例談無外力作用下的水平彈簧雙振子模型

王路寶

(江蘇省宜興市陽羨高級中學(xué),江蘇 宜興 214200)

例談無外力作用下的水平彈簧雙振子模型

王路寶

(江蘇省宜興市陽羨高級中學(xué),江蘇 宜興 214200)

彈簧雙振子是高中簡諧運(yùn)動理想模型之一,其中動量、機(jī)械能的轉(zhuǎn)化以及周期性的運(yùn)動過程較為復(fù)雜,對該模型可以從最基本的無外力或合外力為零的情況進(jìn)行分析,有助于高中生逐漸理解.

彈簧雙振子;動量守恒;機(jī)械能守恒

彈簧雙振子是在輕質(zhì)彈簧兩端連有物體,涉及內(nèi)容比較多,有一定難度,本文選取水平放置的彈簧雙振子模型進(jìn)行剖析,探討其運(yùn)動規(guī)律.

1 模型的建構(gòu)

1.1 彈簧特性

(1) 一般情況下彈簧自身質(zhì)量遠(yuǎn)小于振子的質(zhì)量,因此可將彈簧看成輕質(zhì)彈簧,即彈簧質(zhì)量不再考慮;

(2) 彈簧產(chǎn)生的回復(fù)力是變力,遵循胡克定律F=-kx,因此振子的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動;

(3) 根據(jù)胡克定律可知回復(fù)力是變量,高中生對變力作用下運(yùn)用牛頓定律感到棘手,因此利用系統(tǒng)動量守恒和能量守恒的方法比較適宜.

1.2 振子特性

(1) 水平面上振子的重力與地面(桌面)的支持力相互平衡,在不計(jì)摩擦?xí)r只受到回復(fù)力的作用,且振子的形狀和大小可不考慮;

(2) 雙振子各自受到來自彈簧的作用力,其大小相等、方向相反.

1.3 能量的變與不變

在不受外力的彈簧雙振子理想模型中,振子動能與彈簧的彈性勢能之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化,但是其總和不變,也就是機(jī)械能守恒,具體可用圖1進(jìn)行表示.

圖1

2 系統(tǒng)不受外力時的運(yùn)動

2.1 壓縮或拉伸狀態(tài)

如圖2所示,光滑的水平地面有質(zhì)量為m1和m2的兩個小球,兩球之間用一不發(fā)生形變的細(xì)線連接,使得勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧處于壓縮狀態(tài),且壓縮形變量為x,若突然將細(xì)線燒斷,試問兩球的最大速度分別是多少？

圖2

2.2 系統(tǒng)具有初速度的狀態(tài)

如圖3所示,質(zhì)量相等的A和B用輕質(zhì)彈簧連接,開始靜止于水平面上,現(xiàn)在給A一個向右的初速度vA,此后( ).

圖3

A. 彈簧有最大壓縮量時,A的速度一定比B的速度大

B. 彈簧有最大伸長量時,兩物體速度都等于零

C. 彈簧從伸長狀態(tài)到其形變消失時，B的速度一定比A小

D. 彈簧形變消失時,B的速度可能向左

解析:本題中系統(tǒng)依舊無外力作用,以水平向右為正方向,分析可知前四分之一周期A向右減速運(yùn)動壓縮彈簧推動B向右加速運(yùn)動,直至A、B速度相同后彈簧壓縮形變最大;接著彈簧對A、B分別有向左和向右的作用力,使得A繼續(xù)向左減速、B繼續(xù)向右加速直至彈簧恢復(fù)原長,此時A速度減至最小,B速度最大,完成第二個四分之一周期的運(yùn)動;接著B向右減速拉伸彈簧使A加速向右,直接兩物體速度再次相同,彈簧拉伸至最長,此時為四分之三周期;最后四分之一周期彈簧使A加速至最大、B減速至最小,至此一個周期的運(yùn)動完成,此后循環(huán)往復(fù).

3 系統(tǒng)所受合外力為零的狀態(tài)

如圖4所示,質(zhì)量分別為mA、mB的兩個物體A、B用勁度系數(shù)為k、原長為L的輕質(zhì)彈簧相連.靜止在光滑水平面上,現(xiàn)同時對A、B兩物體施加等大反向的水平恒力F1、F2,使之同時由靜止開始運(yùn)動,試求A、B的振動周期與彈簧的最大長度以及兩球的最大速度.

圖4

彈簧雙振子模型中問題情境較多也較為復(fù)雜,本文僅針對水平運(yùn)動,選取了運(yùn)動過程和動量、機(jī)械能轉(zhuǎn)化相對簡單的事例予以分析,希望以此能幫助高中生對該模型有所理解,為以后研究更加復(fù)雜的運(yùn)動情況做鋪墊.

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