聚焦外角和整體來思考

張立道

根據n邊形的內角和等于（n-2）·180°，我們可以推理得到n邊形的外角和等于360°，也就是說隨著多邊形邊數n的變化，多邊形的內角和也在變化，而多邊形的外角和是一個不變的量，都等于360°.解決與多邊形內角或外角度數有關的問題時，往往從多邊形的外角和入手，整體思考更顯解法自然.現舉例加以說明.

一、直接應用多邊形外角和定理

例1 若一個多邊形的每一個外角都等于40°，則這個多邊形的邊數是（ ）.

A.7 B.8 C.9 D.10

【分析】本題給出條件“多邊形的每一個外角都等于40°”，根據多邊形的外角和都是360°，所以，直接用360除以外角的度數就可以求出多邊形的外角個數，即多邊形的邊數，為360÷40=9.選C.

【點評】本題直接應用多邊形外角和與每一個外角、外角個數即多邊形的邊數之間的數量關系求得多邊形的邊數.

例2 （2016·臺灣）如圖1中的七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線相交于O點.若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的角度和為220°，則∠BOD的度數為（ ）.

A.40° B.45° C.50° D.60°

【分析】待求的∠BOD既不在三角形中，也不是多邊形的內角，那我們就應考慮把∠BOD放入三角形中或構造成與多邊形外角有關系的角，延長BC交OD于點M，這樣，就可以直接根據多邊形的外角和為360°得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根據三角形的內角和為180°，∠OMC與∠BMD的和為180°，即可得出結論.

解：延長BC交OD于點M.

∵多邊形的外角和為360°，

∴∠OBC+∠MCD+∠CDM

=360°-220°=140°.

∵三角形的內角和為180°，

∴在△OMB和△MCD中，∠BOD+∠OBC+∠OMB+∠DMC+∠MCD+∠CDM=360°，

即∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，

∴∠BOD=40°.即本題應該選A.

【點評】本題考查了能否靈活地構造多邊形的外角，直接應用多邊形內角和與三角形內角和定理解決問題.

例3 如圖2，六邊形ABCDEF中，AB∥DC，∠1、∠2、∠3、∠4分別是∠BAF、∠AFE、∠FED、∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3+∠4= .

【分析】由圖形可知：∠1、∠2、∠3、∠4是六邊形ABCDEF的四個外角，如果能求出這個六邊形的另外兩個外角，即可求解.故作出這兩個外角∠MBC、∠BCN，并應用平行線的性質求得它們的和，進而求得∠1+∠2+∠3+∠4的值.

解：作出六邊形ABCDEF的兩個外角∠MBC、∠BCN.

∵AB∥DC，∴∠MBC+∠BCN=180°.

∵六邊形ABCDEF的外角和為360°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.

即：本題應該填180°.

【點評】本題考查了能否構造多邊形中具有特殊數量關系的兩個外角，從而直接應用多邊形的外角和定理求得四個角的度數和.

二、轉化內角為外角，整體應用多邊形外角和定理

例4 （2016·揚州）若多邊形的每一個內角均為135°，則這個多邊形的邊數為 .

【分析】由于一個多邊形的每一個內角都等于135°，所以這個多邊形的每一個外角都等于45°，再根據多邊形的外角和都是360°，即可求得多邊形的外角個數為360÷45=8.

【點評】本題考查能否根據多邊形的每個內角與外角互為鄰補角，求得多邊形的每個外角的度數，進而整體應用多邊形外角和與每一個外角、外角個數的關系，求得多邊形的邊數.當然，本題也可以設邊數為n，根據內角和可以用代數式表示為135n，也可以用代數式表示為（n-2）×180，則可建立方程為135n=（n-2）×180，解得n=8.

三、實際問題數學化，整體應用多邊形外角和定理

例5 （2016·十堰）如圖3所示，小華從點A出發，沿直線前進10米后左轉24°，再沿直線前進10米，又向左轉24°，……，照這樣走下去，他第一次回到出發地A點時，一共走的路程是（ ）.

A.140米 B.150米 C.160米 D.240米

【分析】由于小華從點A出發，沿直線前進10米后左轉24°，依次行走，他第一次回到出發地A點，說明小華轉過的角度就是360°，即為運動路線構成的多邊形的外角和是360°.每次左轉24°，即為這個多邊形的每個外角的度數，所以這個多邊形的邊數為360÷24=15，即左轉15次可以回到出發點.又因為每次走10米左轉一次，所以共走了150米.選B.

【點評】本題考查正多邊形的外角計算與實際問題的結合.求小華所走的路程，使外角和的應用煥然一新，解答時需要同學們靈活地把實際問題抽象成數學問題.

（作者單位：江蘇省揚州市邗江實驗學校）