功能梯度材料微梁的熱彈性阻尼研究1)

許 新 李世榮

(揚州大學建筑科學與工程學院，江蘇揚州225127)

功能梯度材料微梁的熱彈性阻尼研究1)

許 新 李世榮2)

(揚州大學建筑科學與工程學院，江蘇揚州225127)

基于Euler-Bernoulli梁理論和單向耦合的熱傳導理論，研究了功能梯度材料(functionally graded material, FGM)微梁的熱彈性阻尼(thermoelastic damping,TED).假設矩形截面微梁的材料性質沿厚度方向按冪函數連續變化，忽略了溫度梯度在軸向的變化，建立了單向耦合的變系數一維熱傳導方程.熱力耦合的橫向自由振動微分方程由經典梁理論獲得.采用分層均勻化方法將變系數的熱傳導方程簡化為一系列在各分層內定義的常系數微分方程，利用上下表面的絕熱邊界條件和界面處的連續性條件獲得了微梁溫度場的分層解析解.將溫度場代入微梁的運動方程，獲得了包含熱彈性阻尼的復頻率，進而求得了代表熱彈性阻尼的逆品質因子.在給定金屬--陶瓷功能梯度材料后，通過數值計算結果定量分析了材料梯度指數、頻率階數、幾何尺寸以及邊界條件對TED的影響.結果表明：(1)若梁長固定不變，梁厚度小于某個數值時，改變陶瓷材料體積分數可以使得TED取得最小值；(2)固有頻率階數對TED的最大值沒有影響，但是頻率階數越高對應的臨界厚度越??；(3)不同的邊界條件對應的TED的最大值相同，但是隨著支座約束剛度增大對應的臨界厚度減小；(4)TED的最大值和對應的臨界厚度隨著金屬組分的增大而增大.

功能梯度材料，微梁，熱彈性阻尼，能量耗散，自由振動

引言

微機電系統是在微電子技術(半導體制造技術)基礎上發展起來的高科技電子機械器件.它具有許多傳統結構無法比擬的優點，因此在航空、航天、汽車、生物醫學、環境監控和軍事等領域都有著十分廣闊的應用前景[1-8].很多微機電系統諧振器可以簡化為微尺度的梁[1-14].為了設計和制造高品質的諧振器就需要最大限度地降低它的能量耗散.諧振器在振動過程中主要存在兩種能量耗散形式[4]：(1)外部能量耗散,空氣阻尼，支撐阻尼等.(2)內部能量耗散,熱彈性阻尼，聲子透射、散射和晶格缺陷等.通常，當系統在完美外部壞境和支撐條件下運行時，外部能量耗散可以降到最小，此時熱彈性阻尼就成為最主要的能量耗散方式.當微梁振動時，若上部受拉則下部受壓，受拉區和受壓區隨時間交替進行，受拉區的溫度會降低，受壓區的溫度會升高，這種溫度差異會導致彈性體中的熱梯度效應，且這種熱梯度會通過熱對流實現自調節熱平衡[1,6].應變場與溫度場之間存在的相互耦合給熱彈性系統提供了一種能量耗散機制，使得系統回到了平衡狀態.但是，在自調節熱平衡過程中，熱彈性體的松弛是通過不可逆的熱流來實現的，從而導致了熵的耗散.這種能量耗散的過程，就稱作熱彈性阻尼[6].只要材料的熱膨脹系數不為零，熱彈性阻尼就會存在.

早在20世紀30年代，Zener首次提出熱彈性阻尼理論并給出了熱彈性阻尼的計算式[15-16].熱彈性阻尼主要有兩種表示形式，一種用熱能量方法表示[1-4,9-11]，另一種用復頻率方法表示[5-8,12-14].用復頻率方法表示時，為了得到熱彈性阻尼的大小需要求解耦合的運動方程和熱傳導方程，而直接求解三維的熱傳導方程很困難，所以很多學者將熱傳導方程簡化為只考慮厚度方向溫度梯度的一維熱傳導方程[5-8,12-14].對于橫向振動而言，厚度方向的溫度梯度比長度和寬度方向的溫度梯度要大的多.也有少數學者考慮了長度或寬度方向的溫度梯度,采用二維[11]或三維[7]熱傳導方程進行計算.他們采用了不同的解析和數值方法對均勻材料[2-8,10-14]和層合復合材料[1,9]的熱彈性阻尼進行了研究.例如，非線性正則模態方法和伽遼金法[3]、拉普拉斯變換法[6]、格林函數法[1,11]等.隨著微機電系統技術的快速發展對高品質低能耗的諧振器的需求，人們已開展了關于功能梯度材料微梁器件的靜動態力學行為的研究[17-25].然而，關于功能梯度材料微梁諧振器熱彈性阻尼的研究仍然鮮見.本文基于Euler-Bernoulli梁的理論和非均勻材料的熱力耦合熱傳導理論研究FGM微梁諧振器的熱彈性阻尼特性，探索通過材料性質在梁高度方向的梯度變化來提高和改善諧振器品質因子的可行性.文章的第1節推導了FGM微梁的運動方程和熱傳導方程；第2節采用分層均勻化方法建立了變系數熱傳導方程的遞推求解數值計算過程，并利用復頻率法給出了熱彈性阻尼的計算公式；第3節給出了由陶瓷(Si3N4)和金屬(Ni)復合而成的FGM微梁的熱彈性阻尼數值解，分析了組分材料的體積分數、振動頻率階數、幾何尺寸以及邊界條件對其熱彈性阻尼的影響規律；第4節為結論.

1 問題的數學模型

1.1 FGM微梁的材料性質

考慮矩形截面的功能梯度材料微梁，如圖1所示.梁長為l，寬度為b，厚度為h.選取直角坐標系(x,y,z)，其中x與梁的軸線重合；z為橫向坐標，原點在幾何中面；y軸沿著梁的寬度方向.為不失一般性，假設FGM微梁由陶瓷和金屬復合而成.材料成分由下表面的純陶瓷連續變化到上表面的純金屬.并假設材料性質沿厚度按下列函數變化

式中，P(z)為材料性質參數，如彈性模量E(z)、泊松比ν(z)、質量密度ρ(z)、熱傳導系數κ(z)、比熱容C(z)和熱膨脹系數α(z)等；ψP(z)為給定的連續函數，且有ψP(h/2)=1，ψP(-h/2)=Pc/Pm；Pc和Pm分別為陶瓷和金屬的材料性質.

圖1 FGM微梁的幾何尺寸和坐標系Fig.1 Geometry and coordinates of an FGM micro-beam

1.2 運動方程

基于Euler-Bernoulli梁理論，梁的位移場為

其中，u0(x,t)和w0(x,t)分別為幾何中面上任意一點的軸向和橫向位移，t為時間變量.由此可得軸向應變

由胡克定律得到軸向應力

其中，θ(x,z,t)=T(x,z,t)-T0為微尺度梁在振動過程中因熱彈性耦合而產生的溫度場的增加.T為瞬態溫度場，T0為參考溫度(或平衡溫度場).將式(3)代入式(4)可得橫截面內的等效內力和彎矩

其中，Si(i=0,1,2)分別為拉伸、拉彎耦合和彎曲剛度系數，NT和MT分別為熱軸力和熱彎矩.這些量的具體定義為

忽略軸向慣性力，可得FGM微梁的自由振動運動方程

其中z0=S1/S0為梁的物理中面的坐標.對于均勻材料或材料性質分布關于梁幾何中面對稱的情況，不存在拉彎耦合變形，則有z0=0，表明物理中面與幾何中面重合.將式(9)代入式(3)可得

進一步可得橫向正應變

將式(5b)代入運動方程(8)，利用式(9)可得位移形式的運動方程

1.3 熱傳導方程

考慮熱--彈單向耦合情況下FGM微梁單向耦合熱傳導方程為

其中，e=εx+εy+εz為體積應變.對于細長梁，沿著梁厚度方向的溫度梯度要遠大于長度方向的溫度梯度，因此，可忽略溫度梯度的軸向變化，將式(10)～式(11)代入式(13)得到FGM微梁單向耦合的一維熱傳導方程

2 熱彈性阻尼的求解

位移和溫度的調和響應形式為

將式(15)代入到式(12)和式(14)得

由于材料性質參數κ,ρ,C,α,E,ν都是坐標z的函數，直接求熱傳導方程(17)的解析解十分困難.這里采用分層均勻化方法尋求其近似解.為此，將FGM微梁沿厚度平均劃分為N層子區域，將每層的材料性質看作是均勻的，并用每層的中面上的值代替.于是可得一系列常系數的微分方程

整梁的上下表面沒有熱流通過的，其絕熱條件和界面處的連續性條件可表示為

這里，j=1,2,···,N-1.

引入下列無量綱參數

帶有下標“m”的物理參數代表上表面為純金屬的物理性質參數.將式(21)代入式(16)和式(19)可得無量綱形式的微分方程

系數Aj和Bj為任意常數，由邊界條件和連續性條件確定.利用式(21)可將邊界條件和連續性條件式(20)轉化為下列無量綱形式

這里，j=1,2,···,N.將通解式(25)代入式(26)，即可確定系數Aj和Bj.由通解中的齊次方程特解的形式可知，系數Aj和Bj都含有項，進而可將Aj和Bj表示為

將式(25)重寫

將式(28)代入邊界條件和連續性條件(26)可得2N個關于系數的代數方程組.利用這組代數方程組的系數矩陣的帶狀特點可以容易建立遞推求解的計算過程.求得溫度場(28)后可得無量綱熱彎矩

將式(28)代入式(29)得

將式(30)代入式(22)得到無量綱振動方程

其中

如果忽略熱彈性阻尼，即f(?)=0，則方程(32)退化為

?0為不考慮熱彈性阻尼時FGM梁的無量綱固有頻率.在相同的端部支承條件下，由方程(32)和方程(34)的相似性可得到兩者頻率之間的關系

為了簡化計算，用f(?0)近似代替根號里的f(?)[5].式(35)變為顯式

進一步，無阻尼時功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的頻率可表示為其中為參考均勻梁(純金屬梁)的無量綱固有頻率[26].從上式中可得到頻率?的實部和虛部，進而可由下式得到代表熱彈性阻尼的逆品質因子[5]

3 數值結果與討論

考慮FGM微梁具體是由陶瓷氮化硅(Si3N4)和金屬鎳(Ni)復合而成，材料性質沿厚度方程按下列冪函數連續變化

其中，ζ=z/h，rP=Pc/Pm，n為材料梯度指數，取值范圍為[0,∞).表1給出了鎳(Ni)和氮化硅(Si3N4)的物性參數.

表1 鎳和氮化硅的物性參數(T0=300K)Table 1 The material properties of nickel and silicon nitride(T0=300K)

將式(38)代入式(24)中得到無量綱系數

首先，考慮分層數N對熱彈性阻尼精度和收斂性的影響.給定兩端簡支(S-S)，l=300μm，h=3μm的FGM微梁.參考均勻梁的前三階的無量綱頻率分別為π2，4π2，9π2.表2給出了當材料梯度指數n=1時，FGM微梁以一階模態振動時不同分層數N對應的Q-1值.從表中可以看出，分層數分別為N=200和N=1000時，所得Q-1的相對誤差小于2×10-5，由此可見分層均勻法具有很好的收斂速度.后續計算時取N=600已能達到了很高的精度.這是由于在求解系數的代數方程組時采用了遞推求解過程，建立了類似追趕法的解析運算過程，避免了矩陣運算，使得計算過程簡單而高效.為了進一步證明該計算方法的可靠性，將FGM微梁退化為純陶瓷均勻梁(n=0)時，在N=600時計算得到的逆品質因子值與文獻中的解析解[5](以下簡稱L-R)進行了比較(見圖2).文獻中L-R給出的熱彈性阻尼解析公式為

表2 一階頻率下FGM微梁不同N對應的Q-1值(S-S,h=3μm,l=300μm,n=1)Table 2 Values of the quality factorQ-1with numbers of the divided layer of an FGM beam at the firs order frequency (S-S,h=3μm,l=300μm,n=1)

圖2 本文所得純陶瓷微梁的熱彈性阻尼解答與文獻中的解析解的比較Fig.2 A comparison of the present solution of TED for a pure ceramic micro beam with the analytical solution in the literature

圖3 前三階模態下FGM微梁的熱彈性阻尼隨厚度的變化曲線Fig.3 Curves of the thermoelastic damping of the FGM micro-beam versus the thickness in the firs three vibrating modes

圖4 FGM簡支微梁自由振動時的頻移和衰減隨厚度的變化的關系曲線(一階模態)Fig.4 The frequency shift and the attenuation change with the thickness of an S-S FGM micro-beam(in the firs mode)

對于FGM微梁，材料梯度變化指數n影響著材料的性質，從而會影響熱彈性阻尼Q-1.在圖5中，給出了兩端簡支FGM微梁在不同n值時對應的Q-1與h之間的關系.n=0代表純陶瓷梁，n=105近似看作純金屬梁.從圖中可以看出，整體上，隨著n的不斷增大,熱彈性阻尼的最大值不斷增大，且梁的臨界厚度也不斷增大.說明隨著金屬含量的增大，熱彈性阻尼的最大值和臨界厚度隨之增大.圖6給出了兩端簡支微梁在一階模態下，不同厚度h對應的Q-1～n關系曲線.圖6(a)～圖6(c)的變化規律大致相同，在h=1,2,3μm時，Q-1都存在一個最小值點，此時諧振器的品質因子最高，即存在比單一組分材料梁更低的熱彈性阻尼值.但從圖6(d)中可見,在h=5,6,8,10μm時不存在熱彈性阻尼的極小值.只有在材料性質趨近于陶瓷時熱彈性阻尼才取得最小值.

圖6 給定不同厚度時FGM微梁的熱彈性阻尼Q-1與材料梯度指數n之間的關系曲線(一階模態)Fig.6 Thermoelastic dampingQ-1versus the material gradientnfor some specifie values of the thickness(in the firs mode)

圖6 給定不同厚度時FGM微梁的熱彈性阻尼Q-1與材料梯度指數n之間的關系曲線(一階模態)(續)Fig.6 Thermoelastic dampingQ-1versus the material gradientnfor some specifie values of the thickness(in the firs mode)(continued)

最后討論邊界條件對FGM微梁熱彈性阻尼的影響.考慮兩端夾緊(C-C)、一端夾緊一端簡支(CS)、兩端簡支(S-S)、一端夾緊一端自由(C-F)四種邊界條件.表3分別給出了以一階模態振動時四種邊界條件下的最大熱彈性阻尼值及其所對應的梁厚hcr隨材料梯度變化指數n的變化規律.從表中可以看出，在n值不變時，不同邊界條件所對應的最大熱彈性阻尼值相同，但是臨界厚度卻隨著約束剛度的增大而減小.這說明，在幾何尺寸和材料成分確定后邊界條件不影響熱彈性阻尼的最大值，只影響最大熱彈性阻尼值對應的臨界厚度.圖7給出了一階模態下，具有不同端部約束的FGM微梁對應的熱彈性阻尼隨厚度h連續變化的關系，從圖中也可以證明表3中的結論.

表3 熱彈性阻尼最大值和相應的臨界厚度hcr(μm)值隨材料梯度指數和邊界條件的變化(一階模態，l=300μm)Table 3 Values of the maximum TED,and the related critical thicknesshcr(μm)varying with the boundary conditions and for material gradient indexn(in the firs mode,l=300μm)

表3 熱彈性阻尼最大值和相應的臨界厚度hcr(μm)值隨材料梯度指數和邊界條件的變化(一階模態，l=300μm)Table 3 Values of the maximum TED,and the related critical thicknesshcr(μm)varying with the boundary conditions and for material gradient indexn(in the firs mode,l=300μm)

BCsn0 0.1 0.2 0.5 1 4 10 100 100000 C-C Q-1max 1.1118 1.7682 2.3143 3.6068 5.0599 8.0746 10.0138 12.9454 13.4729hcr 3.47 4.13 4.60 5.60 6.60 8.16 8.53 8.72 8.75 C-S Q-1max 1.1118 1.7682 2.3143 3.6068 5.0599 8.0746 10.0138 12.9454 13.4729hcr 3.92 4.67 5.21 6.35 7.47 9.24 9.66 9.87 9.90 S-S Q-1max 1.1118 1.7682 2.3143 3.6068 5.0599 8.0746 10.0138 12.9454 13.4729hcr 4.55 5.42 6.05 7.36 8.67 10.73 11.20 11.45 11.49 C-F Q-1max 1.1118 1.7682 2.3143 3.6068 5.0599 8.0746 10.0138 12.9454 13.4729hcr 6.42 7.65 8.53 10.39 12.23 15.13 15.80 16.16 16.20

圖7 不同邊界條件下熱彈性阻尼與厚度的關系曲線(一階模態)Fig.7 Relationship curves between TED and the thickness under dif f erent boundary conditions(in the firs mode)

4 結論

基于 Euler-Bernoulli梁理論和各向同性非均勻介質熱力耦合的熱傳導理論，研究了材料性質沿厚度方向連續變化的功能梯度材料微梁的熱彈性阻尼.采用分層均勻化方法將變系數的熱傳導方程離散為定義在有限分層上的常系數熱傳導方程.從而在給定邊界條件和界面處的連續性條件下求得溫度場的分段連續解析解.將與振幅相關的溫度場代入振動微分方程，采用復頻率方法獲得了熱彈性阻尼的解析解.在純陶瓷均勻梁的情況下，本文所得熱彈性阻尼解答與相同條件下文獻中的解答完全吻合.通過大量的數值結果，研究了幾何尺寸、材料梯度指數、振動模態階數以及邊界條件等對FGM微梁的熱彈性阻尼的影響，得到了以下結論：(1)若梁長固定不變，梁厚度小于某個數值時，改變陶瓷材料體積分數可以使得TED取得最小值；(2)固有頻率階數對TED的最大值沒有影響，但是頻率階數越高對應的臨界厚度越?。?3)不同的邊界條件對應的TED的最大值相同，但是隨著支座約束剛度增大對應的臨界厚度減??；(4)TED的最大值和對應的臨界厚度隨著金屬組分的增加而增加；(5)在理論上可以通過材料性質梯度變化優化設計減小微梁的熱彈性阻尼.

1 Prabhakar S,Vengallatore S.Thermoelastic damping in bilayered micromechanical beam resonators.Journal of Micromechanics and Microengineering,2007,17:532-538

2 Tai YP,Li P,Zuo WL.An entropy based analytical model for thermoelastic damping in micromechanical resonators.Applied Mechanics and Materials,2012,159:46-50

3 Hendou RH,Mohammadi AK.Transient analysis of nonlinear Euler-Bernoulli micro-beam with thermoelastic damping,via nonlinear normal modes.Journal of Sound and Vibration,2014,333: 6224-6236

4 Lin SM.Analytical solutions for thermoelastic vibrations of beam resonators with viscous damping in non-Fourier model.International Journal of Mechanical Sciences,2014,87:26-35

5 Lifshitz R,Roukes ML.Thermoelastic damping in micro-and nanomechanical systems.Physical Review B,2000,61(8):5600-5609

6 Sun YX,Fang DN,Soh AK.Thermoelastic damping in micro-beam resonators.International Journal of Solids and Structures,2006,43: 3213-3229

7 Moosapour M,Hajabasi MA,Ehteshami H.Thermoelastic damping e ff ect analysis in micro fl xural resonator of atomic force microscopy.Applied Mathematical Modelling,2014,38:2716-2733

8 Guo X,Yi YB.Suppression of thermoelastic damping in MEMS beam resonators by piezoresistivity.Journal of Sound and Vibration,2014,333:1079-1095

9 Vengallatore S.Analysis of thermoelastic damping in laminated composite micromechanical beam resonators.Journal of Micromechanics and Microengineering,2005,15:2398-2404

10 Khisaeva ZF,Ostoja-Starzewski M.Theroelastic damping in nanomechanical resonators with finitwave speeds.Journal of Thermal Stresses,2006,29:201-216

11 Prabhakar S,Vengallatore S.Theory of thermoelastic damping in micromechanical resonators with two-dimensional heat conduction.Journal of Microelectro Mechanical Systems,2008,17(2):495-502

12 Parayil DV,Kulkarni SS,Pawaskar DN.Analytical and numerical solutions for thick beams with thermoelastic damping.International Journal of Mechanical Sciences,2015,94-95:10-19

13 Karami Mohammadi A,Ale Ali N.Vibrational behavior of an electrically actuated micro-beam with thermoelastic damping.Journal of Mechanics,2014,30(3):219-227

14 Kakhki EK,Hosseini SM,Tahani M.An analytical solution for thermoelastic damping in a micro-beam based on generalized theory of thermoelasticity and modifie couple stress theory.Applied Mathematical Modelling,2016,40:3164-3174

15 Zener C.Internal friction in solids I:theory of internal friction in reeds.Physical Review,1937,52:230-235

16 Zener C.Internal friction in solids II:general theory of thermoelastic internal friction.Physical Review,1938,53:90-99

17 Abbasnejad B,Rezazadeh G,Shabani R.Stability analysis of a capacitive FGM micro-beam using modifie couple stress theory.Acta Mechanica Solida Sinica,2013,26(4):427-440

18 Abbasnejad B,Rezazadeh G.Mechanical behavior of a FGM microbeam subjected to a nonlinear electrostatic pressure.International Journal of Mechanics and Materials in Design,2012,8:381-392

19 Rezaee M,Sharafkhani N,Chitsaz A.Electrostatically actuated FGM micro-tweezer under the thermal moment.Microsystem Technologies,2013,19:1829-1837

20 Zamanzadeh M,Rezazadeh G,Jafarsadeghi-poornaki I,et al.Static and dynamic stability modeling of a capacitive FGM micro-beam in presence of temperature changes.Applied Mathematical Modelling, 2013,37:6964-6978

21 Akgoz B,Civalek O.Free vibration analysis of axially functionally graded tapered Bernoulli-Euler microbeams based on the modifie couple stress theory.Composite Structures,2013,98:314-322

22 Li YL,Meguid SA,Fu YM,et al.Nonlinear analysis of thermally and electrically actuated functionally graded material microbeam.Proceedings of the Royal Society A,2013,470:0473

23 Jia XL,Zhang SM,Ke LL,et al.Thermal e ff ect on the pull-in instability of functionally graded micro-beams subjected to electrical actuation.Composite Structures,2014,116:136-146

24 AkgozB,CivalekO.Thermo-mechanicalbucklingbehavioroffunctionally graded microbeams embedded in elastic medium.International Journal of Engineering Science,2014,85:90-104

25 Akgoz B,Civalek O.Shear deformation beam models for functionally graded microbeams with new shear correction factors.Composite Structures,2014,112:214-225

26 李世榮，劉平.功能梯度梁與均勻梁靜動態解間的相似轉換.力學與實踐，2010,32(5):45-49(Li Shirong,Liu Ping.Analogous transformation of static and dynamic solutions between functionally graded material beams and uniform beams.Mechanics in Engineering,2010,32(5):45-49(in Chinese))

ANALYSIS OF THERMOELASTIC DAMPING FOR FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL MICRO-BEAM1)

Xu Xin Li Shirong2)
(School of Civil Science and Engineering，Yangzhou University，Yangzhou225127，Jiangsu，China)

Based on Euler-Bernoulli beam theory and the one-waycoupled heat conduction theory,thermoelastic damping (TED)of functionally graded material(FGM)micro-beams was studied.By assuming the material properties of the rectangular cross-section micro-beams to be varied continuously along the thickness direction as power law functions and ignoring the variation of the temperature gradient in the axial direction,one dimensional and one-way coupled heat conduction equation with variable coefficients was established.By using the layer wise homogenization approach,the heat conduction with variable coefficients was simplifie as a series of di ff erential equations define in each layer.The equation governing fl xural free vibration of the FGM micro beams subjected to time dependent non-uniform heating was developed on the basis of classical beam theory.By using the boundary conditions at the top and the bottom surfaces and the continuity conditions at the interfaces,analytical solution of the temperature fiel in the FGM micro-beams given layer wisely was obtained.Substituting the temperature fiel into equation of motion of the micro-beams,the complexfrequency including TED was achieved,and finall,values of the TED was extracted.Numerical results of the TED were calculated for the given values of physical and geometrical parameters of a metal-ceramic FGM beam.E ff ects of the material gradient,the geometry,frequency orders and the boundary conditions on TED were analyzed in detail.The results showed that:(1)if the beam length is fi ed,one can arrive at the minimum of the TED by changing the volume fraction of the ceramic when the beam thickness is less than a certain value;(2)the orders of the frequency have no influenc on the maximum of TED,however,the larger frequency corresponds to the smaller critical thickness(at which the TED reaches the maximum);(3)for di ff erent boundary conditions the maximums of TED are same,but the critical thickness is smaller for the stronger end constraints;(4)both the maximum of TED and the critical increase of the FGM micro beams increase along with the increment in the values of the volume fraction of the metal.

functionally graded material,micro-beams,thermoelastic damping,energy dissipation,free vibration

O343

A

10.6052/0459-1879-16-369

2016–12–08收稿，2017–01–10錄用,2017–01–11網絡版發表.

1)國家自然科學基金資助項目(11272278,11672260).

2)李世榮，教授，主要研究方向：結構非線性分析及新型材料結構力學行為.E-mail:srli@yzu.edu.cn

許新，李世榮.功能梯度材料微梁的熱彈性阻尼研究.力學學報，2017,49(2):308-316

Xu Xin,Li Shirong.Analysis of thermoelastic damping for functionally graded material micro-beam.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):308-316