一種基于精確剛度分析的剛性連接單元

何鵬秋，孫秦

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

一種基于精確剛度分析的剛性連接單元

何鵬秋，孫秦

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

NASTRAN剛性連接單元RBE3中的權(quán)因子需要人為設(shè)定，由此導(dǎo)致分配節(jié)點載荷具有較強(qiáng)的主觀性。針對該問題，基于結(jié)構(gòu)剛度矩陣的縮聚原理提出一種精確的剛性連接單元，該單元可將指定節(jié)點上的載荷精確分配至結(jié)構(gòu)的主要承力節(jié)點，并能有效克服RBE3單元中權(quán)因子不直觀且難以確定的缺點。通過算例驗證，表明采用本文所提出的精確剛性連接單元可以精確完成由加載節(jié)點到主要承力節(jié)點的載荷分配計算，且所得載荷分配結(jié)果更為精確可靠。

剛性連接單元；RBE3；載荷分配；剛度縮聚；剛度特性

0 引 言

在飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計中，經(jīng)常會遇到一些結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定或者結(jié)構(gòu)強(qiáng)度為非主要研究對象的設(shè)計對象。例如，在飛行器機(jī)身設(shè)計驗證階段，發(fā)動機(jī)、起落架等不確定或復(fù)雜結(jié)構(gòu)可以適當(dāng)簡化為一個節(jié)點，只需將這些結(jié)構(gòu)上作用的載荷等效傳遞至機(jī)身便可完成機(jī)身結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計及強(qiáng)度校核。這樣既有效提高了整機(jī)有限元數(shù)值分析的建模效率，又能避免由于模型結(jié)構(gòu)不確定而導(dǎo)致無法進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元力學(xué)性能分析的問題。

在載荷傳遞分析中，多使用NASTRAN中的剛性連接單元RBE3完成由指定加載節(jié)點到主要承力構(gòu)件的載荷傳遞分析[1-3]。由于RBE3建模方便，目前已被廣泛應(yīng)用于飛機(jī)機(jī)翼和機(jī)身設(shè)計[4-5]、火箭動力特性分析[6-7]、導(dǎo)彈固有特性分析[8]、汽車應(yīng)力強(qiáng)度分析[9]、衛(wèi)星固有頻率分析[10]等有限元數(shù)值仿真中。在RBE3單元中，各個主要承力節(jié)點上的分配載荷主要通過用戶指定的權(quán)因子來分配計算[11-12]，用權(quán)因子來表征不同承力節(jié)點處的剛度特性。

然而，該方法也有不足之處，首先，它假定主要承力節(jié)點中的每一節(jié)點在不同方向上的剛度特性相同，但實際上結(jié)構(gòu)在不同方向上的剛度值通常存在較大差異，例如對一個薄板進(jìn)行彎曲遠(yuǎn)比對其進(jìn)行拉伸容易，故假定節(jié)點在各個方向上的剛度一致是不合理的；其次，RBE3單元中權(quán)因子的取值大小通常難以估計，原因是主要承力構(gòu)件的剛度特性與結(jié)構(gòu)形狀、材料以及邊界約束條件等密切相關(guān)，通常將權(quán)因子設(shè)置為1，即默認(rèn)各個承力節(jié)點的剛度特性都相同。綜上所述，利用RBE3剛性連接單元得到的分配載荷具有較大的主觀性、不合理性。

本文針對RBE3單元的上述缺點，提出一種更為精確的剛性連接單元，該單元可由主要承力結(jié)構(gòu)的真實剛度得到主要承力節(jié)點與加載節(jié)點間的載荷分配關(guān)系，并通過數(shù)值算例驗證該單元的精確性。

1 傳統(tǒng)RBE3單元技術(shù)

主要承力節(jié)點與加載節(jié)點如圖1所示，gi(i=1,2,…,n)為承力節(jié)點，r為指定的加載節(jié)點，也稱作相對參考點[9]。

在RBE3單元中，根據(jù)力與力矩的平衡關(guān)系，先將節(jié)點r上的載荷等效傳遞至權(quán)值重心B，即

FB=Fr

(1)

MB=Mr+Fre

(2)

式中：e為B點到r點的向量。

得到B點處的力和力矩之后，則該力和力矩在節(jié)點gi處的分配載荷分別為

(3)

(4)

式中：wi為用戶指定的權(quán)因子；ri為節(jié)點gi到B點的距離。

Fi1的方向與Fr平行，F(xiàn)i2與節(jié)點gi到B點之間的向量垂直。由彎矩MB得到的分配載荷如圖2所示。

從式(3)～式(4)可以看出：該單元相當(dāng)于在節(jié)點r上先建立一個剛性平板，然后在各個主承力構(gòu)件節(jié)點與剛性平板相交處建立一個剛度為wi的彈性連接，由該彈性連接完成由加載節(jié)點到主要承力節(jié)點載荷的分配。

假設(shè)節(jié)點gi和加載節(jié)點r的線位移分別為ugi和ur，角位移分別為θgi和θr。通過剛體位移約束關(guān)系，gi點的線位移和角位移可由r點的線位移和角位移線性唯一表示：

(5)

定義R=[R1R2R3]為掛載結(jié)構(gòu)節(jié)點r到主要承力節(jié)點gi的距離向量。將主要承力節(jié)點依次代入式(5)，可得

ug=G ur

(6)

式中：G=[G1G2… Gn]T，n為主要承力節(jié)點的個數(shù)。

在RBE3單元中，主要承力節(jié)點與剛性平板間彈性連接的剛度由用戶指定的權(quán)因子wi確定，即剛度矩陣Kg中節(jié)點gi對應(yīng)的對角線值為wi。因此，彈性連接的載荷位移平衡方程為

Fg=Kgug=KgGur

(7)

與式(6)的形式相似，在剛性連接中，掛載結(jié)構(gòu)節(jié)點r與承力節(jié)點gi之間的載荷滿足[10]：

Fr=GTFg

(8)

將式(7)左乘GT，并將式(8)代入其中可得

ur=(GTKgG)-1Fr

(9)

由式(7)和式(9)可得承力節(jié)點處的載荷分布為

Fg=KgG(GTKgG)-1Fr

(10)

式(10)即為RBE3單元載荷傳遞分配公式的矩陣表達(dá)形式。從式(10)可以看出：Kg的取值直接決定著主要承力節(jié)點的載荷分配結(jié)果，而Kg交由用戶來確定，這顯然是不合理的。

2 新型剛性連接單元

不同于式(10)中主要承力節(jié)點的剛度特性由用戶指定的權(quán)值來確定，本文提出一種更為精確的剛性連接單元，即通過系統(tǒng)真實結(jié)構(gòu)剛度矩陣的縮聚方法獲得承力節(jié)點集的剛度特性。令g-集表示有限元結(jié)構(gòu)中的主要承力節(jié)點集，l-集表示不包含主要承力節(jié)點的節(jié)點集，則有限元結(jié)構(gòu)的平衡方程為

(11)

即l-集與g-集的位移約束關(guān)系滿足：

(12)

代入式(11)即得g-集的位移載荷關(guān)系:

(13)

因此，承力節(jié)點集的剛度矩陣為

(14)

將縮聚后得到的剛度矩陣代入式(10)中，得到精確的載荷分配關(guān)系：

(15)

相比于RBE3剛性連接單元，由剛度矩陣縮聚方法得到的縮聚剛度矩陣能精確描述主要承力節(jié)點集的剛度特性，為獲得精確的載荷分配關(guān)系提供了可靠的數(shù)值分析基礎(chǔ)。

3 數(shù)值算例

3.1 簡單薄壁結(jié)構(gòu)驗證

簡單薄壁結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖3所示，該結(jié)構(gòu)包含兩個三角形板和一個圓柱梁。三角形板的底邊邊長為1.000m，高為0.400m，厚度為0.002m，采用四邊形殼單元對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分；圓柱梁的半徑為0.005m，長度為0.400m，采用梁單元對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分。材料的彈性模量E=2.06×109Pa，μ=0.3。在D點處作用一個豎直向下的單位載荷F=1，該載荷通過RBE3單元傳遞至A、B、C三個主要承力節(jié)點。下文將分別采用RBE3單元和本文提出的剛性連接單元對上述簡單薄壁結(jié)構(gòu)進(jìn)行載荷傳遞分析。

RBE3單元權(quán)因子設(shè)置為默認(rèn)值，即wi=1。A、B、C三個節(jié)點處分配載荷的理論解可由剛度分配原則直接得到。具體方法為：在A、B、C三個節(jié)點處施加豎直向下的單位位移，由相應(yīng)的節(jié)點力可得三個節(jié)點豎直方向的剛度值，分別為2.065 5×106、4.044 8×105、2.065 5×106N/m；再按照剛度分配原則精確得到A、B、C三個節(jié)點處分配載荷的理論解。

RBE3單元和本文所提出的剛性連接單元對圖3中簡單薄壁結(jié)構(gòu)的載荷分配結(jié)果對比如表1所示。

表1 主要承力節(jié)點載荷分配結(jié)果對比

從表1可以看出：采用本文方法所得載荷分配結(jié)果與理論解一致，而RBE3單元得到的載荷分配結(jié)果則是由加載節(jié)點載荷除以3直接得到，完全忽略了結(jié)構(gòu)剛度對載荷分配的影響。此外，由RBE3單元得到的B點載荷約為理論解的4倍，這在工程上是無法接受的，甚至被認(rèn)為是錯誤的。這表明本文提出的剛性連接單元是一種有效的、精確的剛性連接單元。

3.2 機(jī)翼薄壁結(jié)構(gòu)驗證

機(jī)翼薄壁結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖4所示，對其在發(fā)動機(jī)載荷作用下的受力進(jìn)行分析。機(jī)翼展長為1.196 0m，翼根弦長為0.814 0m，翼尖弦長為0.457 0m，蒙皮厚度為0.002 0m，翼肋厚度為0.001 5m，梁腹板厚度為0.001 5m。在機(jī)翼下方采用剛性連接單元連接簡化的發(fā)動機(jī)模型，發(fā)動機(jī)質(zhì)量M=1 010kg，結(jié)構(gòu)過載為1，發(fā)動機(jī)推力為69.4kN。

采用本文方法得到的機(jī)翼連接節(jié)點的載荷分配情況如表2所示，RBE3單元在不同權(quán)值設(shè)置下的載荷分配結(jié)果如表3～表4所示。

表2 精確剛度分析法機(jī)翼節(jié)點載荷分配情況

表3 RBE3載荷分配情況(w1=w2=w3=w4=1)

表4 RBE3載荷分配情況(w1=w2=1，w3=w4=2)

從表2～表4可以看出：采用不同的權(quán)值對RBE3單元的計算結(jié)果有較大影響；RBE3單元的權(quán)值設(shè)置方法與本文精確的剛度分析方法所得到的節(jié)點分配載荷具有明顯差異，其原因是不同結(jié)構(gòu)節(jié)點在不同方向上的剛度差異較大。這進(jìn)一步表明本文所提出的方法能夠有效克服主觀人為因素對分析結(jié)果的影響，更具優(yōu)越性。

4 結(jié) 論

(1) 本文通過剛度矩陣的縮聚原理，精確得到主要承力節(jié)點集的剛度特性，為進(jìn)一步精確得到主要承力節(jié)點與加載節(jié)點間的載荷分配關(guān)系提供了基礎(chǔ)。

(2) 本文所提出的精確剛性連接單元能夠有效克服RBE3單元的兩個不合理假設(shè)，計算過程簡單，分析所得的載荷分配結(jié)果更為精確可靠，在工程實際應(yīng)用中具有重要意義。

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(編輯：馬文靜)

A New Rigid Connection Element Based on the Accurate Stiffness Analysis

He Pengqiu, Sun Qin

(School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

The rigid connection element(RBE3) in NASTRAN requires the user to specify the weight factor of each main structure node subjectively. As a result, the user defined load weight factors make the calculation of the distributed loads inaccurate. To deal with this drawback, a new rigid connection element based on the principle of structure stiffness matrix condensation is proposed to accurately calculate the distributed loads acting at the specified node to the main structure nodes. Consequently, the new element effectively overcomes the subjectivity of the RBE3 element. The numerical results show that the new element can accurately derive the load distribution of the main structure nodes and make the solution of distributed loads more accurate and reasonable.

rigid connection element; RBE3; load distribution; stiffness matrix condensation; stiffness property

2016-12-09；

2017-01-03

國家自然科學(xué)基金(51375386)

孫秦,sunqin@nwpu.edu.cn

1674-8190(2017)01-068-05

V214.1

A

10.16615/j.cnki.1674-8190.2017.01.010

何鵬秋(1990-)，男，博士研究生。主要研究方向：有限單元設(shè)計、慣性釋放、矩陣分解。

孫 秦(1956-)，男，博士，教授，博導(dǎo)。主要研究方向：有限元方法、疲勞與斷裂、氣動彈性。