機械能守恒與變化的判斷及其靈活應用

李福陽

物理必修2課本中對機械能守恒定律的闡述比較簡單，課本第34頁是這樣描述的“在只有像重力那類力做功的情況下，物體的動能與勢能可相互轉化，機械能的總量保持不變。”在第36頁又做了補充說明“不僅物體的重力勢能與動能可以相互轉化，物體的彈性勢能和動能也可以相互轉化。在彈性勢能和動能的相互轉化中，如果只有彈力做功，物體的動能和彈性勢能的總和也將保持不變。”

課本上述說法太過簡單，無法處理有多個力做功情況下的機械能守恒與變化的題目。為了最大限度提高學生解題的能力，必須對機械能守恒條件及變化規律做補充，使之適用于各種題型。對此我分單個物體和多個物體所組成的系統兩種情況進行闡述。

一、針對單個物體，機械能守恒定律的內容可以表述為“在只有重力做功，或其它力對物體所做總功為零的情形下，物體的動能與重力勢能可相互轉化，機械能的總量保持不變。”例如：在豎直向下的勻強磁場中，用一絕緣細線拉著一帶正電的小球豎直向上運動，忽略空氣阻力，如果細線對小球拉力大小等于電場對小球的作用力大小，則小球向上做勻減速直線運動過程中，除重力對小球做功外，另外兩個力對物體所做總功為零，所以小球機械能守恒。

針對單個物體的機械能增加或減少規律，可以表述為：“除重力做功外，其它力對物體所做總功為正的多少，則物體的機械能就增加多少，其它力對物體所做總功為負的多少，則物體的機械能就減少多少。”例如：質量1千克的物體在豎直向上、大小為6牛的拉力作用下，豎直向上運動2米的過程中，機械能如何變化？（忽略空氣阻力，取g=10 m/s2）

由于扣除重力外，只有拉力做功，拉力做的總功為12J，故物體的機械能增加了12J。如果沒有掌握上述規律，采用常規的思路去算，把物體重力勢能的增加量和動能的減少量都算出來，再用重力勢能的增加量減去動能的減少量，得到物體總機械能的增加量，明顯要花費更多功夫，而且容易失誤。

如果把題目改為：質量1千克的物體在豎直向上、大小為6牛的拉力作用下，豎直向下運動2米的過程中，機械能如何變化？（忽略空氣阻力，取g=10 m/s2）

還是用同樣的方法來做。由于扣除重力外，只有拉力做功，拉力做的總功為負12J，故物體的機械能減少了12J。

二、針對多個物體（包括連接在某些物體間的細線），或物體與彈簧所組成的系統，機械能守恒定律的內容可以表述為“在只有重力與系統內彈簧彈力做功（包括只有其中一種力做功），或除了重力和系統內彈簧彈力外，其它力對系統所做總功為零的情形下，系統的動能、重力勢能與彈性勢能可相互轉化，系統機械能的總量保持不變。”上述定律中提到的彈力，特指系統內彈簧的彈力，如果是系統外的彈力做功，或彈力雖是系統內的，但不是彈簧的彈力，則系統的機械能不一定守恒。

例如：A、B兩個物體之間用一條輕細繩連接，B放置在水平地面，A疊放在B上，A上表面固定一個小掛鉤。當用一根輕彈簧鉤住A上的小掛鉤，豎直向上拉起A，直至B離開地面。這個過程中，對A、B兩個物體構成的系統來說，彈簧是系統外物體，彈簧的彈力是系統外彈力。系統外彈力對系統做功不為零，系統的機械能不守恒。

假如是系統內彈力做功，但這個彈力不是彈簧的彈力，那么系統的機械能是否守恒呢？我們通過下面的例題來分析。

A、B兩個物體質量都為m，一前一后放置于光滑水平面上，若給A一個初速度v0，使之向右運動，A與B碰撞后，A、B以相同的速度向右運動，求A、B碰撞后的共同速度。

由于地面水平光滑，A、B兩物體構成的系統碰撞前后動量守恒，故有2mv=m v0，得v= v0，碰后A、B系統的總動能為2 ，只為系統碰前動能的一半。

上述碰撞過程中A對B的彈力做正功， B對A的彈力做負功，兩個彈力都是系統內的彈力，但由于發生完全非彈性碰撞，一部分機械能轉化為內能，故系統的機械能減少了。

如果上題中在B左側面固定一根輕彈簧，則當A向右運動壓縮彈簧，彈簧的彈力對A做負功，對B做正功。這個過程不引起發熱，故A、B和彈簧構成的系統的動能與彈性勢能之間發生相互轉化，但系統機械能的總量保持不變。

針對多個物體，或物體與彈簧所組成的系統，機械能增加或減少規律可以表述為：“除重力與系統內彈簧彈力做功外，其它力對系統所做總功為正的多少，則系統的機械能就增加多少，其它力對系統所做總功為負的多少，則系統的機械能就減少多少。”

例如：一物體Q靜止于水平地面上，其上表面固定一根輕彈簧，輕彈簧豎直且處于原長。若用一大小為10牛的恒力F拉住彈簧上端點P，使P點向上移動1m，此時物體Q已離開地面，而彈簧始終處于彈性限度內。以下說法正確的是：

A.物體Q的機械能增加了10J B. 物體Q的動能增加了10J

C.恒力F做的功為10J D. 彈簧的彈性勢能增加了10J

解析：把物體Q和彈簧看做一個系統，扣除重力和彈簧彈力外，只有恒力F做功，F做的總功為10J，故系統的機械能增加了10J。系統機械能的增加量包括物體Q動能和重力勢能的增加量，加上彈簧彈性勢能的增加量，所以C對，A、B、D都錯。

很多情況下，判斷物體或系統的機械能是否守恒，或怎么變化，并不一定要使用以上機械能守恒定律或變化規律，也可以結合能量守恒定律來判斷。例如以下兩個題目：

題1：如圖1所示，在兩個質量分別為m和2m的小球a和b之間，用一根長為L的輕桿連接，兩小球可繞穿過輕桿中心O的水平軸無摩擦轉動.現讓輕桿處于水平位置，然后無初速釋放，重球b向下，輕球a向上，產生轉動，在桿轉至豎直的過程中（ ）

圖1

A.b球的重力勢能減少，動能增加

B.a球的重力勢能增加，動能減少

C.a球和b球的總機械能守恒

D.a球和b球的總機械能不守恒

解析：兩球組成的系統，在運動中沒有其他形式的能與系統的機械能相互轉化，所以系統的機械能守恒.b球重力勢能減少，a球重力勢能增加，系統總重力勢能減少，動能增加。故選AC。

題2.如圖所示，A、B兩小球，質量分別為4m和5m，其間用輕繩連接，跨放在光滑的半圓柱體上（圓柱體的半徑為R）.兩球從水平直徑的兩端由靜止釋放。求球A到達最高點c時的速度大小。

解析：兩球組成的系統，在運動中沒有其他形式的能與系統的機械能相互轉化，所以系統的機械能守恒.系統的重力勢能轉化為系統動能，如下式：

解得

高考理科綜合全國卷中的物理題，基本上都是有一定難度的題目，幾乎沒有一個題目僅依據課本中給的機械能守恒定律就能解決問題。我在教學中要求學生掌握上述補充和完善之后的機械能守恒和變化規律，并運用在實際的解題過程中，效果非常好。