多項式LPV模型的航空發動機變增益切換控制研究

張弛+++王向東

摘 要：現有的航空發動機變增益控制器設計多將非線性系統表述為仿射參數依賴形式的LPV系統，在工作狀態變化對系統參數特性變化影響較大的情況下存在精確度和保守性問題。為此，提出一種將被控對象表述為更精確的參數多項式依賴形式的LPV模型，并基于多項式平方和規劃方法和切換控制相結合，進行魯棒變增益控制器綜合。這種方法考慮航空發動機高壓轉子轉速大范圍變化情況，在不同設計點設計具有公共Lyapunov函數的子系統控制器，再根據gap-metric計算子系統間廣義距離進行切換控制，從而保證發動機在不同高度和馬赫數下都具有良好的控制效果。仿真實驗表明，在航空發動機不同轉速下，都具有良好的性能和控制精度，并能夠實現在包線內不同高度和馬赫數下，有效對目標進行變增益控制。

關鍵詞：航空發動機；LPV系統；多項式平方和規劃；切換控制；魯棒變增益控制

引言

航空發動機具有高度的非線性特性，同時系統的參數和工況變化范圍大，系統特性也隨之不斷變化[1]。對于非線性系統來說，工程上現階段廣泛利用基于線性變參數（Linear-Parameter-Varying，LPV）的變增益控制方法進行控制器綜合，LPV系統是一種能有效表征系統動態參數大范圍變化的參數時變系統，同時可以采用線性魯棒控制原理進行控制器分析與綜合[2-3]。

隨著魯棒控制理論和Lyapunov穩定性理論的發展，愈來愈多的可以表述成多項式模型的非線性被控對象控制問題可以轉化為多項式平方和（sum of squares，SOS）規劃問題[4-5]。SOS方法所形成的數值計算方法可以用于可行性問題和優化問題的求解，在處理多項式形式非線性問題上對LMI方法進行了補充[6]。因此將其用在LPV系統增益調度相關領域研究具有便于求解和提高精度等優勢。SOS方法可以通過Matlab來實現求解，Parrilo等人基于判斷多項式函數是否允許平方和分解等相關問題，以此開發了SOSTOOLS工具箱，可以直接處理多項式非線性系統，同時所獲得的控制器是狀態變量的有理函數，方便在工程中進行實現。傳統的LPV控制器綜合方法將模型描述為仿射參數依賴模型或多胞模型，采用二次Lyapunov函數方法通過求解線性矩陣不等式（Linear matrix inequality，LMI）來保證穩定性。針對航空發動機高壓轉子轉速變化范圍較大且對系統參數影響劇烈的情況如過渡狀態，發動機推力迅速變化以滿足飛行要求，此時發動機不再適合表述成仿射參數依賴形式，而需要表述為多項式參數依賴形式來提高模型精確度。此時仍采用處理仿射參數依賴形式模型的LMI方法必定對控制器綜合帶來較高的保守性[7]。

本文針對上述缺點，采用將有界實引理和多項式平方和規劃相結合的方法，直接對多項式進行處理，無需將發動機LPV模型轉換成仿射參數依賴模型，這大大減小了控制器求解過程的保守性同時提高了模型精確度，得出發動機控制系統魯棒穩定的SOS約束，所獲得的單點控制器具有更好控制精度和魯棒性。考慮到航空發動機運行包線寬廣，不同高度和馬赫數下其系統特性也具有差異，針對這個問題本文采用在多個設計點設計子控制器，利用Matlab中的gap-metric計算實際工作點和設計點的間隙度量，間隙度量能夠表述兩個受控系統之間的差異程度，因此根據工作點與設計點子系統的差異程度進行控制器切換可以有效提高控制精度。設計子系統控制器的同時，利用SOS方法在子系統具有公共Lyapunov函數的情況下進行控制器的數值求解，這樣對保證系統切換的穩定性進行了保證，最終將其應用到某型小涵道比渦扇發動機模型進行仿真驗證。

1 問題描述

考慮如下形式的狀態變量LPV系統

式中，xp∈Rn是對象狀態變量，yp∈Rn為測量輸出，up∈Rk為系統的控制量，？茲∈Rj為隨時間連續變化的實時可測調度參數，系統矩陣Ap（？茲）和Bp（？茲）是關于？茲的多項式矩陣。

給定控制指令為r∈Rm，系統輸出偏差e定義為e=r-yp，為了消除穩態誤差，將其積分xe=e增廣為系統的狀態變量。

給出航空發動機控制系統結構圖如圖1。

上述被控對象的控制器設計問題可以描述為：針對各設計點的閉環子系統多項式形式模型，構建多項式平方和約束，在各子系統具有公共Lyapunov函數的前提下求解出子控制器K12i（？茲）使得在各個轉速下都能夠保證閉環子系統的穩定并滿足H∞性能指標？酌。同時計算工作點和設計點的gap度量進行控制器切換，使得發動機在不同高度馬赫數下都具有良好的性能。

2 多項式平方和規劃控制器綜合

針對本文所描述的多項式形式LPV系統，將多項式平方和方法和二次穩定理論相結合，將控制器求解問題轉化為求解多項式約束問題。

引理1（有界實引理[8]）對于控制子系統的傳遞矩陣Gi（S）=（Ai，Bi，Ci，Di），存在下列相互等價的條件：

（1）矩陣Ai穩定，且系統的傳遞函數矩陣Gi（S）滿足||Gi||∞<？酌。

（2）存在一個對稱的正定矩陣X，能夠使以下矩陣不等式成立

根據引理2，一個有約束的矩陣不等式條件可以轉化成沒有約束的多項式平方和矩陣，同時可以通過等價變換用SOS條件來替代LMI矩陣非負定條件。一般地說，半定規劃的LMI約束是非線性和非光滑的，但卻是凸的。若半定規劃的最優解存在，則在可行集的邊界上一定存在一個最優解，同時可利用SOSTOOLS工具箱優化求解得到最優的H∞性能指標？酌，使得控制器的求解問題得到簡化[10]。

定理1針對式所描述的各設計點LPV子系統，設v=[v1，…，v2n]T是由任意變量組成的向量，如果存在多項式矩陣M（？茲）以及矩陣N，滿足以下條件

（1）一組多項式矩陣 為SOS矩陣，式中，

（2）多項式vTNv為SOS多項式。

3 航空發動機增益調度控制

3.1 增益調度控制器設計

針對某型渦扇發動機為研究對象，對高壓轉子轉速設計控制器，在不同飛行狀態選取工作點，將高壓轉子轉速作為調度參數，利用雅可比線性化得到各設計點的線化模型，再利用多項式擬合的方法建立LPV模型。根據控制系統的設計需求，對模型變量作如下選擇。將高壓轉子轉速nH和低壓轉子轉速nL作為系統狀態變量，輸出量為高壓轉子轉速，控制量Wf為主燃燒室供油量。采用相似歸一化參數，將發動機狀態變量模型表述為

其中a11，a12，a21，a22，b1，b2為調度參數？茲的多項式。求解控制器K12i（？茲）為2階多項式表示形式。

3.2 基于gap-metric的控制器切換

間隙度量是表征系統廣義距離的一種度量，體現了兩個系統之間的差異程度，距離越小則用相同的控制器對兩個系統的控制效果越接近[11]。利用間隙度量求得實際系統和設計點的子系統差異，再決定切換至哪個控制器，有利于降低控制器保守性，提高控制性能。設P1、P2為兩個維數相同的系統開環傳遞函數，（N1，M1）和（N2，M2）分別為P1、P2的規范右互質分解，則定義P1、P2的間隙度量為

4 仿真分析

4.1 設計點控制器仿真

將H=0，Ma=0設計點的子控制器代入到如圖1所示控制結構中，給定高壓轉子工作轉速nH=0.88，2.5s后給定控制指令nH=0.94，閉環系統的狀態響應和控制輸出響應如圖2所示。

4.2 切換控制器仿真

由于發動機起飛狀態與巡航狀態工作系統特性差異具有代表性，這里采用工作點1（H=0，Ma=0）與工作點4（H=5，Ma=0.5）作為設計點設計子系統控制器，航空發動機從工作點2變化到工作點3狀態時，通過計算間隙度量，系統從和工作點1相似度較高變為同工作點4相似度較高，此時切換為設計點4控制器來進行高壓轉子轉速控制，由于兩個子控制器基于公共Lyapunov函數設計，從而能夠保證閉環系統穩定。在高壓轉子轉速為nH=0.88時給定控制目標指令為nH=0.94，在工作點3分別采用工作點1控制器和工作點4控制器的控制效果對比如圖3。

可以看出，對工作點采用gap度量較小的設計點子控制器具有更快的響應速度和更好的控制效果。

5 結束語

本文考慮航空發動機高壓轉子轉速變化對系統帶來的影響，采用多項式形式描述的系統模型提高模型精度，并利用多項式平方和規劃方法和間隙度量相結合，在不同高度和馬赫數的工況下，對航空發動機高壓轉子轉速進行控制。這種方法可以處理多項式描述的LPV系統，無需將LPV系統轉化成仿射參數依賴形式或多胞模型，并利用SOS工具箱在不同設計點設計具有公共Lyapunov函數的子系統控制器，保證了切換穩定性，同時可以在不同工作點都具有良好的控制性能。

參考文獻

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