單元嵌套網格產匯流理論

芮孝芳

(河海大學水文水資源學院，江蘇 南京 210098)

單元嵌套網格產匯流理論

芮孝芳

(河海大學水文水資源學院，江蘇 南京 210098)

憑借“大數據”可以精細刻畫降雨空間分布和下墊面空間變異性的優勢，提出了“大數據”背景下考慮降雨空間分布和下墊面空間變異性對流域產匯流影響的計算方法，即單元嵌套網格剖分流域的方法。通過引入“網格水滴”的概念揭示了流域瞬時單位線的物理本質，對由Rodriguez-Iturbe和Valdes所提出R-V地貌瞬時單位線理論進行補充，分析了等流時線法和單位線法的局限性，提出的單元嵌套網格產匯理論既克服了等流時線法和單位線法的缺點，也吸取了它們的優點，為在“大數據”支撐下統一等流時線和單位線法提供了可行性。

流域基本單元；網格水滴；流域產匯流；大數據；流域地貌瞬時單位線；等流時線

早在20世紀七八十年代，一些水文學家就曾試圖借助普適性物理定律(如質量守恒定律、能量守恒定律、Newton力學定律等)，以及一些水文學本構關系(如Darcy公式、Manning公式、水位-流量關系曲線等)，建立描述流域產匯流的微分方程，再考慮初始條件和邊界條件構成定解問題，最后解出具有一定時空分布的降雨所形成的流域出口斷面流量過程。1970年《動力水文學》一書的出版[1]和1986年SHE模型[2]的出現就是這方面的代表性事件。動力水文學試圖將流域產匯流問題納入牛頓力學可以解決的問題之列，而SHE模型則是該思路的一次大膽嘗試。

SHE模型將流域產匯流看作連續介質運動，無論是植物截留、蒸散發、下滲，還是坡面水流、地下水流、河網水流，甚至冰雪增消等都可用相應的連續性方程和能量或動力方程加以描述。由于這些微分方程原本都是非線性的，加之相互之間存在著復雜的耦合關系，以致SHE模型的構建者們費了九牛二虎之力才對位于英國威爾士中部僅10.55 km2的Wye河流域得出了流域產匯流的數值解。令人遺憾的是解的精度很不理想，甚至低于概念性模型的計算精度。高難度的求解并未換來理想的精度，使得迄今尚未發現SHE模型的實際應用。究其原因，可能是因為在建立描述現象的微分方程時使用了不合理的假設或者作了不合理的概化，也可能是因為數學方法求解精度不夠高或穩定性不夠好，但更主要的也許是無法客觀精細地考慮降雨和下墊面空間變異性對流域產匯流的影響。

受“大數據”[3]的啟迪,筆者認為，對于十分復雜的流域產匯流問題，似乎不應該將解決問題的希望唯一地寄托于建立和求解微分方程，而憑借可靠、密集的大數據也不失為一種可供選擇的描述和揭示流域產匯流規律的途徑。本文嘗試對后一種途徑展開討論，定名為“單元嵌套網格產匯流理論”。

1 流域的剖分

為了客觀精細地考慮降雨和下墊面空間分布對流域產匯流的影響，必須對流域進行剖分。早在20世紀60年代，就出現了按雨量站分布或按流域內部分水線剖分流域的方法[4]。1968年，Schultz在將雷達測雨應用于產匯流分析時，首次提出了用網格剖分流域的方法[5]。除此以外，也有提出按等雨量線或等流時線或特征河長剖分流域。在對流域產匯流現象的不斷認識和探索過程中，為著不同目的提出不同的流域剖分方法是很正常的，但當人們將思路逐步理清后，就會在分析前人所提出方法的優、缺點基礎上，通過取長補短，提出更為合理的流域剖分方法。單元嵌套網格剖分法就是在這樣的背景下提出來的。

流域由坡面和水系組成。水系由河流交匯而成。河流與河流之間必有分水線相隔。因此，對一個流域按其內部分水線可劃分成一些不嵌套的較小流域，對這些較小的流域，又可按其各自的內部分水線劃分成不嵌套的更小流域。這樣不斷地剖分下去，最終無法再按分水線剖分下去的“最小流域”稱為“流域基本單元”[6]。

從地形圖或數字高程模型(DEM)提取流域基本單元顯然受到地形圖比例或DEM分辨率的影響，一般來說，流域基本單元仍有幾平方千米到十幾平方千米不等，這對客觀、精細地考慮降雨空間分布和下墊面空間變異性對流域產匯流的影響仍有困難。為此，對流域基本單元還要再進行網格剖分。一個流域經過這樣兩次剖分處理后，就可表達為由水系連接的若干個嵌套網格的流域基本單元的串并聯結構，如圖1所示。

圖1 單元嵌套網格剖分

單元嵌套網格剖分法吸取了分水線剖分法和網格剖分的優點，因此是一種既便于從理論上分析水滴運動，又與“大數據”科學思維方式處理流域產匯流問題相匹配的流域剖分方法。

水滴在流域坡面上的匯流，一般不適合視作連續介質運動。流域剖分除是為了考慮降雨和下墊面空間分布對流域產匯流的影響，還為了分析這種非連續介質運動，是一種物理上的考慮，而非微分方程數值求解的要求。

2 流域產流計算

由于網格尺度可以根據需要任意調整，結果可以使每個網格的下墊面條件基本均勻，網格中的降雨空間分布也基本均勻，因此，蓄滿產流模式和超滲產流模式的網格產流量可分別按下列公式計算[7]:

R=P-E-D

(1)

和rs=i-e-fp

(2)

式中：R為網格的蓄滿產流量；rs為網格的超滲地面產流率；P、i分別為網格的降雨量和降雨強度；E、e分別為網格的雨期蒸散量和蒸散發率；D為網格包氣帶缺水量；fp為網格的地面下滲能力。

令P′=P-E,i′=i-e,式(1)(2)又可分別寫為

R=P′-D

(3)

和rs=i′-fp

(4)

由式(1)和式(2)可知，如果網格產流屬于蓄滿產流模式，則計算網格產流量需已知網格的降雨量、雨期蒸散發量和包氣帶缺水量；而如果網格產流屬于超滲產流模式，則計算網格產流量需已知網格的降雨強度、雨期蒸散發率和地面下滲容量。由于網格的數量龐大，故網格產流量的計算必須由“大數據”來支撐。

網格產流計算的結果就可得到如圖2(圖中網格圓圈內的數字為網格產流量，無數字網格表示該網格無產流量產生)所示的降雨時段或降雨時刻產流網格的空間分布，這就是降雨和下墊面空間變異性共同導致的產流量的空間分布。據此可以求得流域產流量，且可以用實測流域產流量評價其計算精度。

圖2 流域網格產流量的空間分布

3 “網格水滴”的匯流時間

若將流域上那些降雨后有產流量的網格視作水滴，稱之為“網格水滴”(圖3)，則“網格水滴”要在重力驅動和阻力影響下沿地面坡度方向運動，最終的歸宿是流域出口斷面。每個“網格水滴”將在何時到達流域出口斷面取決于其路徑的長度和其在路徑軌跡上的運動速度。圖3中，已知第i個“網格水滴”匯集到流域出口的路徑，其長度為ri，假設水滴運動速度隨路徑而變，記為vi(x)，則易知該“網格水滴”匯集至流域出口斷面的匯流時間為

(5)

圖3 第i個“網格水滴”路徑

“網格水滴”的路徑及其長度由DEM提取，若“網格水滴”在河道中，則按Manning公式確定其運動速度；若在坡面上，建議用下式確定運動速度[7]:

vs=as1/2

(6)

式中：vs為“網格水滴”在坡面上的運動速度；s為坡面坡度，由DEM提取；a為經驗系數，主要與坡面粗糙程度有關。

欲由DEM提取“網格水滴”的路徑及其長度，必須先確定水滴從一個網格向相鄰網格運動的方向，這已是一項成熟的技術[8]，但用式(6)確定水滴在網格中的運動速度尚未得到實驗結果的佐證，一般只能通過率定求得。

4 流域基本單元出流量的形成

圖4由圖2與可以求得每個“網格水滴”匯流時間的圖3疊加而成，是同時表示“網格水滴”匯流時間和網格產流量的空間分布。每個網格中有2個數字：圓圈外的數字表示“網格水滴”匯流時間，由式(5)確定；圓圈內的數字表示網格產流量，由式(3)或式(4)確定。產流量大于零的網格集合起來就是產流區，產流量為零的網格集合起來就是不產流區。唯有產流區才有凈雨滴向流域出口斷面匯集，參與出口斷面流量的形成。每場降雨的時空分布不同，不同時間的包氣帶缺水量或地面下滲能力的空間變異性也不相同。因此，產流區是隨時變動的，匯流的結果也必然隨時變動。

圖4 網格水滴及匯流時間矩陣

如果第0時刻的降雨形成了如圖4所示的網格產流量的空間分布(見圖4中圓圈內數字)，則根據圖4圓圈外數字即網格的匯流時間可得第1時刻到達出口斷面的凈雨量為9個單位；同理，可求得第2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17時刻到達出口斷面的凈雨量分別為12、42、45、17、16、19、9、11、14、32、37、35、32、20、13、9個單位。據此結果就可求出第0時刻降雨形成的流域出口斷面流量過程。如果降雨是一個時間過程，則對每時刻降雨用上述同樣的方法可求得各時刻降雨形成的流域出口斷面流量過程。將不同時刻降雨形成的流域出口斷面流量過程同時刻相加，就得到一定時空分布降雨落至流域基本單元形成的出口斷面流量過程。

上述對流域基本單元出口斷面流量形成和計算方法的認識是否合理，主要取決于兩個“相加”是否合理。關于不同時刻降雨形成的流域出口斷面流量同時刻相加的合理性已在文獻[7]中論述。關于不同“網格水滴”在形成流域出口斷面流量過程時也采用同時刻相加是否合理的問題，筆者試圖借用Lepold和Langbein關于自然界天然水系形成機理來加以解釋。

“隨機游移”是概率論中模擬“最可能狀態”的一種常用方法。20世紀60年代初，Lepold[9]和Langbein[10]曾利用該方法探討自然界天然水系的形成機理。由于地面坡度對水系的形成起著重要作用，因此，一般分兩種情況來探討這個問題。當地面坡度較陡時，雨滴落至地面易形成細溝沿坡度方向運動(圖5(a))，這些細溝初始流向由地面坡度決定。由于水滴運動方向的隨機變化，一旦它偏離原來的運動方向，就可能導致合并。兩條細溝相遇就合并成一條較大一點的細溝，如此隨機地發展下去就形成了幾乎為平行狀的扇形二分叉水系。為了討論地面坡度較緩時水系形成的機理，將地面網格化(圖5(b))，由于每個網格的下墊面情況基本一致，因此，每個“網格水滴”向上、下、左、右4個方向運動的概率可認為是相等的，各為0.25。這時，根據隨機試驗方法即Monte-Carlo方法生成的水系將為樹枝狀二分叉水系。Lepold和Langbein利用“隨機游移”方法生成的水系之所以具有合理性，是因為它們符合Horton地貌定律。筆者認為，Lepold和Langbein對自然界天然水系形成機理的合理解釋，是基于同時刻到達流域出口斷面的“網格水滴”可以相加，而不必考慮它們之間的相互干擾。

圖5 水系形成示意圖

5 流域匯流計算

圖6 單元嵌套網格結構的流域匯流

由于應用單元嵌套網格剖分法可將一個流域概化為若干網格化流域基本單元，并經由水系連接而成串并聯結構，因此，在求得其中每個流域基本單元出口流量過程后，再通過河網匯流就可得到流域出口斷面流量過程。這就是說，流域匯流是流域基本單元匯流與河網匯流的結果(圖6)。這種處理流域匯流的思想，由于較Sherman單位線法物理概念清晰，早在20世紀60年代就被水文學者發現并使用,這種思想被中國水文學家稱為“成因匯流理論”[11]。英國水文學家Price在1978年發表的文章中稱這種思想為“河流-流域模型”[12]。這樣處理流域匯流的實質是認為流域基本單元匯流和河網匯流的理論基礎有別，后者可用連續介質力學處理，前者應使用非連續介質方法處理。

本文使用的單元流域為“流域基本單元”，分析單元流域匯流的基礎是“網格水滴”。因此，本文方法較前人提出的方法具有更清晰的物理概念，可以在“大數據”的支持下，對流域匯流現象作精細刻畫，充分考慮降雨空間分布和下墊面空間變異性對流域產匯流的影響。

6 與R-V地貌瞬時單位線比較

Rodriguez-Iturbe和Valdes[13]基于統計物理思想和流域水量平衡原理，于1979年證明了流域瞬時單位線u(t)的本質是均勻分布在流域上的無窮多個凈雨水滴隨機運動到流域出口所用時間即流域匯流時間的概率密度fB(t):

u(t)=fB(t)

(7)

式(7)的發現，揭開了尋求流域瞬時單位線的新途徑。水文學歷史上第一個按式(7)所揭示的途徑確定流域瞬時單位線的方法也是由Rodriguez-Iturbe和Valdes提出來的。他們基于流域匯流的物理過程，提出狀態、狀態路徑、狀態轉移、狀態轉移概率、狀態等待時間概率等概念，利用概率論理論導出了下列流域瞬時單位線表達式：

(8)

其中p(s)=πx1px1x2px2x3…pxk-1xk(k=2，3，…)

式中：xk為狀態，有河流狀態和坡面狀態之分；πx1為凈雨滴落地時所處狀態之概率，稱為初始概率；pxk-1xk為凈雨滴從狀態xk-1轉移到狀態xk的概率，稱為狀態轉移概率；s為凈雨滴向流域出口斷面運動所取的路徑，由其所經由的狀態串聯而成；S為路徑之集合，S={s1，s2,…};p(s)為凈雨滴取路徑S向流域出口斷面運動的概率；fxk(t)為凈雨滴在狀態xk等待通過所需時間的概率密度，稱為狀態等待時間概率密度；“*”為表示卷積分的運算符號。

由于根據式(8)和式(9)確定流域瞬時單位線是由Rodriguez-Iturbe和Valdes提出來的，故稱之為R-V地貌瞬時單位線。

本文提出的方法是建立在“網格水滴”概念基礎上的。由于雨滴之降落是一個隨機事件，因此，“網格水滴”匯流時間是隨機變量。這樣，圖4中每個網格圓圈外的數字所表達的矩陣就是從其總體中隨機抽取的一個“網格水滴”匯流時間樣本，對此進行數理統計分析就可求出“網格水滴”匯流時間的概率密度，即流域瞬時單位線，筆者稱此為“網格水滴”地貌瞬時單位線。

將“網格水滴”地貌瞬時單位線與R-V地貌瞬時單位線進行比較，可得如下幾點認識:

a. R-V地貌瞬時單位線將某時刻空間分布均勻降雨視作無窮個雨滴均勻分布在流域上，而“網格水滴”地貌瞬時單位線則將某時刻空間分布均勻降雨視作有限個“網格水滴”均勻分布在流域上。因此，R-V地貌瞬時單位線中的水滴是抽象的、無形的，而“網格水滴”地貌瞬時單位線中的水滴是具體的、有形的，其大小及數量由網格尺度決定。

b. R-V地貌瞬時單位線的狀態路徑作為水滴的匯流路徑，其數目取決于流域的Strahler級[14],而“網格水滴”地貌瞬時單位線采用“網格水滴”運動的幾何軌跡作為其匯流路線，一個“網格水滴”對應著一條匯流路徑。因此，R-V地貌瞬時單位線中的水滴匯流路徑是抽象的，只見狀態串聯，不見幾何長度，水滴數無窮，但匯流路徑卻有限，而“網格水滴”地貌瞬時單位線中的“網格水滴”匯流路徑是具體的，每個“網格水滴”的匯流路徑既有自己的軌跡，也有一定的幾何長度。

c. R-V地貌瞬時單位線中的水滴向出口斷面運動只是狀態的轉移，沒有時間的概念，必須引入狀態等待時間概率密度才能體現出匯流時間，而“網格水滴”地貌瞬時單位線中的“網格水滴”向出口斷面運動不僅有運動軌跡，而且有幾何長度和運動速度，可以直接確定每個“網格水滴”的匯流時間。因此，R-V地貌瞬時單位線中匯流時間的體現比較抽象，而且狀態等待時間概率密度至今無法從理論推導得出，而在“網格水滴”地貌瞬時單位線中，每個“網格水滴” 的匯流時間具體而明確，物理概念清晰。

d. 若采用負指數函數作為狀態等待時間概率密度，則可以證明R-V地貌瞬時單位線的公式結構與線性水庫串并聯導出的瞬時單位線表達式基本一致，而“網格水滴”地貌瞬時單位線則可做到一個流域一個樣[15]，因此，以負指數函數作為狀態等待時間概率密度的R-V地貌瞬時單位線所能達到的精度大體上與線性水庫串并聯導出的瞬時單位線相當，優勢不甚明顯，而“網格水滴”地貌瞬時單位線則可以根據每個流域的特點“量體裁衣”，理論上也許可以期望獲得較高的計算精度。

Rodrignez-Iturbe和Valdes所創立的理論，雖然未能觸及單位線的局限性問題，沒有解決凈雨空間分布不均時使用單位線不合理的問題，但所揭示的規律，以及所導出的R-V地貌瞬時單位線表達式對匯流理論具有非常重要的貢獻，他們在水文學中開啟的新科學思維方式，是在設法改進傳統的流域匯流計算方法如等流時線法、單位線法等幾乎陷入困境、流域匯流研究處于低潮的情況下出現的“一盞指路明燈”，它所掀起的地貌單位線研究熱潮延續至今[16-17]。筆者提出的“網格水滴”地貌瞬時單位僅是對R-V地貌瞬時單位線的一點補充。

7 等流時線和單位線的重新解讀

按照等流時線概念，位于其上的水滴將經歷相同的匯流時間到達流域出口斷面，而且不同匯流時間的等流時線不可能相交。但由圖4可以發現，這樣的等流時線一般是不存在的。事實上，只有當每個水滴的運動速度相同時才存在，而這種情況一般只能出現在下墊面完全均一的條件下，例如飛機場跑道、高等級公路等。在一般情況下，等流時線實際上只是一條“等距離線”，只能反映水滴到流域出口斷面的運動距離，而不能反映水滴真實的匯流時間。因此，建立在等流時線概念上的等流時線法是一個物理概念并不嚴謹，無法反映水滴匯流速度分布不均的流域匯流計算方法。

現有的水文學文獻一再證明，流域瞬時單位線的本質是水滴匯流時間的概率密度。這顯然也是流域單位線的本質所在，這與要求凈雨水滴空間分布均勻是一致的。因此，無論是根據實測降雨、徑流資料識別流域單位線，還是利用流域單位線進行流域匯流計算都必須以凈雨空間分布均勻為前提。遺憾的是，這一重要物理概念長期以來常常被忽視，以致在單位線的研究和應用中出現了一些混亂。

等流時線法和單位線法，作為傳統的流域匯流計算方法都創立于20世紀30年代，對水文學的發展均作過重要貢獻。但由于對它們的物理基礎深入揭示不夠，在實踐中出現的一些令人糾結的問題，難以得到圓滿解決。例如針對等流時線法計算結果洪峰偏大、峰形偏尖瘦、退水段偏快的問題，Clark[18]提出將等流時線法與線性水庫串聯，以對等流時線法進行改進；針對不同次洪水分析出的單位線往往有較大差別的問題，中國水文工程師提出按暴雨中心位置分別率定單位線[4]，以對單位線法進行改進。這些改進由于均未觸及物理概念上存在的缺陷，因此，僅為實際應用中的權宜之計。

分析本文提出的網格水滴匯流理論不難發現，它既不需要去虛構一組等流時線，也不需要去挑選凈雨空間分布均勻的降雨徑流資料去率定單位線，就能從凈雨注入點距出口斷面遠近和凈雨滴運動速度的空間分布兩方面考慮所引起的流域調蓄作用，就能將降雨和下墊面變異性對流域匯流的影響考慮得一清二楚，它既保持了等流域法和單位線法的優點，又克服了兩者的缺點。因此，用“網格水滴”流域匯流計算方法去統一等流時線法和單位線法已具有可能性。

8 結 語

單元嵌套網格剖分法是在對現有各種流域剖分方法進行比較，取長補短的基礎上提出來的，能較好地適應使用“大數據”揭示流域產匯流機理、建立流域產匯流計算方法的需要。

單元嵌套網格產匯流理論與連續介質產匯流理論不同，不是試圖通過建立并求解微分方程，而是試圖借助“大數據”精細刻畫降雨和下墊面的空間變異性，進而考慮降雨和下墊面空間變異性對流域產匯流的影響，構建流域產匯流計算方法。

定義并引入“網格水滴”是建立單位嵌套網格產匯流理念的關鍵。據此，不僅更直觀地明確了流域瞬時單位線的物理本質，以及對R-V地貌瞬時單位線理論進行了有益補充，而且提供了進一步解讀等流時線和單位線的條件。等流時線，在一般情況下是虛擬的，實質上它是“等距離線”，不能考慮水滴運動速度不同對出口斷面流量形成的影響。單位線的前提是凈雨空間分布均勻，無論是根據實測降雨徑流資料識別單位線，還是利用單位線進行流域匯流計算都必須滿足凈雨空間分布均勻的條件。

采用單元嵌套網格產匯流理論處理流域匯流的思路，不僅能吸取等流時線法和單位線法的優點，克服兩者之缺點，而且又采用了將坡面匯流和河網匯流先分開、后卷積的考察流域匯流的方法，因此是一種物理概念清晰的流域匯流計算方法，提供了從物理上統一等流時法和單位線法的可能性。

在單元嵌套網格產匯流理論中，匯流速度空間分布不均導致的流域調蓄作用是依靠網格尺度來體現，網格太大，由于匯流速度均化過大，可能低估了流域調蓄作用；網格太小則可能給計算帶來不便。如何合理地選擇網格尺度尚需開展進一步的深入研究。

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Theory of runoff yield and confluence by grid inlaid in watershed basic unit

RUI Xiaofang

(CollegeofHydrologyandWaterResources,HohaiUniversity,Nanjing210098,China)

A method for dividing watershed by grid inlaid in watershed basic unit is discussed. As big data can precisely describe space distribution of rainfall and spatial variability of underlying surface, a calculation method based on big data, considering effects of space distribution of rainfall and spatial variability of underlying surface on runoff yield and confluence, is proposed. Through an introduction of “grid drop”, the physical nature of watershed instantaneous unit hydrograph is revealed, and the theory of geomorphologic instantaneous unit hydrograph by Rodriguez-Iturbe and Valdes is supplemented. In addition, the limitations of the isochronism line method and the unit hydrograph method are investigated. It can be concluded that the proposed theory of runoff yield and confluence by grid inlaid overcomes the disadvantage and assimilates the advantages of the two methods mentioned above, and provides a possibility of unifying the two methods.

watershed basic unit; grid drop; runoff yield and confluence; big data; geomorphologic instantaneous unit hydrograph of watershed; isochronism line

國家自然科學重點基金(41130369，41430855)

芮孝芳(1939—)，男，教授，主要從事水文水資源研究。E-mail:jiangguo@hotmail.com

10.3880/j.issn.1006-7647.2017.02.001

P333.2

：A

：1006-7647(2017)02-0001-06