一道中考試題的解題策略與應用

王競進

試題呈現 （2016·鹽城）如圖1，已知a、b、c、d四條直線，a∥b，c∥d，∠1=110°，則∠2等于（ ）

A.50° B.70° C.90° D.110°

【思考】本題給出了條件，四條直線a、b、c、d具有的位置關系為a∥b、c∥d，由直線具有的位置關系，我們就可以根據平行線的性質尋找隱藏在圖形中具有數量關系的角.因此，圖2中的∠3=∠1、∠2=∠4.也就是將已知條件“∠1=110°”轉化成∠3的度數為110°，將待求的問題“∠2的度數”轉化為求∠4的度數.由圖形可以知道∠3與∠4是一對鄰補角，即可知道∠4的度數為70°.因此，本題中的∠2等于70°.所以，本題應該選B.

還可以根據四條直線a、b、c、d具有的特殊位置關系，應用平行線的性質可以知道（如圖3）∠3=∠2、∠4=∠3，因此，將待求的∠2的度數直接轉化為∠4的度數，由圖形可知∠1與∠4是一對鄰補角，即可知∠4的度數為70°.

【策略】本題是2016年江蘇省鹽城市中考數學試卷中的一道試題，著重考查了平行線的性質和對頂角、鄰補角的關系，解題的關鍵是利用圖形中直線特殊的位置關系找到與∠1、∠2有數量關系的角，然后再利用鄰補角的數量關系，進而求出∠2的度數.本題較好地揭示了圖形的位置關系與數量關系，靈活應用轉化的數學思想，將待求的問題逐步轉化.解決此類問題的策略在于，能夠靈活應用平行線的性質、判定方法以及三角形的內角和定理，根據題意和圖形尋找聯系已知角與未知角的紐帶，使問題逐步加以轉化，問題的解答過程也非常簡捷.

應用 （2016·菏澤）如圖4，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數是 .

問題的已知數學信息有：平行的兩直線、度數分別為30°、45°、60°和90°的內角，待求的問題是∠1.觀察圖形可以看出，盡管圖形中的兩直線是平行的，怎么建立、尋找與∠1有數量關系的角是解決本題的關鍵.

方法一 如圖5，延長含45°角的三角板的斜邊AP，與紙條的一邊CD相交于點Q，由平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”，可得∠1=∠2.因此，此時的關鍵就是求∠2的度數.由平角定義，可得∠3=180°-45°-90°=45°，∠4=180°-60°=120°.在∠2、∠3、∠4所在的三角形中，再由三角形內角和定理，可得∠2的度數為180°-∠4-∠3=180°-120°-45°=15°，因此，∠1=15°，所以本題答案為15°.

方法二 如圖6，過兩三角板的公共頂點P作紙條邊AB的平行線，這樣，根據平行線的性質可得∠2=∠1，也就將問題轉化為∠2的度數問題，而觀察圖形可知∠2與∠3的度數和為45°，因此，只需要求得∠3的度數即可.根據平行線的性質，還可知PQ與CD也是互相平行的，因此∠3=∠4=30°，顯然∠2=45°-∠3=45°-30°=15°，所以∠1=15°，因此答案為15°.

方法三 如圖7，觀察圖形，可以知道∠AEP=∠DPC=90°，因此，圖形中還隱含著兩直角邊AE、DP是互相平行的.如果延長AE交邊CD于點Q，那么就可以應用平行線的性質，∠PDC=∠AQC=60°.又根據紙條邊AB、CD是一組平行線，這樣根據平行線的性質可得∠BAQ=∠AQC=60°，而觀察圖形可知，∠BAQ是由∠EAP與∠1組成的，因此，只需知道∠EAP的度數即可.所以，∠1=∠BAQ-∠EAP=60°-45°=15°.

同學們，轉化是我們學習數學過程中常見的一種解題策略，需要我們熟練地抓住問題的實質，要學會使復雜的問題簡單化、陌生的問題熟悉化、抽象的問題具體化的本領.

（作者單位：江蘇省建湖縣教育局教研室）