超低頻場強勒讓德函數的導數表達式對比分析*

蓋明明 溫 東 郗海龍 楚 涓

(1.海軍潛艇學院 青島 266199)(2.北海艦隊參謀部 青島 266000)

超低頻場強勒讓德函數的導數表達式對比分析*

蓋明明1溫 東1郗海龍2楚 涓1

(1.海軍潛艇學院 青島 266199)(2.北海艦隊參謀部 青島 266000)

超低頻電波大氣場強計算中或包含第一類勒讓德函數對距離的一階導數或包含其二階導數,這兩個導數可以用無窮級數表示,但無窮級數計算受制于計算機的位數限制,因此在超低頻的高端無法用級數計算。除此之外,還有幾個近似表達公式。但近似公式的適用范圍和精度尚不明確。所以基于Matlab軟件對無窮級數公式和三個常見的近似公式進行編程計算,相互比較,以確定各個公式的適用條件和精度差別。

超低頻; 大氣場強; 勒讓德函數對距離的一階導數; 勒讓德函數對距離的二階導數

Class Number E962

1 引言

超低頻發射天線目前主要是應用低架于地面上的兩端接地的水平導線,作為這種天線的物理長度雖然很長(一般100km左右),但與波長相比仍很短,可以把它看作是水平電偶極子[1]。另外,地面上超低頻電磁波在地面-電離層波導內發射和傳播的,因此,超低頻的輻射和傳播問題,從數學上可以歸納為在圓球形地面-電離層波導內求解地面上水平電偶極子激發的電磁場問題。

在波導內,五個電磁場分量表達式中或包含第一類勒讓德函數Pν0(-cosθ)對地心角θ(距離)的一階導數,或包含其二階導數。文獻[2～4]中給出勒讓德函數對距離的一階導數和二階導數的無窮級數公式的無窮級數形式為[2～4]

這兩個導數可以用無窮級數表示,這是比較精確的表示。但遺憾的是,無窮級數計算受制于計算機的位數限制,一般的個人計算機浮點運算只提供小數點后15位精度,因此在超低頻的高端無法用級數計算[1]。除此之外,還有對極點波表達式、平面波導表達式、駐波波導表達式等幾個近似表達公式。但近似公式的適用范圍尚不明確。所以基于Matlab軟件對無窮級數公式和常見的三個近似公式進行編程計算,相互比較,以確定各個公式的適用條件。

2 勒讓德函數對距離頭二階導數級數表達式與對極點波表達式對比分析

文獻[2～3]給出了勒讓德函數頭二階導數在對極點附近的近似表達式[2～3]

以白天為例,分別取頻率30Hz、100Hz在距離0km～20000km范圍進行仿真,如圖1和圖2所示,其中實線‘-’代表級數公式計算結果,點線‘-*’代表駐波公式計算結果。

圖2 勒讓德函數對距離二階導數級數表達式與對極點波表達式對比分析

圖1和圖2上示出級數公式和以對極點為中心公式計算的絕對值曲線的比較。其中圖1(a)的頻率是30Hz,兩條曲線清晰地顯示,大約在3000km以后,它們符合極好,3000km以內,以對極點為中心公式的數值小于級數公式。圖1(b)上是100Hz的同樣的曲線比較,圖1(c)是圖1(b)的部分曲線。從圖1(b)、(c)這兩張圖可以清楚地看出,在大約1500km之后,兩條曲線幾乎完全一致,在大約1500km之內,以對極點為中心公式的值小于級數公式的值。這說明以對極點為中心公式的絕對值從離源點很近的距離開始直至對極點與級數公式的絕對值曲線符合十分良好,而且隨頻率的增高符合的近距離更縮短,符合的程度更接近。圖2與圖1只是在絕對值量級上大得多,而曲線趨勢變化與一階導數一致。

3 勒讓德函數對距離頭二階導數級數表達式與平面波導表達式對比分析

文獻[2～3]中給出勒讓德函數頭兩階導數平面近似公式如下[2～3]

以白天為例,分別取頻率30Hz、75Hz、100Hz和150Hz,在距離0km～20000km范圍進行仿真,如圖3和圖4所示,其中實線‘-’代表級數公式計算結果,點線‘-*’代表駐波公式計算結果。

圖3 勒讓德函數對距離一階導數級數表達式和平面波導表達式對比分析

圖4 勒讓德函數對距離二階導數級數表達式和平面波導表達式對比分析

圖3(a)、(b)、(c)、(d)分別顯示20000km之內30Hz、75Hz、100Hz和150Hz級數公式和平面公式計算的絕對值曲線。級數曲線有起伏,這是合理的,因為級數中包含直接波和非直接波,兩個波的合成必然引起起伏。平面公式是一個行波,所以是平滑下降的斜線,但由于曲率修正因子的影響,所以接近對極點曲線迅速上升。這說明平面公式在對極點附近不能應用。在圖3(a)上示出30Hz級數計算和平面公式計算絕對值曲線的比較。在近距離上,兩條曲線的一致性比100Hz的差一點,而且符合良好的距離比100Hz的近得多,這是合理的,因為30Hz的衰減比100Hz的小得多,而150Hz符合度更好。圖4與圖3只是在絕對值量級上大得多,而曲線趨勢變化與一階導數一致。這些結果說明平面公式可以應用于較高頻率,這個距離隨頻率增高而加大。

4 勒讓德函數對距離頭二階導數級數表達式與駐波波導表達式對比分析

文獻中給出勒讓德函數頭兩階導數的駐波公式,即兩個往相反方向傳播的行波公式的合成[2～3],即

+je-jk0Sρi]

因為二階導數曲線變化趨勢與一階導數一致,只是在絕對值量級上比一階導數大得多。所以選擇白天,以發射頻率為100Hz和30Hz的一階導數為例,得到級數公式和駐波公式計算絕對值部分曲線的比較結果,如圖5所示,其中黑色實線‘-’代表級數公式計算結果,點線‘-*’代表駐波公式計算結果。

從圖5中看出,在大約2000km～19000km范圍內,這兩個公式的計算結果符合良好。在對極點附近,無論是100Hz還是30Hz駐波公式的絕對值都是急劇上升的,事實上電磁場在對極點不可能急劇上升的。在源點附近,駐波公式的絕對值小于級數公式的絕對值。

圖5 勒讓德函數對距離一階導數級數表達式和駐波波導表達式對比分析

5 結語

通過對無窮級數公式和常見的三個近似公式進行編程計算,仿真分析相互比較,如果所用計算機是浮點16位尾數的,可以到到如下結論:

1) 一階導數的級數公式理論嚴密、精度高,是超低頻以下頻率電磁場計算的首選公式。該公式可以從200km～300km至對極點的距離范圍內應用,適用的頻率范圍大致在150Hz以下。

2) 當工作頻率超過150Hz,可以應用平面近似公式,但只適用于300km以外的距離,不能用于對極點附近的電磁場,其最遠適用距離大致達15000km,而且這個距離范圍隨頻率升高而增加,適合于較高頻率。

3) 當工作頻率超過150Hz,距離大致從1500km至對極點的范圍內,可用以對極點為中心的公式,而且隨頻率的增高符合的近距離更縮短,符合的程度更接近,可用于計算對極點附近的電磁場。

4) 當工作頻率超過150Hz,距離大致從2000km開始至19000km范圍內,可以用駐波公式。

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Comparative Analysis of Ultra-low Frequency Atmospheric Field Legendre Function Derivative Expressions

GAI Mingming1WEN Dong1XI Hailong2CHU Juan1

(1. Navy Submarine Academy, Qingdao 266199)(2. The Navy North Sea Fleet General Staff, Qingdao 266000)

Ultra-low frequency communication atmosphere field strength calculation includes the first kind of Legendre function to the first derivative of the distance or contains the second derivative, the two derivative can be expressed as an infinite series, but infinite series calculation is under the control of the digits limit of the computer, so series computing can’t be used in high-end of ultra-low frequency. In addition, there are several approximation formula. But the approximate formula of applicable range and precision are unclear. So infinite series formulas and the approximate formula of three common are programmed and calculated by soft ware based on Matlab, comparing each other, the applicable condition and precision difference formula is determined.

ultra-low frequency, atmospheric field strength, Legendre function to the first derivative of the distance, Legendre function to the second derivative of the distance

2016年9月11日,

2016年10月23日

蓋明明,女,碩士研究生,工程師,研究方向:潛艇通信。溫東,男,博士,副教授,研究方向:潛艇通信。郗海龍,男,碩士研究生,工程師,研究方向:軍事信息學。楚涓,女,碩士研究生,講師,研究方向:潛艇通信。

E962

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.03.005