三角函數、數列與數學文化

■甘肅省天水市第十中學 方根太

三角函數、數列與數學文化

■甘肅省天水市第十中學 方根太

高中新課標把“體現數學文化價值”作為高中數學課程的十項理念之一,強調數學文化是貫穿整個高中數學課程的重要內容。三角函數、數列中常常這樣考查數學文化。

一、取材數學圖形

如圖1是五角星,已知A C=a,則五角星外接圓的直徑為____ (結果用含三角函數的式子表示)。

圖1

解析：如圖2,連接A O,并延長交圓O于點F,連接C F,則∠A C F=9 0°。因為A、B、C、D、E是圓O的五等分點,所以∠C A D=∠D B E=∠A C E =∠A D B=∠B E C。

又因為∠C A D+∠D B E+∠A C E+∠A D B+∠B E C=3 6 0°=1 8 0°,所以∠C A D=×1 8 0°=3 6°,所以∠C A F=∠C A D=1 8°。

圖2

點評:本題主要考查了圓周角定理、正五邊形的性質、直角三角形中三角函數的定義。

二、取材數學時事

2 0 0 2年在北京召開的國際數學家大會,會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的。弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖3)。直角三角形中較小的銳角為θ,直角三角形的面積為4,小正方形的周長為8,則c o s(20 1 7 π+2θ)=____。

解析：設圖中直角三角形較短的直角邊為x。

因為圖中小正方形的周長為8,所以小正方形的邊長為2。

圖3

所以c o s(20 1 7 π+2θ)=c o s(π+2θ)= -c o s 2θ=-(2 c o s2θ-1)=-。

點評:本題以2 0 0 2年在北京召開的國際數學家大會的會標為背景,考查了直角三角形的性質,以及三角函數誘導公式、二倍角公式。

三、取材數學名題

古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數。如三角形數1,3, 6,1 0,…,第n個三角形數為記第n個k邊形數為N(n,k) (k≥3,k∈N),以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式:

正方形數:N(n,4)=n2;

六邊形數:N(n,6)=2n2-n;

……

可以推測N(n,k)的表達式,由此計算N(1 0,2 4)=____。

解析：觀察n2和n前面的系數,可知一個成遞增的等差數列,另一個成遞減的等差數列,推測故N(n,2 4)= 1 1n2-1 0n,所以N(1 0,2 4)=10 0 0。

點評:本題考查等差數列的性質,以及同學們的歸納猜想能力。

四、取材數學猜想

(角谷猜想)已知數列{an}滿足: a1=m(m 為正整數),an+1=若a=1,則m所6有可能的取值為____。

解析：由題意知{an}中任何一項均為正整數,因為a6=1,若a5為奇數,則3a5+1=1,得a5=0,不滿足條件。若a5為偶數,則a5= 2a6=2,滿足條件。所以a5=2。若a4為奇數,則3a4+1=2,得,不滿足條件。若a為

4偶數,則a4=2a5=4,滿足條件。所以a4=4。

(1)若a3為奇數,則3a3+1=4,得a3= 1,滿足條件。若a2為奇數,則3a2+1=1,得a2=0,不滿足條件。若a2為偶數,則a2= 2a3=2,滿足條件。若a1為奇數,則3a1+ 1=2,得a1=,不滿足條件。若a為奇數,

1則a1=2a2=4,滿足條件。

(2)若a3為偶數,則a3=2a4=8,滿足條件。若a2為奇數,則3a2+1=8,得a2=,不滿足條件。若a2為偶數,則a2=2a3=1 6,滿足條件。若a1為奇數,則3a1+1=1 6,得a1=5,滿足條件。若a1為偶數,則a1= 2a2=3 2,滿足條件。

故m的取值可以是4,5,3 2。

點評:本題是著名的“角谷猜想”,考查分類討論思想。注意對數列的首項a1為奇數和偶數兩種情況進行討論。

五、取材數學名著

《九章算術》“竹九節”問題:現有一根9節的竹子,自上而下各節的容積成等差數列,上面4節的容積共3L,下面3節的容積共4L,則第5節的容積為( )。

解 析： 由 題 意 可 列 方 程 組解得所以

點評:本題主要考查等差數列的性質、通項公式與前n項和公式。

六、取材數學運用

生物節律是描述體溫、血壓和其他變化的生理變化的每日生物模型。表1中給出了在2 4h內人的正常體溫的變化(從零點開始計時)。

表1

(1)作出這組數據的散點圖,并用曲線連接;

(

2)選用一個函數來描述體溫y和時間t的函數關系;

(3)若測得某病人凌晨1:0 0的體溫為3 8.2℃,問:該病人的體溫比此時的正常體溫高多少?(精確到小數點后兩位)

解析：(1)根據這組數據作出散點圖,并用曲線連接,如圖4。

圖4

(2)設 t時的體溫為y=As i n(ω t+φ)+c,則c=?由取故可用來近似地描述這些數據。

點評:本題考查三角函數的圖像與性質,考查同學們用數學知識求解實際問題的能力。

(責任編輯 王福華)