關于二階多元偏微分方程特征問題研究型教學的一個實例剖析

管毅

摘要：研究型教學是各個高等院校都在積極嘗試的教學模式，作者在講授偏微分方程特征問題時，就二階多元偏微分方程中的特征問題的一個教學實例，談點自己就研究型教學的個人認識，供相關研究者參考。

關鍵詞：特征方程；偏微分方程；研究型教學

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：：1674-9324（2017）11-0223-02

偏微分方程的特征問題是偏微分方程中最基本、最重要的概念之一，然而在關于特征問題的教學過程中，授課教師常常采取如下處理方式：一是特征方程或特征曲線（特征曲面）直接以定義形式給出，學生不能理解其中的思想，從而很難體會特征方程、特征曲線（特征曲面）的意義；二是二階多元偏微分方程的特征問題相對于一階偏微分方程以及二階二元偏微分方程的特征問題來講要復雜的多，學生理解起來也要困難很多，作者在多年的實際教學發現，老師通過適當的引導，學生以分組討論的形式，通過類比的方法進行偏微分方程特征問題的教學，效果不錯，下面介紹關于這一部分教學內容所展開的研究型教學的一個實例。

一、二階多元的特征

為方便起見，對含有三個以上自變量的二階線性方程進行討論，其一般形式為：

■a■■+■b■■+cu=f. （1.1）

其中系數a■，b■，c以及f為x■，x■，…，x■的已知函數，且在R■的某區域Ω內連續可微，且a■=a■.參見文獻[1]—[4]。

（一）超平面的情形

考慮方程（1.1）在超平面的情形，若在該超平面上的函數值和該平面的外法線方向已知，不防設超平面方程為：S：x■=x■■

即為如下的cauchy問題：

■a■■+■b■■+cu=f. （1.1）u■=φ■（x■，x■，…，x■） （1.2）？搖■■？搖=φ■（x■，x■，…，x■） （1.3）

類比前面講過的一階、二階二元特征問題，能否唯一確定所有的二階偏導數在超曲面S上的值？

經過學生的分組討論，每個組基本都能給出正確答案，大致過程如下：

解：對方程（1.3）兩邊分別對變量x■，x■，…，x■求導，則有：

■■=■，i=1，2，…，n-1.

下面求■■=？

由方程（1.1）知：

a■■+2■a■■+■a■■+■b■■+cu=f.

根據條件（1.2）和（1.3）知：

在曲面S上，有：

a■■+2■a■■+■a■■+■b■■+cu=f.

顯然當系數a■不為零時，■被唯一確定，否則，不能唯一確定。

（二）一般曲面的情形

考慮方程（1.1）在一般曲面的情況，設曲面方程為：S：G（x■，x■，…，x■）=0.若已知函數在曲面上的值和方向導數在曲面上的值，即如下的cauchy問題：

■a■■+■b■■+cu=f. （1.1）u■=φ■（x■，x■，…，x■） （1.2′）？搖■■？搖=φ■（x■，x■，…，x■） （1.3′）

1.問題。能否如超平面情形類似，求出二階偏導數的在曲面上的值？方程的特征方程和特征曲面是什么？

類比超平面的情形，一般曲面直接求偏導數在曲面上的值較為困難，老師通過引導，提示學生可以考慮拉直變換，將曲面轉化為超平面，從而將一般曲面的cauchy問題轉化為超平面的cauchy問題，學生通過分組討論，除個別小組還有些問題外，其余小組基本可以得到正確答案。

2.問題的答案。經過下組討論，總結，問題基本解決，大致如下：

解：設p（x■■，…，x■■）是曲面上任意一點，且在P點有■（■）■≠0.，不防設■（x■■，x■■，…，x■■）≠0.，做拉直變換：ξ■=x■，ξ■=x■，……ξ■=x■，ξ■=G（x■，x■，…，x■）.

易知則該變換是可逆變換，原Cauchy問題轉化為：A■■+2■A■■+■A■■+…=0.（1.1′）u■=φ■， （1.2″）？搖■ξ■=0=φ■. （1.3″）

與（1.1）的情形類似，在曲面ξ■=0上可求出除■外其余二階偏導的值，為了求出■，只需要■的系數A■=■a■■■≠0.

故當A■=■a■■■≠0.，所有二階偏導在曲面S上的值被唯一確定，此時稱S為方程的非特征曲面。

若A■=■a■■■=0.，則不能唯一確定■的值.

對方程A■=■a■■■=0.兩邊同除（±■）■，則有：

■a■α■α■=0.（1.4）

稱方程（1.4）為方程（1.1）的特征方程，其在點P（x■■，x■■，…，x■■）處的解為在P（x■■，x■■，…，x■■）處的特征方向。若曲面S上每一點的法向均為特征方向，則稱S為方程（1.1）的特征曲面。

二、教學效果

本次研究型教學實施之后，關于特征問題學生在探究的過程中理解起來更加深入，激發了他們的學習熱情和探究精神，教師通過設置合理而又關鍵的問題，讓學生通過討論、類比、歸納得出問題的答案，學生全程參與教學過程，在此過程中分析問題能力、歸納問題能力、合作學習的能力都得到了鍛煉，這一教學方式讓學生成為學習的主人，讓學生體會到成功的喜悅，是一種比較有效的教學嘗試。

參考文獻：

[1]朱長江.偏微分課程研究型教學的一個實例剖析[J].數學教育學報，2014，23（1）.

[2]朱長江，鄧引斌.偏微分方程教程[M].北京：科學出版社，2005.

[3]谷超豪，李大潛，陳恕行.數學物理方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]姜尚禮，陳亞浙，劉西桓，等.數學物理方程講義（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

An example of the Research-Based Teaching on Eigen Problem of Two Order Partial Differential Equations with more than Two Variables

GUAN Yi

（College of Mathematics and Information Science，Guiyang University，Guiyang 550005，China）

Abstract：Many courses were attempted to teach by the research-based teaching model in a large number of universities，I also made a little attempt on how to teach by research-based teaching model when i teach partial differential equations. In this paper，I will demonstrate the research-based teaching model by concrete examples about eigen problem of two order partial differential equations with more than two variables，In addition，I will present some opinions about research-based teaching mode for inference.

Key words：characteristic equations；partial differential equation；research-based teaching