對一道習題的深入思考

王一凡

一次，在課堂中老師曾經講過一道習題，內容如下：在豎直向下的勻強電場中，有一輕質細桿，在該輕質細桿的兩端各固定一質量為m的小球A、B，A球帶電量為-q，B球帶電量為+q，在該輕質細桿的中點處有一固定轉動軸，如圖1所示。將球由水平位置靜止釋放后，求小球的速度最大時該輕質細桿對軸的作用力。

當時，老師對此題的分析與解答步驟如下：

將小球由水平位置靜止釋放后，A、B兩球將各自做圓周運動，由動能定理可以得知，當A、B兩球轉至豎直位置時，兩球速度最大；

設此時小球的速度為v，如圖2所示：

那么，此時

根據牛頓第三定律可知，A、B兩球對該輕質細桿的作用力的合力，即該輕質細桿對軸的作用力。

F=F′A+F′B=2mg（向下）

這次課后過了幾天，筆者偶然又翻到此題，突然感覺似乎還有更深層的東西隱藏其后，等待著一雙探究的眼睛，于是靜下心來重新對該題進行了思考和分析，最終，正如自己所料，之前課堂中老師所講述只是不同條件下可能出現的情況之一，而如果兩球所帶電量足夠大（或恰好大小）同時勻強電場又足夠強（或恰好強弱）的條件下，則該題還可能出現以下兩種情況。

情況1（如圖3所示）：該輕質細桿對A球不是提供支持力，而是提供拉力。

此時

同樣根據牛頓第三定律可知A、B兩球對該輕質細桿的合力，即該輕質細桿對軸的作用力。

F=F′B-F′A=2mg（向下）

情況2（如圖4所示）：該輕質細桿對A球既無支持力也無拉力。

此時

在這種特殊情況下，A球對該輕質細桿無作用力，僅B球對該輕質細桿有作用力，但是，根據上述（1）（2）兩式和牛頓第三定律仍可得A、B兩球對該輕質細桿的作用力的合力，即該輕質細桿對軸的作用力。

F=F′B=2mg（向下）

縱觀以上各種情況，可以嘗試采用整體法對以上結果加以驗證：

A、B兩球和該輕質細桿轉動至豎直位置時，我們可以把三者看作一個整體、一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)受重力、電場力、軸對該輕質細桿的作用力。

由于各種情況下，該系統(tǒng)在豎直方向上的加速度均為零，所以有

mAg+mBg+qBE-qAE+F軸對桿=0

由此可得，F軸對桿=-（mAg+mBg）=-2mg（向上）

根據牛頓第三定律得，該輕質細桿對軸的作用力為

F軸對桿=2mg（向下）

可見，結果與前面各種情況下的結果均是一致的！

由此我們可以看出，在此題中A、B兩球和該輕質細桿轉動至豎直位置時下面的小球受力并無變化，但是上面的小球受力卻是不同的。由于A球帶電量為-q，B球帶電量為+q，勻強電場對兩球均做正功，也就是提高球的速度，但是勻強電場的強度不同，則電場力對球的做功大小就不同：老師課堂中所講是勻強電場強度不大，小球的速度也就不大，于是上面的小球對該輕質細桿的作用力為壓力；當勻強電場強度達到一個恰好的值時，小球就是一個恰好合適的速度，此時上面的小球對該輕質細桿就沒有任何作用力，也就是上述的情況2；而勻強電場強度足夠大時，小球的速度也足夠大，此時上面的小球對該輕質細桿的作用力就成了拉力。

通過這一道普普通通的題目，卻讓我看到了物理知識浩瀚海洋般的美麗和魅力，更增強了我深入探求科學奧秘的興趣和動力！

編輯 魯翠紅