. Fluid-structure interactions in Francis turbines: A perspective review[J].Renewable and Sustainable Energy Reviews, 2017, 68: 87-101.

[10] 周海波, 蔡少俊, 計方, 等. 流體域特性對流固耦合振動計算的影響[J]. 艦船科學技術, 2015, 37(4): 19-23.

[11] XING Jing-tang. Developments of numerical methods for linear and nonlinear fluid-solid interaction dynamics with applications[J]. Advances in Mechanics, 2016, 46: 95-137.

[12] 王勖成. 有限單元法[M]. 北京: 清華大學出版社, 2003.

Analytical dynamic modeling of a top-suspended centrifuge drum with consideration of Fluid-Structure Interaction

YANG Xu-juan1,2,3XUGuang-heng1,2LIYu-long1,2,3LIZhao-jun1,2,3

(1.GuangxiKeyLaboratoryofManufacturingSystem&AdvancedManufacturingTechnology,Nanning,Guangxi530004,China; 2.SchoolofMechanicalEngineering,GuangxiUniversity,Nanning,Guangxi530004,China; 3.GuangxiCollegesandUniversitiesKeyLaboratoryBreedingBaseofCoastalMechanicalEquipmentDesign,ManufacturingandControl,QinzhouUniversity,Qinzhou,Guangxi535000,China)

A top-suspended centrifuge drum was studied with consideration of fluid-structure interaction of the drum and massecuite. The analytical dynamic model was built by finite element method, and a triangle plate element was used to build the basket wall. Moreover, the triangular prism element of six nodes was also utilized to build the massecuite. Therefore, the natural frequencies with and without consideration of fluid-structure interaction and the natural frequencies were obtained respectively. The results showed that the natural frequencies with consideration of fluid-structure interaction were smaller than that without this consideration.

top-suspended centrifuge; vibration characteristics; fluid-structure interaction; drum; analytical dynamic model; finite element method

廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室主任基金項目(編號：13-051-09S08)；廣西高?？蒲谢痦椖抠Y助(編號：YB2014011)；廣西高校臨海機械裝備設計制造及控制重點實驗室培育基地開放課題基金資助(編號：GXLH2014KF-02)

楊旭娟(1983—)，女，廣西大學副教授，博士。 E-mail: yxj413@163.com

2016—06—04

10.13652/j.issn.1003-5788.2017.01.016