讓學(xué)生的錯(cuò)誤成為教學(xué)的入口

摘要：教學(xué)《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性》一課時(shí)，在復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性定義的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生注意關(guān)鍵詞的含義；在判斷一次函數(shù)單調(diào)性的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性；在判斷高次函數(shù)單調(diào)性的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

在判斷對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生注意函數(shù)單調(diào)性的前提條件。由此，感悟到：學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中犯錯(cuò)是正常現(xiàn)象；

學(xué)生的典型錯(cuò)誤往往蘊(yùn)含著正確想法的基因；數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在深度“對(duì)話”中自然建構(gòu)。

關(guān)鍵詞：學(xué)生錯(cuò)誤對(duì)話教學(xué)導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性

德國(guó)哲學(xué)家尼采認(rèn)為：“時(shí)不時(shí)地犯錯(cuò)是人類(lèi)天性的一部分。”英國(guó)哲學(xué)家波普爾進(jìn)一步指出：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素。對(duì)于錯(cuò)誤的恐懼是將我們鎖在平庸城堡中的大門(mén)。只有克服這種恐懼，我們才能夠朝著自由邁出重要的一步。”下面，結(jié)合《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性》一課的幾個(gè)教學(xué)片段，談?wù)勎覀儗?duì)于學(xué)生所犯錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)與思考。

一、教學(xué)片段

（一）復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性定義：注意關(guān)鍵詞的含義

師前面一段時(shí)間我們研究了導(dǎo)數(shù)，還記得它是準(zhǔn)備用來(lái)做什么的嗎？

生準(zhǔn)備用來(lái)研究函數(shù)單調(diào)性的。

師那么，你已經(jīng)知道函數(shù)單調(diào)性的哪些內(nèi)容了？

生我知道函數(shù)單調(diào)性的定義，知道怎么證明函數(shù)的單調(diào)性。

師那你說(shuō)說(shuō)函數(shù)單調(diào)性的定義。

（教師投影：函數(shù)單調(diào)性的定義是什么？）

生在定義域內(nèi)，取x1、x2，且x1f（x2），則函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為減函數(shù)。

（教師板書(shū)。）

生（叫嚷）不對(duì)！

師哪里不對(duì)了？

生x1、x2應(yīng)該在定義域的某個(gè)子集里面取，而且應(yīng)該是任取的。

師為什么有這樣的要求呢？

生因?yàn)橛械暮瘮?shù)在定義域內(nèi)不具備單調(diào)性。

師比如？

生例如y=x2。

師很好！我們知道函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)局部概念，在定義中需要強(qiáng)調(diào)的是在定義域的一個(gè)子集（區(qū)間）內(nèi)任意取x1、x2。

（教師更正板書(shū)。）

（二）判斷一次函數(shù)單調(diào)性：注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性

師剛才我們回憶了函數(shù)單調(diào)性的定義，那么請(qǐng)同學(xué)們思考第二個(gè)問(wèn)題。

（教師投影：如何判斷函數(shù)y=2x-3的單調(diào)性？）

生因?yàn)楹瘮?shù)斜率大于0，所以此函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

師函數(shù)的斜率？

生哦，不是。是這個(gè)一次函數(shù)（方程）對(duì)應(yīng)的圖像（直線）的斜率。

師嗯，要注意語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性。那么如果函數(shù)是y=-x+1呢？

生因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)的直線的斜率小于0，所以這個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。

師也就是說(shuō)，一次函數(shù)的單調(diào)性與相應(yīng)直線的斜率有關(guān)。

（三）判斷高次函數(shù)單調(diào)性：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義

師請(qǐng)同學(xué)們看第三個(gè)問(wèn)題。

（教師投影：如何判斷函數(shù)y=x2-4x+3的單調(diào)性？）

生這個(gè)函數(shù)在（-∞，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增。

師你是怎么得到這個(gè)結(jié)論的？

生把函數(shù)配方成y=（x-2）2-1，可以得到函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)。因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為1，大于0，所以圖像開(kāi)口向上。再找出兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（0，3）、（4，3），可以畫(huà)出簡(jiǎn)圖。由圖像可知函數(shù)在（-∞，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增。

師大家看看，這個(gè)結(jié)論尋求的過(guò)程對(duì)嗎？它與上一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的研究有什么不同？

生第一個(gè)是利用相應(yīng)直線的斜率得出函數(shù)的單調(diào)性，第二個(gè)是利用函數(shù)的圖像。

師那么，這次為什么不依然利用斜率刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性呢？

生這個(gè)函數(shù)的圖像是曲線，沒(méi)有斜率。

師嗯，直線有斜率是我們?cè)缫阎赖模敲辞€真的沒(méi)有“斜率”嗎？

（學(xué)生思考。）

生哦，不對(duì)。可以用曲線上一點(diǎn)處切線的斜率來(lái)表示。

師你準(zhǔn)備怎么表示呢？

生對(duì)函數(shù)y=x2-4x+3求導(dǎo)，得y′=2x-4。取函數(shù)值f′（2）=0，f′（0）=-4<0。再在（-∞，2）上任意取x，都有f′（x）<0，所以（-∞，2）是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。

生（-∞，2）上有無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)x，你怎知道都有f′（x）<0？

師你怎么解釋同學(xué)提出的疑惑？

生因?yàn)楫?dāng)x0<2時(shí)，f′（x0）<0恒成立。

師“當(dāng)x0<2時(shí)，f′（x0）<0恒成立”如何得到？

生因?yàn)閥′=2x-4在（-∞，2）上是增函數(shù)，所以f′（x）

師也就是說(shuō)，這個(gè)二次函數(shù)可以避開(kāi)圖像，從數(shù)的角度得出單調(diào)性了？

生是的。

師那這個(gè)函數(shù)呢？

（教師投影：一個(gè)三次函數(shù)y=x3+2x2，畫(huà)不出函數(shù)圖像，你能否從上面的分析中類(lèi)似地得出答案？

學(xué)生在座位上演算。教師巡視，請(qǐng)一位做出來(lái)的學(xué)生站起來(lái)回答。）

師從這三種函數(shù)的研究過(guò)程中，你能總結(jié)出什么樣的結(jié)論呢？

（學(xué)生思考。）

生對(duì)于一個(gè)函數(shù)，解f′（x）<0就能求出單調(diào)減區(qū)間，同樣f′（x）>0解出的就是單調(diào)增區(qū)間。

師這個(gè)結(jié)論對(duì)于更為一般的函數(shù)是否適用呢？若想說(shuō)明它具備一般性，應(yīng)該怎么辦？

生證明。

師怎么證明？

生利用學(xué)過(guò)的函數(shù)單調(diào)性的定義。

師還得回歸單調(diào)性的定義。（指著剛才板書(shū)的函數(shù)單調(diào)性的定義）觀察定義，怎么和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起呢？

生當(dāng)x10，即f′（x）>0；f（x1）>f（x2）ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1<0，即f′（x）<0。

（教師在剛才的板書(shū)下對(duì)應(yīng)板書(shū)。）

師很好，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容。

（板書(shū)課題。）

（四）判斷對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性：注意函數(shù)單調(diào)性的前提條件

師好了，請(qǐng)大家看看剛才求的這個(gè)三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，如何完善其解題過(guò)程？

生因?yàn)閥′=3x2+4x，令y′>0，即3x2+4x>0，解得x<-43或x>0；令y′<0，即3x2+4x<0，解得-43

師下面請(qǐng)大家來(lái)看看：（同步投影）函數(shù)y=xln x的單調(diào)區(qū)間應(yīng)該怎么求？

（一位學(xué)生上黑板求解，其余學(xué)生在下面討論。教師指名回答。）

生黑板上的不對(duì)，對(duì)數(shù)不等式解錯(cuò)了。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是（0，+∞），所以所有的單調(diào)區(qū)間都得在這個(gè)范圍里求。

師很好！剛開(kāi)始上課時(shí)我們就復(fù)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義，這里一定不能丟掉函數(shù)的定義域。根據(jù)這幾個(gè)函數(shù)單調(diào)性的研究，你能總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟嗎？

生（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0（<0）；（4）下結(jié)論。

（教師板書(shū)。）

師繼續(xù)看一個(gè)函數(shù)：（同步投影）函數(shù)f（x）=sin x，x∈（0，2π）。

生增區(qū)間是0，π2，3π2，2π，減區(qū)間是π2，3π2。

師你是怎么解的？

生利用剛才的四個(gè)步驟。

師有沒(méi)有不同于這個(gè)解法的？

生還可以直接畫(huà)圖，得出單調(diào)區(qū)間，因?yàn)樗腔境醯群瘮?shù)。

師很好！我們不能因?yàn)閷W(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的方法就忘記了更為基本的解決辦法。那么，如果函數(shù)變成y=sin 2x、y=sin x+cos x、y=sin x+2cos x呢？

（學(xué)生作答。）

師所以以后遇到求解函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題時(shí)，選擇合適的方法很重要。

（課堂總結(jié)，布置作業(yè)。）

二、教學(xué)思考

（一）學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中犯錯(cuò)是正常現(xiàn)象

我們認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的初期，由于受到已有的知識(shí)以及經(jīng)驗(yàn)的影響，不可避免地會(huì)產(chǎn)生各種各樣的錯(cuò)誤。這屬于正常現(xiàn)象，是可以接受的。

譬如，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性容易一知半解、以偏概全。首先，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部屬性，因此可以在其定義域的子集中研究，不需要在其整個(gè)定義域中研究。其次，x1、x2應(yīng)該在定義域的子集中任意選取，唯有如此，才能保障函數(shù)在該子集上具有單調(diào)性。這些是函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。多年的教學(xué)實(shí)踐表明，歷屆學(xué)生在此處都會(huì)犯錯(cuò)誤。

又如，學(xué)生對(duì)于曲線的斜率容易產(chǎn)生誤解。首先，源于對(duì)于直線斜率的狹隘理解，因?yàn)榈谝淮握J(rèn)識(shí)斜率時(shí)，斜率反映的是直線的陡峭程度。其次，源于對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的膚淺認(rèn)識(shí)，因?yàn)閯傞_(kāi)始接觸這一幾何意義時(shí)，還不能將其真正納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知上的順應(yīng)。這里既需要教師的喚醒，更需要學(xué)生的領(lǐng)悟。

（二）學(xué)生的典型錯(cuò)誤往往蘊(yùn)含著正確想法的基因

學(xué)生的典型錯(cuò)誤往往蘊(yùn)含著正確想法的基因，可以成為發(fā)現(xiàn)源與創(chuàng)新點(diǎn)。教師需要小心地呵護(hù)，精心地研究，使之成為教學(xué)的入口、探索之大門(mén)。

譬如，研究函數(shù)y=xln x的單調(diào)減區(qū)間時(shí)，不少學(xué)生得到這樣的結(jié)果：求導(dǎo)數(shù)得y′=ln x+1，由ln x+1<0解得x<1e，所以函數(shù)y=xln x的單調(diào)減區(qū)間為-∞，1e。這樣的結(jié)果雖然是錯(cuò)誤的，但是距離正確答案只有一步之遙：注意到函數(shù)y=xln x的定義域?yàn)椋?，+∞），即可得到正確答案。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，有了這次認(rèn)知沖突，才能銘記考察函數(shù)定義域的重要性與必要性。

（三）數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在深度“對(duì)話”中自然建構(gòu)

巴西教育家保羅·弗萊雷說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有對(duì)話，就沒(méi)有了交流，也就沒(méi)有了真正的教育。”古希臘哲學(xué)家蘇格拉底更是以“蘇格拉底方法”成為啟發(fā)式教學(xué)的先驅(qū)：他在與學(xué)生談話的過(guò)程中，并不直截了當(dāng)?shù)馗嬖V學(xué)生所應(yīng)知道的知識(shí)，而是通過(guò)問(wèn)答、討論甚至辯論的方式來(lái)揭露學(xué)生認(rèn)識(shí)中的矛盾，逐步引導(dǎo)學(xué)生自己得出正確答案。教學(xué)實(shí)踐表明，“對(duì)話”不僅是一種調(diào)動(dòng)學(xué)生的教學(xué)手段，更是一種尊重學(xué)生的教育思想；不僅是教師和學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言進(jìn)行的交流與討論，更是學(xué)生之間觀點(diǎn)與想法的碰撞與爭(zhēng)鳴。

本節(jié)課最大的亮點(diǎn)就是教師不斷地與學(xué)生對(duì)話，并盡可能地激發(fā)學(xué)生之間的互動(dòng)，使教學(xué)過(guò)程懸念叢生、高潮迭起，不斷產(chǎn)生思維的火花與智慧的接力。教師還特別注意通過(guò)追問(wèn)，讓學(xué)生之間形成爭(zhēng)議與交鋒，最終達(dá)成對(duì)真理的共識(shí)與共享，讓課堂充滿(mǎn)智趣與情趣。