譜估計方法的仿真與分析

阿巴拜克熱·買買提++王磊

以頻率作為根據(jù)，能量根據(jù)其分布的情況會有一系列的數(shù)據(jù)變化，這在功率譜估計中能得到很好的體現(xiàn)。所分析的數(shù)據(jù)來源于隨機過程中的，所得到的真實功率譜，也是從隨機序列的數(shù)據(jù)中計算出來的，因此，這研究的問題明顯就是屬于譜估計方面的。在隨機的過程中，衡量真實的程度，是以譜估計質量作為標準的，譜估計質量也會受到某些因素的影響，比如數(shù)學模型的建立，使用譜估計的方式。在本文中，譜估計所用到的幾種方式，都會相應的被提及到，以此作為前提，在繼續(xù)往更深的層次去探究周期圖法、Welch法和AR法，借助Matlab，可進行仿真實驗，將上面提到的方法所能帶來的實踐價值，充分的表現(xiàn)出來。

【關鍵詞】譜估計 譜估計的方式 仿真

平滑周期圖，作為一種非參數(shù)化的方法，自然的，不受其他模型參數(shù)的限制是它最大的特征，在估計功率譜密度的時候，起著重要的作用，其優(yōu)勢在于計算不復雜，是一種很經(jīng)典的方法。在進行功率譜密度估計的時候，超出數(shù)據(jù)觀測的范圍，我們剛開始對信號的自相關函數(shù)進行假設的數(shù)據(jù)，超出了范圍之后都是零，所以，想要通過估計得到的功率譜推算出真實的功率譜幾乎是不可能的，通常來說，實際的功率譜很難從周期圖中得到，盡管它有漸進的功能，但幾乎不能達到我們想要的要求，這些是我們在實驗的過程中面臨的主要問題。參數(shù)化的功率譜估計，是不同于周期圖方法的，在使用的過程中，是有用到參數(shù)的，相比于周期圖方法來說。它的優(yōu)點在于頻率分辨率更高，所以，人們又稱它為高分辨率方法，或者是現(xiàn)代估計方法。

1 經(jīng)典譜估計

經(jīng)典譜估計方法主要是根據(jù)功率譜函數(shù)的定義式給出的功率譜估計方法，它主要分為：周期圖，相關圖，B-T法，Welch法。周期圖譜估計器為：

我們通常所說的經(jīng)典譜估計方法，它是在功率譜函數(shù)的基礎上，所得到的一種功率譜估計方法，周期圖，相關圖，B-T法，Welch法，是包含在經(jīng)典譜估計方法中的。以下是周期圖譜的估計器：

（1）

將自相關函數(shù)（這邊提到的是基于信號的）通過傅里葉的變換，進一步得到功率譜密度函數(shù)，這就是以下給出的相關圖譜估計器的原理：

（2）

通過分析計算，我們會發(fā)現(xiàn)在均值上周期圖和相關圖得到的數(shù)據(jù)是一樣的，公式如下：

（3）

我們規(guī)定要在最大的程度上靠近φ（ω），這是發(fā)生在周期圖是沒有偏估計的時候，通過

這個式子，可以得出WB（ω）要在最大的程度上和Dirac相似。一旦逼近的效果沒有達到要求，將會使周期圖和相關圖估計器受到影響，使其產(chǎn)生較大的偏差，偏差囊括了非零主瓣寬度和非零幅瓣幅度，它們都是來自窗函數(shù)WB（ω），其中關于WB（ω）的主瓣，它在所要估計的譜中，扮演著使其不清楚，或是讓其平滑的角色。能夠使集中在某一個頻段里的功率信號，擴展到其他地方，比如一些功率很小，或是壓根就沒有功率的頻段中去，這就是譜估計中窗函數(shù)幅瓣所起的作用，人們稱它為“泄漏”。在這里，受最大的約束是數(shù)據(jù)的長度。消除的偏差，可以通過使N的值加大來實現(xiàn)。

（4）

由此可見，如果周期圖不存在偏差，便可以很好地用于譜的估算。

但是，添加時間窗也會存在別的問題，如果方差減小的太多，分辨率就會變得很低，為了保證不失真，又能盡可能地減小波動，就要對這兩個因素綜合考慮，從而選擇一個合適的值作為窗的長度。

Welch又在原有的基礎上，做了大量改進措施，運用這種方法，使得如果數(shù)據(jù)的分段中存在疊加，也不會影響到計算；而且，在窗的添加時間上做了改變，將其加在數(shù)據(jù)的每一個分段進行周期圖的計算之前。因此，Welch法的譜估計器可以表達為下面的公式：

（5）

其中：代表每一個小分段估算后得到的結果。

這種方法實際上是對周期圖進行平均處理，與Tukey方法的不同，它是對每一個小分段都添加了時間窗，再進行譜的估算，然后根據(jù)平均運算，使方差有效減小，從而使估計的性能更好。

2 參數(shù)化譜估計

令參數(shù)化的方法能更加準確的得到譜估計值的步驟為：

（1）為了函數(shù)形式已知的產(chǎn)生模型得到更好的需求，應該先參數(shù)化或假設基于模型的譜估計方法的信號。

（2）對假設模型中的數(shù)值進行估計從中獲取你覺得有意思的信號譜的特性。

一些模型的階數(shù)是參數(shù)化譜估計所需要的。其中，AR模型是最常用的。

AR過程x（n）可以表示為單位方差白噪聲驅動的全極點濾波器的輸出，則p階AR過程的功率譜是：

（6）

對模型的參數(shù)估計后，則譜估計器可以如下形式：

（7）

由此得出，決定譜估計的因素有兩個：

（1）模型參數(shù)被估計得準確性；

（2）AR模型數(shù)據(jù)的產(chǎn)生方式是否能保持一樣。

通常情況下，AR建模使用的是Yule-Walker方法。Toeplitz陣是它正則方程中的自相關陣，計算時采用 L-D算法，但是在估計自相關序列時，它只是增加了矩形窗，所以是利用數(shù)據(jù)補零推導它。所以它的分辨率更低。

3 Matlab仿真實驗及結果分析

以下的這些結論是通過計算機的仿真實驗來得出的。使用電腦仿真時運用了三種信號：

（1）兩個頻率為100和200的正弦信號；

（2）加性噪聲均值為0；

（3）方差為1的高斯噪聲。

圖1用周期圖法進行譜估計，因方差過大，波動沒有規(guī)律很明顯，所以為了降低方差采用平均周期圖。圖2所示平均時的方差越是小結果；圖3只是起到了平滑周期的作用。

經(jīng)過對圖1，2，3，4，5進行比較，得到加窗的以及降低譜估計的方差辦法，平滑的降低率與譜估計的分辨率成正比。圖5和圖4的比較結果是：正弦的兩個頻率越靠近，加窗的周期性比無窗的越低。

如圖6所示，方差有所降低且譜得到了平滑，所以，Welch方法譜可以使估計效果更為準確。圖（7）是AR譜估計法，非參數(shù)化方法譜不能與之相比。

4 結論

本文給出的幾種隨機方法，經(jīng)過實驗證明：以上幾種辦法各有各的特點。目前為止的實驗工程中，傳統(tǒng)的譜估計發(fā)展日益成熟起來，新興的譜估計方法，例如：music方法。都得到了提高。

綜上所述，譜方法在現(xiàn)代數(shù)字信號中不可或缺。數(shù)學理論在一直發(fā)展，譜估計技術的前景也不可估量。

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作者簡介

阿巴拜克熱·買買提（1985-），男，新疆阿克蘇人。碩士研究生?，F(xiàn)任新疆農業(yè)大學計算機與信息工程學院電子系教師。研究方向為電子信息科學與技術。

王磊，男，工學碩士研究生?，F(xiàn)任新疆農業(yè)大學計算機與信息工程學院講師，從事教學與科研工作。主要研究方向為智能控制及物聯(lián)網(wǎng)。

作者單位

新疆農業(yè)大學計算機與信息工程學院 新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市 830052