杏子河流域地貌多重分形特征與傳統地貌量化參數關系研究

王 民，李占斌，崔靈周，李 鵬

(1. 河南省水利勘測設計研究有限公司，鄭州 450016；2.中國科學院水利部水土保持研究所黃土高原土壤侵蝕與旱地農業國家重點實驗室，陜西 楊凌 7121002；3.溫州大學生命與環境科學學院，浙江 溫州 325027；4.西安理工大學西北水資源與環境生態教育部重點實驗室，西安 710048)

流域地貌形態特征量化研究一直是地貌學研究的熱點問題之一。數學物理方法首先被引入到流域地貌的形成、演化研究中，并在傳統地貌特征量化和流域水系定量關系的研究上得到了廣泛的應用。流域地貌的定量研究始于R.E.Horton[1]，運用地貌形態數量分析方法，對美國幾十個流域進行研究，發現流域水系的定量關系。S.A.Schumm[2]、A.N.Stranhler[3]和A.E.Scheidegger[4]等將數學物理方法在流域地貌以及整個地貌學研究中進行了推廣應用。陳浩、秦富倉等[5,6]分別對黃土塬區及黃土丘陵區典型溝道小流域地貌形態要素之間的關系進行了研究，發現各地貌形態要素之間存在著內在聯系，且這種聯系的密切程度在各要素之間有明顯的差異。張麗萍等[7]建立了溝壑密度隨切割深度變化的理論極值模型和相應地貌階段的函數關系。傳統數學物理方法雖應用廣泛，但是對流域地貌形態的整體性和綜合性特征量化存在一定的局限性。分形理論的引入則突破了流域地貌特征傳統量化方法的局限，開辟了新的研究思路。楊玉榮[8]對線維數、盒維數一、盒維數二等3種維數的性質和在地貌中的特點進行了分析。鄒寧等[9]將分形布朗運動模型FBM引入地貌分形研究。肖高逾等[10]運用分形布朗運動模型對地貌形態模擬進行了研究。崔靈周等[11,12]基于計盒法和GIS技術，對岔巴溝流域地貌形態分形特征進行了量化研究。綜上所述，現有流域地貌量化參數各具特色，但流域地貌形態多重分形特征及其與傳統地貌要素之間的關系研究還很少涉及。

為此，本文以黃土高原丘陵溝壑區的典型流域杏子河為研究對象，采用流域地貌多重分形模型及其實現方法，利用杏子河流域的地貌數字高程DEM，對該流域中的12個子流域地貌多重分形典型參數地貌奇異指數分布范圍Δα進行了計算并分析了其空間分異規律；分析了Δα與溝谷密度、平均坡度、相對高差、流域主溝比降、地表粗糙度和平均地形起伏度等傳統地貌量化參數的關系。本研究對于有效地解決地貌學中的復雜性問題，全面掌握各種地貌現象的特征及規律具有非常重要的意義。

1 杏子河流域概況

杏子河發源于白于山南坡，為延河的一級支流，流域位置在北緯36°46′-37°12′，東經108°41′-109°21′，全長106 km，流域面積1 486.1 km2，流域高差776.0 m，溝壑密度4～6 km/km2，流域內以梁峁狀丘陵為主，地面切割破碎，丘陵起伏，為典型的黃土梁峁丘陵溝壑區。依據流域內地貌的形態特征、水流狀態及物質組成等特征，杏子河流域劃分為河源區、梁峁丘陵區、寬谷梁峁丘陵區等3個侵蝕地貌區。河源區位于杏子河上游，地勢高差大，地貌以寬梁大峁為主，梁頂平緩，峁坡陡峻、坡面長，溝谷深窄。梁峁丘陵區位于杏子河中游，該區地貌層狀結構明顯，河谷內第2級階地寬闊平坦，梁峁坡的坡形以直形為主，在溝頭地段有復形坡分布，溝頭多掌地，坡面上淺溝發育。寬谷梁峁丘陵區位于杏子河流域下游，梁窄峁小，溝谷較中下游開闊，溝頭有掌狀凹形坡地分布，但規模較小。

2 研究方法

2.1 研究子流域選取

根據杏子河流域的地貌類型及空間分布特點，分別在杏子河流域的上游、中游和下游共選取了12個子流域作為研究對象，分別代表了河源區、梁峁丘陵區和寬谷梁峁丘陵區，子流域的選取具有一定的代表性。在上游河源區選擇了韓家畈和王克浪溝2個子流域，面積分別為143和129 km2；在中游梁峁丘陵區選擇牛寨子溝、陽砭溝、李咀子溝、玉皇溝、岔路川溝和莊科溝等6個子流域，其中岔路川溝子流域面積最大為139 km2，李咀子溝子流域面積最小為12 km2；下游區寬谷梁峁丘陵區選擇了楊咀溝、謝屯溝、周屯溝和紙坊溝等4個子流域，謝屯溝子流域面積最大為74 km2，紙坊溝子流域面積最小，僅8 km2。杏子河12個子流域DEM和空間分布見圖1。

圖1 杏子河流域12個子流域DEM及空間分布Fig.1 Spatial distribution and DEM of 12 first-rank sub-watersheds in Xingzi River Watershed

2.2 流域地貌多重分形原理及參數意義

在分形理論中，對于許多具有非均勻和奇異性的分形體，一個維數無法描述其全部特征，因而需要用多重分形測度來表示。在研究分形體上的概率測度μ的分布時，可以把分形體劃分成尺度為r的若干個子單元，用μi表示第i個單元中的測度μ的平均值。每個單元的平均測度μi與尺度r之間存在如下的標度關系：

μi∝rαi

(1)

式中：αi為奇異指數。

若干單元具有相同的奇異指數α，則它們的測度可用μ(α)表示。用Fα表示這些具有相同奇異指數α的單元所構成的子集合，則Fα的s維Hausdorff測度定義為：

(3)

而且，s維Hausdorff測度Hs[Fα,μ(α)]滿足如下的關系：

(4)

式中：f(α)是子集合Fα的Hausdorff維數。若在區間[α,α+dα]內，測度為μ(α)的單元的數目為N(α)時，則有：

Hs[Fα,μ(α)]=N(α)sr

(5)

從而：

(6)

根據式(4)和(6)，只有當：

N(α)∝r-f(α)

(7)

時，才可使Hs[Fα,μ(α)]取有限值，由此可得：

(8)

α是不同子區域的奇異指數，其值大小由相應子區域生成單元的測度分布決定。f(α)是具有相同奇異指數α的子區域所構成子集的分維，由式(7)可以看出其大小與奇異指數為α的子區域數量有關。地貌奇異指數α表征了流域內部各子區域地貌不規則、不均勻和復雜程度，即地貌形態差異性分布。多重分形指數分布范圍Δα[13]定量表征了分形體內最大概率子集與最小概率子集的對比關系，即分形體內部的差異性程度及變化范圍，Δα是這種差異性變化幅度的定量刻畫，其值愈大表明地貌內部的差異性愈大，反之則愈小。

3 結果分析

根據文獻[14,15]中所述的多重分形計算模型和實現方法，計算出杏子河流域上游、中游和下游共12個子流域地貌奇異指數分布范圍Δα和上中下游Δα平均值(見表1)。以杏子河12個子流域的DEM作為數據源，通過ArcGIS軟件的空間分析、三維分析和屬性分析等功能，計算出12個子流域的溝谷密度、平均坡度、相對高差、流域主溝比降、地表粗糙度和平均地形起伏度等傳統地貌量化參數(見表1)。

表1 杏子河流域地貌多重分形特征參數和傳統地貌量化參數計算結果Tab.1 The parameters of multi-fractal feature of geomorphology and traditional geomorphology quantizationparameter of 12 typical sub-watershed in Xingzi River watershed

3.1 流域不同空間部位地貌奇異指數分布范圍Δα分析

從圖2中可以看出，流域地貌奇異指數分布范圍從上游到下游呈下降趨勢，即由上游的韓家畈0.168 8下降至紙坊溝的0.139 2，下降幅度為17.5%。地貌奇異指數分布范圍平均值以上游最大，為0.171 2，韓家畈到王克浪溝有小幅增加，增加幅度為2.9%；杏子河中游Δα平均值次之，為0.161 7，從牛寨子溝的0.163 9到莊科溝0.162 0呈下降趨勢，降幅為6.7%；下游Δα均值最小，為0.146 1，從楊咀溝的0.149 6到紙坊溝的0.139 2呈下降趨勢，降幅為7.0%。杏子河流域的Δα變化趨勢表明該流域地貌形態變化自上游向下游復雜性逐步減弱。

圖2 杏子河流域地貌奇異指數分布范圍Δα動態變化Fig.2 The dynamic variation of the distribution range of singularity exponent of geomorphology of Xingzi River watershed

3.2 地貌奇異指數分布范圍Δα與傳統地貌量化參數關系

從圖3中可以看出，地貌奇異指數分布范圍Δα與地表粗糙度、平均坡度、平均地形起伏度呈正相關，其關系可用線形函數描述，決定系數最大的是地表粗糙度，為0.880 7。地貌奇異指數分布范圍Δα與流域主溝比降表現出負相關，相關系數為0.553 3；與相對高差和溝谷密度之間沒表現出明顯的相關關系。

圖3 杏子河流域地貌奇異指數分布范圍與傳統地貌量化參數關系圖Fig.3 The relationship between the distribution range of singularity exponent of geomorphology multi-fractal spectrum and different traditional geomorphology quantization parameters of XingziRiver watershed

3.3 地貌奇異指數分布范圍Δα與傳統地貌量化參數組合關系

為了進一步探討地貌奇異指數分布范圍Δα與各傳統地貌量化參數組合的關系，以地貌奇異指數分布范圍Δα為因變量y，以溝谷密度x1、平均坡度x2、相對高差x3、流域主溝比降x4、地表粗糙度x5和平均地形起伏度x6等6個傳統地貌量化參數為自變量，利用SPSS軟件進行多元線性向后逐步回歸分析，建立了奇異指數分布范圍Δα和傳統地貌量化參數回歸方程，見表2。

表2 杏子河流域地貌奇異指數分布范圍與傳統地貌量化參數多元逐步回歸方程結果Tab.2 The results on the multiple stepwise regression equations between the distribution range of singularity exponent of geomorphology multi-fractal spectrum and different traditional geomorphology quantization parameters of XingziRiver watershed

從表2可以看出，奇異指數分布范圍Δα與平均地形起伏度和地表粗糙度的多元回歸方程，其決定系數為0.890，方差校驗的F值為36.41，臨界方差的F值F0.05=4.26，計算F值遠遠大于臨界方差F值，表明該回歸方程具有比較好的顯著性。隨著逐步將平均坡度、相對高差、流域主溝比降和溝谷密度等傳統地貌量化參數引入多元回歸方程，其決定系數呈現遞增的趨勢，即從相對高差引入時的0.910遞增至其他地貌量化參數全部引入時的0.944；方差校驗的F值分別為27.07、21.01、15.53和14.14，均大于臨界方差F值，回歸方程均表現出較好的顯著性。這充分表明，與傳統地貌量化參數揭示地貌形態某方面的特征相比，地貌奇異指數變化范圍Δα對流域地貌整體特征的量化更具有全面性、概括性和綜合性。

4 結 語

(1)杏子河流域地貌奇異指數分布范圍從上游到下游呈下降趨勢，表明該流域地貌形態變化自上游向下游復雜性逐步減弱。

(2)地貌奇異指數分布范圍Δα與地表粗糙度、平均坡度、平均地形起伏度呈正相關，其關系可用線型函數描述，決定系數最大的是地表粗糙度；與流域主溝比降表現出負相關；與相對高差和溝谷密度之間沒表現出明顯的相關關系。

(3)將平均地形起伏度、地表粗糙度、平均坡度、相對高差、流域主溝比降和溝谷密度等傳統地貌參數逐步引入多元回歸方程，其決定系數呈現遞增的趨勢，表明與傳統地貌量化參數揭示地貌形態某方面的特征相比，地貌奇異指數變化范圍Δα對揭示流域地貌整體特征的量化更具有全面性、概括性和綜合性。

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