泛函分析進入希爾伯特空間，第2版

Hansen+Vagn+Lundsgaard

泛函分析是一個重要的數學分支，起源于上世紀20年代，在許多數學分支及理論物理學等科技領域有重要應用。本書是一本關于泛函分析的專著，是希爾伯特空間理論及希爾伯特空間上算子理論的基本引論，也是作者在丹麥技術大學長期對數學專業高年級學生和研究生講課基礎上形成的成熟的大學數學教材，由作者的專著《Fundamental Concepts in Morden Analysis》（現代分析的基本概念，World Scientific，1999）發展而成。它初版于2006年，獲學術界好評，特別是關于自伴線性緊算子的譜理論的論述以及習題的配備是其亮點。現在的第2版作了增補。主要是擴充了第1章中關于賦范向量空間及其算子的材料，包括開映射定理、閉圖象定理及哈恩-巴拿赫（HahnBanach）定理的證明。還將關于賦范向量空間算子的論述擴充為新的專論弗雷德霍姆（Fredholm）理論的第6章，等等。

全書正文含6章：1.度量拓撲學的基本原理。是全書的基礎和預備，簡明地給出包含度量結構的空間的一般拓撲學基礎，特別是關于賦范向量空間及其算子的一些基本定理（開映射定理等等）的完全證明；2.函數空間新的類型。主要研究Lp空間的結構，還討論了序列空間lp，給出赫爾德（Holder）不等式和閔可夫斯基（Minkowski）不等式的證明等；3.希爾伯特空間理論。從復習內積空間開始，引進希爾伯特空間概念，還討論了可分希爾伯特空間的基本性質，以及弱收斂性等。第4章：希爾伯特空間上算子。討論了有界線性算子的自伴算子和緊算子；5.譜理論。著重研究可分希爾伯特空間上的自伴線性緊算子的譜理論；6.弗雷德霍姆理論。在巴拿赫空間上有界算子的框架下給出弗雷德霍姆算子理論的基礎，討論了積分算子和積分方程，以及弗雷德霍姆型的算子方程。這些結果對于實際應用有重要意義。本章的取材和論述受到M.Pedersen的《Functional Analysis in Applied Mathematics and Engineering》（應用數學和工程中的泛函分析，C&H/CRC，2000）的影響。正文之外單獨給出各章習題（總共141個）。

本書可作為我國理工科大學高年級學生和研究生的教材或參考書，也可供有關科研人員閱讀。

朱堯辰，研究員

（中國科學院應用數學研究所）