挖掘隱含條件 探求解題視角

陜西省商洛市洛南縣西關中學(726100) 冀建軍

挖掘隱含條件 探求解題視角

陜西省商洛市洛南縣西關中學(726100) 冀建軍

挖掘隱含條件是破除解題障礙探求解題思路的關鍵,題目表述越簡潔,隱含條件就越多,就會造成解題無法入手.因此要針對教材中典型例、習題,引導學生學會挖掘隱含條件.本文以北師大版高中教材《數學》(選修2-2)《推理證明》的一道證明題為例,進行多角度審視和深層次挖掘隱含條件,探求解題視角.

一、題目再現

題目[1]已知a＞0,b＞0,且a+b=1,求證3a+3b＜4.

二、題目隱含條件的挖掘

該題是在學生學習了《推理證明》的基礎上安排在本章復習題B組的,其意圖要求學生了解數學證明的幾種基本方法(綜合法、分析法、反證法).此題短小精悍,表述簡潔,不易入手.

該題題設顯示：a,b∈R+,且a+b=1,其等價條件：0＜a,b＜1,a,b相互制約,且b=1-a.難點在于3a、3b的取值相互制約,3a+3b-4不能直接分解因式,不能直接作差、作商比較,同時由于3a·3b=3,根據“定積和最小”可求3a+3b的最小值,但不能直接用基本不等式確定3a+3b的上確界.此題作為證明題,借助所求證結論尋找隱含條件,是尋找證明思路的一種常用方法.

從不等式證明角度分析結論：要比較3a+3b與4的大小,必須把4與3a、3b聯系起來,如4=3a+b+1;從函數角度,要確定3a+3b的范圍,可能要借助指數函數y=3x的圖像和性質.

從數學思想定位：a、b兩個變量相互制約要運用消元思想(變二元為一元)、化歸思想等;從數學學科特點考慮可能用數形結合思想.

相關隱含條件如：b=1-a,3b=31-a,3a·3b=3,3a+b=3,4=3a+b+1,0＜a＜1,1＜3a＜3等.這些信息重新組合將會得到不同的解題思路.

三、探求幾種證明視角

1.不等式常規證明視角

分析不等式證明首先考慮常規方法,如作差(商)比較、分析法、反證法,但必須借助隱含條件,若將結論中的“4”變成與a,b有關系的形式,或利用3a的范圍,便于常規證明.

證法1由于a＞0,b＞0且a+b=1,則0＜a,b＜1,即3a＞1、3b＞1,則3a+3b-4=3a+3b-3a+b-1= (3a-1)(1-3b)＜0,亦即3a+3b＜4.

評注此法做差比較,運用隱含條件 3a+b=3, 4=3a+b+1,將所證結論轉化成證明3a+3b＜3a+b+1.考慮到不等式兩邊為正值,可用作商比較法.

證法2 由于3a+3b＞ 0,,由0＜a＜1,即1＜3a＜3,則(3a-1)(3a-3)＜0,即32a-4×3a+3＜0,即32a+3＜4×3a.故即3a+3b＜4.

證法3 要證3a+3b＜4,由于3a+3b＞ 0,只需證 (3a+3b)2＜16,即證 (3a+31-a)2＜16,即證32a+9×3-2a-10＜0,也就是證34a-10×32a+9＜0,即證1＜32a＜9,即證1＜3a＜3,即證0＜a＜1,而由已知條件知0＜a＜1成立,從而3a+3b＜4.

評注證法2、證法3運用了3b=31-a以及1＜3a＜3這兩個隱含條件.同時體現了消元思想.

證法4 假設存在滿足條件(a,b∈R+且a+b=1)的a、b,使3a+3b≥4成立,即3a+31-a-4≥0,即32a-4×3a+3≥0,即3a≤1或3a≥3,即a≤0或a≥1,這與已知條件中0＜a＜1矛盾,故3a+3b＜4.

證法5(應用排序不等式)由于0＜a＜1,則有3＞3a, 1＞ 3-a,應用排序不等式[2]可得出：3×1+3a·3-a＞3·3-a+3a×1,即4＞31-a+3a=3b+3a,故原命題成立.

評注證法4反證法要注意題設是全稱命題,假設否定形式必須是特稱命題;證法5巧用排序不等式.

2.函數與方程視角

分析不等式問題通常與函數聯系在一起,通過構造函數利用函數單調性等相關性質解決不等式問題.構造函數時,盡可能借助學生的基本的數學知識、技能、數學思想和活動經驗構造學生熟知的函數.

評注證法6構造函數,利用求導確定函數單調性求證是證明不等式的常用方法,考慮到,構造“對勾”函數更為簡單.

評注證法7和證法8分別利用了“對勾”函數和二次函數.

3.線性規劃視角

分析由隱含條件3a·3b=3,令x= 3a,y=3b,則點(x,y)在曲線xy=3上,轉化成求x+y的取值范圍.

圖1

證法9 由0＜a、b＜1,令x=3a, y=3b,則1＜x,y＜3且xy=3,作函數如圖1.確定目標函數z=x+y,作直線l0:x+y=0,平移直線l0經過A點時(此時直線與相切),z=x+y有最小值,平移直線l0經過B(或C)時,z=4,但由于曲線(1＜x＜3)是不含端點B、C的一段曲線,即x+y＜4,故3a+3b＜4.

評注此法利用隱含條件xy=3(其中x=3a,y=3b)轉化成求z=x+y的最大值,思路簡潔,運算簡單.

4.解析幾何視角

證法10[3]如圖2,作函數y=3x的圖像,過點P(0,1)、點Q(1,3)作割線交y= 3x于P、Q,PQ方程為y=2x+1,顯然當0＜x＜1時,線段PQ在曲線y=3x上方,即3x＜2x+1,故有當0＜a,b＜1時, 3a＜2a+1,3b＜2b+1,則3a+3b＜2(a+b)+2=4,即證.

圖2

[1]嚴士健,王尚志.普通高中課程標準實驗教科書：數學選修2-2[M].北京：北師大出版社,2006.

[2]嚴士健,王尚志.普通高中課程標準實驗教科書：數學選修4-5[M].北京：北師大出版社,2006.

[3]李景印.一道教材習題的研究性學習[J].中學數學教學參考,上旬, 2015(3)：35.