從兩節(jié)研討課談數(shù)學(xué)探究式教學(xué)

科學(xué)探究是科學(xué)研究的重要方法，數(shù)學(xué)探究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的重要途徑。

布魯納說(shuō)過：“探索是數(shù)學(xué)的生命線。”G.波利亞曾指出：“學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑就是靠自己去發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造。”新課程倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。然而數(shù)學(xué)知識(shí)是形式化的思想材料，具有高度的抽象性，完全讓學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造不太可能，必須采用探究式教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行有目的的引導(dǎo)。

探究式教學(xué)就是教師引導(dǎo)學(xué)生在問題情境中采用實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、綜合、類比、歸納等方法，進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，創(chuàng)造數(shù)學(xué)表達(dá)。它能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的意識(shí)和能力，幫助學(xué)生獲得體驗(yàn)感悟，加深知識(shí)理解，建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。

筆者最近參加了一次課堂教學(xué)展示活動(dòng)，執(zhí)教課題是《任意角的三角函數(shù)》（同課異構(gòu)），執(zhí)教教師都很注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。下面從其中兩節(jié)課的教學(xué)片段出發(fā)，談?wù)劰P者對(duì)探究式教學(xué)的思考。

一、教學(xué)片段

【A教師】

圖1

師同學(xué)們都見過摩天輪吧。（出示圖1）如圖，世界第二大摩天輪中心距水面約65米，半徑為60米，沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周需36分鐘。若你在座艙中從點(diǎn)A位置開始計(jì)時(shí)，2分鐘后離水面的高度h為多少米？5分鐘后呢？20分鐘后呢？

生t=2時(shí)，h=65+60sin 20°；t=5時(shí)，h=65+60sin 50°。

師t≥9呢？大膽猜想。

生h=65+60sin（10t）°。

師很好！但是，這里有個(gè)問題：t≥9時(shí)，

SymbolPC@ AOP不是銳角，對(duì)于非銳角，我們還沒有定義過它的正弦函數(shù)。今天，我們就來(lái)研究任意角的三角函數(shù)。

（教師出示問題1：對(duì)于任意角α，如何定義sin α？同時(shí)，利用幾何畫板演示任意角。）

生建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），若r=x2+y2，則sin α=yr。

師很好！

（教師出示問題2：當(dāng)α為銳角時(shí)，此定義能否兼容初中的定義？）

生能。當(dāng)α為銳角時(shí)，過點(diǎn)P向x軸作垂線，設(shè)垂足為M，則直角三角形OPM中，PM=y，OP=r。

（教師出示問題3：類比任意角α正弦的定義，你能定義任意角α的余弦和正切嗎？學(xué)生回答后，教師展示定義。教師出示問題4：改變點(diǎn)P在終邊上的位置，角α的正弦是否隨之改變？余弦、正切呢？學(xué)生回答。）

師任意角α在平面直角坐標(biāo)系中有唯一的終邊，因此任意角的三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，對(duì)于每個(gè)給定的值（角），正弦、余弦、正切的值唯一確定，這符合函數(shù)的定義。

（教師出示問題5：當(dāng)角α的終邊落在不同象限時(shí)，討論角α的三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)。學(xué)生活動(dòng)。）

【B教師】

師前面我們學(xué)習(xí)了任意角的概念，下面我們可以研究什么？

生三角函數(shù)。

師任意角的三角函數(shù)如何定義呢？制訂什么方案？

生先從銳角開始。

師為什么？

生從已知到未知。

師回憶初中銳角三角函數(shù)的定義。

生sin α=對(duì)邊斜邊，cos α=鄰邊斜邊，

tan α=對(duì)邊鄰邊。

師（畫出角α，隱去直角三角形）回到前面的問題：如何表示任意角α的三角函數(shù)？

生如果α是銳角，我們可以在一邊上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作另一邊的垂線，構(gòu)造一個(gè)直角三角形。

師對(duì)于任意角（不是銳角）也可以這樣嗎？

生任意角不可以，它不能放在直角三角形中。

師想想任意角是如何定義的？

生可以建立坐標(biāo)系，把任意角放在坐標(biāo)系中。

圖2

師（在剛才的圖中建立平面直角坐標(biāo)系，得到圖2）為什么要建立坐標(biāo)系？

生在坐標(biāo)系中，任意角都可由其終邊來(lái)確定。而PM和OM的長(zhǎng)就是終邊上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)，角α的正弦可以由點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái)定義。設(shè)P（x，y），則sin α=yx2+y2，cos α=xx2+y2，tan α=yx。

師可不可以不取點(diǎn)P，另取一點(diǎn)P′？

生可以。由三角形相似知道比值是不變的。

師也就是說(shuō)，這里的P可以是終邊上任意一點(diǎn)。那么，你能使比值更簡(jiǎn)潔一些嗎？

生可以使OP的長(zhǎng)為1，那么sin α=y，cos α=x。

師如果角的終邊在其他象限，也可以這樣來(lái)定義嗎？

生可以。

師三角函數(shù)是函數(shù)嗎？

生是。它符合函數(shù)的定義，是角的集合到實(shí)數(shù)集的函數(shù)。

師下面列表研究三角函數(shù)的定義域。

……

二、課例思考

（一）探究式教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的主體性

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，探究是學(xué)生的探究。教學(xué)的一切都應(yīng)該圍繞學(xué)生展開，都必須建立在學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知發(fā)展水平基礎(chǔ)上。探究式教學(xué)中，教師要精心創(chuàng)設(shè)問題情境，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造。

從上述兩個(gè)課例來(lái)看，兩位教師都關(guān)注了學(xué)生的主體性。不過，A教師對(duì)于任意角三角函數(shù)定義的產(chǎn)生有點(diǎn)操之過急，沒有給學(xué)生足夠的討論時(shí)間，只是讓一位好學(xué)生來(lái)回答。事實(shí)上，大多數(shù)學(xué)生對(duì)于為什么要引入坐標(biāo)系、如何想到用坐標(biāo)的比來(lái)定義三角函數(shù)并沒有想明白，失去了感受由舊知引發(fā)新知的良機(jī)。而B教師對(duì)此處理得比較好。

探究式教學(xué)中，如何關(guān)注學(xué)生的主體性呢？筆者以為：（1）要精選教學(xué)內(nèi)容，突出重要數(shù)學(xué)概念、原理的呈現(xiàn)，特別是展現(xiàn)新知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過程。對(duì)于學(xué)生能夠自己弄懂的內(nèi)容，要盡可能讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)（如本節(jié)課中余弦、正切的定義，三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)等）；對(duì)于學(xué)生很難自己弄懂的內(nèi)容，要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生探究，幫助學(xué)生突破（如本節(jié)課中從銳角三角函數(shù)的線段比過渡到坐標(biāo)比，進(jìn)而給任意角的正弦下定義）。（2）要面向全體學(xué)生，通過由遠(yuǎn)及近、分級(jí)提問、只問不答等方式，給每個(gè)學(xué)生探究的機(jī)會(huì)，使不同層次的學(xué)生獲得不同的啟發(fā)，得到不同的發(fā)展。

（二）探究式教學(xué)應(yīng)該通過問題情境促進(jìn)知識(shí)生長(zhǎng)

新知識(shí)的引入必須有一個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)，這個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)通常是一系列問題情境。問題情境是一個(gè)人在進(jìn)行某種活動(dòng)時(shí)所處的環(huán)境和推動(dòng)的力量，可以引趣、激疑和誘思，能夠讓學(xué)生自我探索，獲取信息，加工信息，得到新信息。離開了問題情境，探究便無(wú)從談起。

從上述兩個(gè)課例來(lái)看，兩位教師都體現(xiàn)了讓學(xué)生經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)問題情境—提出猜想—共同驗(yàn)證—?dú)w納總結(jié)—拓展應(yīng)用”的活動(dòng)過程。A教師從生活實(shí)例摩天輪運(yùn)動(dòng)入手，通過研究任意時(shí)刻某個(gè)座艙的高度，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而引出本節(jié)課研究的內(nèi)容。這一情境是學(xué)生熟悉的，容易引發(fā)學(xué)生的興趣，但是相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題偏難，使得學(xué)生很難猜出結(jié)果。B教師則由前面兩節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容入手，讓學(xué)生思考今天應(yīng)該研究什么。這里缺少現(xiàn)實(shí)情境，不能凸顯研究的價(jià)值和需要，而且問題過于開放，使得學(xué)生不易回答。

作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體，問題情境是否在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，將直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)內(nèi)容實(shí)質(zhì)的把握，影響學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、交流等活動(dòng)的有效性。因而，創(chuàng)設(shè)問題情境時(shí)應(yīng)該認(rèn)真解讀課標(biāo)和教材，準(zhǔn)確把握教學(xué)要求，基于學(xué)生立場(chǎng)，認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注學(xué)生發(fā)展的需要；應(yīng)該以“現(xiàn)實(shí)性”為基本前提，以“針對(duì)性”為實(shí)質(zhì)內(nèi)容，以“趣味性”為情感目標(biāo)，以“思考性”為價(jià)值導(dǎo)向，以“探究性”為發(fā)展需求。

（三）探究式教學(xué)應(yīng)該通過問題串或提示語(yǔ)適度引導(dǎo)學(xué)生

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究時(shí)，教師要把握好度，既不放任自流，也不越俎代庖；通過適當(dāng)?shù)膯栴}串或提示語(yǔ)，給學(xué)生必要的明示與暗示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線索，通過自己的思維與實(shí)踐獲得發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。

本課的新知引入環(huán)節(jié)中，教師可以設(shè)置問題串，引領(lǐng)學(xué)生的探究活動(dòng)：（1）（出示畫面，有意識(shí)地把點(diǎn)放在第一象限）大家都見過摩天輪吧，那么如何表示圓周上一點(diǎn)P的位置呢？預(yù)設(shè)學(xué)生可以用多種方法表示點(diǎn)P的位置，如用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示，用轉(zhuǎn)過的角度α（∠AOP）及OP的長(zhǎng)度r表示等。（2）既然（x，y）與（r，α）都可以表示點(diǎn)P的位置，那么x、y、r、α之間有什么關(guān)系呢？預(yù)設(shè)學(xué)生不能順利解決。（3）如何建立坐標(biāo)系呢？由有關(guān)的角度與長(zhǎng)度能想到什么呢？預(yù)設(shè)學(xué)生可以得到：當(dāng)α是銳角時(shí)，可以利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)來(lái)表示x、y、r、α之間的關(guān)系。（4）如果α不是銳角，比如鈍角、任意角，還可以這樣表示嗎？為什么不行呢？由此，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，明確本節(jié)課的探究任務(wù)：任意角的三角函數(shù)。