數學教學何必心太急

摘要：在《“別時容易見時難”：增補內容的教學思考》一文中，張贊老師認同和提出的關于“增補內容”的案例性建議、一般化觀點顯得有些急功近利，值得商榷。教學多項式整除（因式分解）問題，要對學生的解法做出自然、深入的點撥，而沒有必要補充多項式帶余除法。考慮到更多學生的學習能力、負擔以及更高層次的學習目標、要求，課標對一些課程內容做了刪減是適當的。面向全體、指向育人的數學教學并不僅在于教學內容的多少與增刪，而更加在于教學的過程和方式；應該是一種慢化的藝術，關注知識建構過程，突出學生主體探索，注重探索路徑規劃，強化實踐活動體驗。

關鍵詞：數學教學增補內容教學過程教學方式慢的藝術

《中學數學（初中版）》2017年第7期刊載了江蘇省蘇州市吳江區笠澤實驗初級中學張贊老師的《“別時容易見時難”：增補內容的教學思考》（簡稱《增補》）一文。

該文首先簡要講述了一道多項式整除（因式分解）問題的解題教學過程：教師出示習題“已知x2-3x+1是關于x的多項式ax3+bx2-1的一個因式，則2b-a的值為”；學生1設另一個因式為ax-1，把兩個因式相乘展開，通過其與原式對應項系數相等解得a、b的值，求出2b-a的值，但是沒解釋設另一個因式的依據；教師肯定這種解法的正確性；學生2根據x2-3x+1=0時ax3+bx2-1=0，求出x2-3x+1=0的兩根，分別代入ax3+bx2-1=0解得a、b的值，求出2b-a的值，但是其結果與學生1的不同；教師肯定這種思路的正確性，但是因為關于a、b的方程組比較復雜，一時不能確定求解時的錯誤在哪里，于是讓學生存疑，課后深入思考。然后，該文給出了一位奧數教師和李尚志教授對上述解題教學案例的建議：補充（課標、教材之外被刪減的）多項式帶余除法，使得問題的解決更加便捷（根據余式恒等于0，可以直接解得a、b的值）。

由此，該文提出了一般化觀點：數學教學應對課標、教材之外被刪減的“數學主干鏈條上的知識”進行適當的增補。

具體到初中階段

，應該認真思辨哪些內容值得增補（多項式帶余除法、韋達定理、四點共圓等值得增補），精心預設增補內容的呈現方式

（在教學相關的知識時，利用適當的問題情境引導學生自主發現）；并且不宜讓增補內容直接或拓展進入考卷（但是可以將其隱含在試題中）。

一、相關的商榷

縱觀《增補》一文，筆者認為：張老師具有勤思、善思的教學作風和品質，令人欽佩；但是，張老師認同和提出的關于“增補內容”的案例性建議、一般化觀點顯得有些急功近利，值得商榷。

（一）對文中關于“增補內容”的案例性建議的思考

在文中講述的解題教學過程中，學生是能夠解決教師出示的問題的。這里，教師主要的不足之處不是沒有補充多項式帶余除法，使得問題的解決更加便捷；而是沒有充分發揮主導作用，對學生的解法做出點撥，讓學生的思考更加自然、深入。

學生的解法1簡單而有效。對此，教師最主要的不足之處在于沒有追問設另一個因式的依據，便因答案正確而迅速滑過了。這里，教師應該讓學生從多項式乘法中積的次數與因式的次數之間的關系來分析設另一個因式的依據：兩個因式最高次項的積為積的最高次項，兩個因式常數項的積為積的常數項，易得另一個因式的最高次項、常數項分別是ax、-1。數學教學需要關注思維過程，讓學生“知其然，更知其所以然”。

學生的解法2復雜但可行。對此，教師最主要的不足之處在于沒有指出它和學生1的解法殊途同歸的根本原因，即它和學生1的解法在本質上的相通之處。這里，教師應該讓學生從兩個多項式恒等的角度來認識兩種解法：由學生1解法中的恒等式（ax-1）·（x2-3x+1）=ax3+bx2-1，可以將其左邊展開，再通過左右兩邊對應項系數相等，列方程組求解a、b，也可以通過代入兩個特殊的x的值，列方程組求解a、b（如代入x=1和x=-1，列方程組-a+1=a+b-1，5（-a-1）=-a+b-1）；學生2的解法在本質上是通過代入兩個使恒等式左右兩邊為零的x的值，列方程組求解a、b。數學教學還需要打通知識聯系，讓學生建立認知結構，理解內容本質。當然，教師還應該讓學生比較兩種方法的優劣，學會合理地選擇。

可見，做出這樣的點撥后，學生便能很好地認識和掌握這類題目及其解法，教師沒有必要補充多項式帶余除法。

（二）對文中關于“增補內容”的一般化觀點的思考

數學課程是否應對“數學主干鏈條上的知識”進行刪減？數學教學是否應對“數學主干鏈條上的知識”進行增補？

一些大學教授關注數學知識體系、結構的嚴密性、完備性，認為初等數學的基本內容都不能刪減。很多奧數教師和普通教師關注競賽成績和考試成績，認為可以幫助學生快速解決問題的數學內容都不能不講，否則學生就會吃虧。但是，他們沒有從普通學生現實的學習能力、負擔以及理想的學習目標、要求的角度來考慮他們是否能夠理解以及是否需要掌握那些內容。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“義務教育階段的數學課程是培養公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發展性。數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力，培養學生的創新意識和實踐能力，促進學生在情感、態度與價值觀等方面的發展。義務教育的數學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎。”這說明義務教育

階段的數學課程具有基礎性，即面向全體學生，適應學生個性發展的需要；也具有指向性，即以知識學習、技能訓練為載體，以思維發展、素養提升、精神培養、文化傳承為目標（以內容為載體，以育人為目標）。

考慮到更多學生的學習能力、負擔以及更高層次的學習目標、要求，課標（及教材）對一些課程（及教學）內容做了刪減。比如，對《增補》一文提及的韋達定理（即一元二次方程根與系數的關系）不做過多、過高要求（以選學形式出現）。其原因有二：（1）相關的難點比較多，學生難以掌握。如不解方程利用定理求值問題，其代數式有齊次對稱式、非齊次對稱式等，轉化和變形等情況復雜、多變，需要充分運用整體處理、恒等變換、消元降次等思想方法，學生理解力和思維力明顯不足。如根據條件求待定系數的值或范圍問題，其求解需要考慮較多的因素（二次項系數、有根條件、實際意義等），學生綜合能力明顯不夠。（2）應用的價值不夠高，學生無須掌握。如在二次函數綜合問題中的應用，

隨著二次函數要求的降低而消減。如在發展逆向思維活動中的應用（基于根的情況研究系數情況），可以被整式乘法與因式分解的比較、一元二次方程方程根的判別式的應用、幾何問題條件與結論互換的變式探究等代替。

當然，考慮到部分“資優生”的水平和興趣，以及“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的目標和要求，教師可以在課外個別輔導中對一些被刪減的內容進行適當的增補，從而引發他們更為深入的探索。

二、引發的數學教學思考

其實，面向全體、指向育人的數學教學，并不僅在于教學內容的多少與增刪（很多教學內容都可以面向全體、指向育人），而更加在于教學的過程和方式（即關注學生是如何理解、掌握教學內容的）。數學學習應該是一個自主建構、自然生長、逐步完善、螺旋上升的過程。數學教學應該是一種慢化的藝術，教師不能急著把知識結論告訴學生，而應該充分發掘內容的意蘊，發揮內容的價值，認真組織學習環節，設計學習活動，引領學生參與探索和實踐的過程，進行深度學習，從而在深化理解、激發熱情的基礎上發展思維、提升素養。

（一）關注知識建構過程，讓課堂充滿“火熱的思考”

教育專家將數學知識分為三種形態：學術形態、課程形態、教育形態。數學教學要將數學知識的學術形態、課程形態轉化為教育形態。數學知識的形成過程包含深厚的數學文化、豐富的數學思想方法、精妙的數學結構、簡潔的數學表達。數學知識的教育形態就是基于學習者已有的生活經驗和數學現實，按照學習者的認知能力和認知水平重構知識的認知過程。這一過程尤其要突出思想方法的感悟、語言的表達，實現知識的內化、能力的培養；切不能采取“一個定義，三項注意”的方式，失去應有的教育價值。

例如負數知識的建構活動，一是利用生活中的現象（氣溫、海拔高度、進出貨物情況的記錄等），感受負數的存在；二是通過具體的實例，親歷相反意義的量的表達過程，感悟數學的方法和價值；三是通過負數在數軸上表示的實踐，參與建構數軸的過程，形成幾何直觀形象；四是經歷負數相關計算法則的研討及運用等過程，逐步完成負數知識的整體建構，體驗負數形成的必要性、合理性、簡潔性、嚴密性。

（二）突出學生主體探索，讓課堂成為“再發現”“再創造”的場域

有效的數學學習活動是學生自主探索的過程，指向學生自己的發現和創造。教師要相信學生，讓學生疑，讓學生思，讓學生猜想、驗證，讓學生歸納、演繹，充分挖掘學生的潛能，開啟學生的智慧。

例如多項式乘法公式的教學活動：（1）練習：看誰算得又快又好！①（x+a）（x+b），（x+1）（x+2），（x-1）（x+2），（x-1）（x-2）；②（a+b）2，（x+3）2，（2x+1）2，（x-1）2；③（a+b）（a-b），（x+1）（x-1），（x-2）（x+2），（2x+1）（2x-1）。（2）交流：①算得快的同學，能把你的計算秘訣告訴同學嗎？②你能歸納多項式乘多項式哪些形式可以簡便計算嗎？③試著給公式起一個合適的名稱。④試著用語言表達上述公式。⑤你能用圖形介紹上述公式嗎？（3）拓展：試著用得到的公式解決下列式子的計算。（2x+3y）2，（-2x+3y）2，（a-b）2，（a+b+c）2，（-2x+1）（2x+1），（-2x-1）（2x-1），（x+y+z）（x+y-z）。以上教學活動，能夠引導學生自主回憶和運用已有的數學知識和經驗，探索和發現多項式乘多項式的特殊形式及其運算規律，并基于自己的理解給公式起名稱，用語言和圖形表述公式內涵。這樣的一節課，能夠幫助學生自主學習完全平方公式、平方差公式，并完善、深化。

（三）注重探索路徑規劃，讓課堂成為思維發展的殿堂

幫助學生發展思維，需要滲透數學思想方法，引領學生規劃探索的路徑。一方面，要關注

已知和未知之間的聯系，指引知識建構的方法；另一方面，還要關注條件和結論之間的聯系，指引問題解決的策略。由此，培養學生思維的靈活性和深刻性，幫助學生建立知識結構，感悟問題本質。

例如，教學四邊形知識時，可以引導學生先回顧三角形的研究思路（如圖1），再類比遷移，規劃四邊形的研究路徑（如圖2），進而構建幾何圖形研究的一般模式，不斷優化研究路徑，形成整體結構。

又如，教學一元二次方程問題“寫一個一元二次方程，使它的兩根為方程x2-x-2=0的兩根的相反數”時，可以引導學生規劃以下路徑：（1）直接計算：①求出x2-x-2=0的兩根2、-1；②寫出所求方程的兩根-2、1；③列出所求的方程（x+2）（x-1）=0，得到x2+x-2=0。（2）整體代換：①設出x2-x-2=0的兩根α、β；②寫出所求方程的兩根-α、-β；

③列出所求的方程（x+α）（x+β） =0，得到x2+（α+β）x+αβ=0；④得到x2+x-2=0。（3）關系變換：①設所寫方程的根為y，則y=-x；②將x=-y，代入原方程（-y）2+（-y）-2=0，得到y2-y-2=0。（4）變式方向：改換方程或改變根的關系。

（四）強化實踐活動體驗，讓課堂成為素養提升的領地

幫助學生提升素養，需要聯系實際展開應用，促進學生體驗實踐性活動。要將理論與實踐相結合，要求學生應用所學知識和方法解決現實情境的問題。活動過程一般包括活動方案設計、器材準備、實地活動、數據收集、數據整理、活動報告（總結）等幾個環節。由此，可以促進學生形成“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界”的數學素養。

例如，學習完相關的知識后，教師可以設計測量校園旗桿高度的實踐活動，引導學生設計和實施以下方案：（1）利用相似形，即同一時刻影長與物長成正比（如圖3）。工具：卷尺、標志桿等；條件：晴天、平坦的場地等。（2）利用直角三角形邊角關系（如圖4）。工具：卷尺、測角儀等；條件：平坦的場地等。（3）利用直角三角形邊角關系及方程（如圖5、圖6）。工具：卷尺、測角儀等；條件：平坦的場地等。

本文系江蘇省教育科學“十二五”規劃立項課題“初中數學‘情理交融’課堂教學的實踐研究”（編號：E-c/2013/011）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 章建躍.理解數學，理解學生，理解教學[J].中國數學教育，2010（12）.

[2] 錢德春，呂同林.“初中數學‘情理交融’課堂教學的實踐研究”開題報告[J].中學數學教學參考（中旬），2014（8）.