基于非局部應變梯度歐拉梁模型的充流單壁碳納米管波動分析

余 陽， 楊 洋

(昆明理工大學 工程力學系， 昆明 650500)

基于非局部應變梯度歐拉梁模型的充流單壁碳納米管波動分析

余 陽， 楊 洋

(昆明理工大學 工程力學系， 昆明 650500)

將非局部彈性理論和應變梯度理論結合，再根據流體滑移邊界理論，建立了考慮流體和固體小尺度效應的充流單壁碳納米管(SWCNT)流固耦合動力學模型，分別以非局部應力效應、應變梯度效應和流體滑移邊界效應模擬微觀小尺度效應對系統的影響，推導得出充流單壁碳納米管的Euler-Bernoulli梁波動控制方程。通過對控制方程的求解，分析材料不同類型尺度效應對充流碳納米管的振動和波動特性影響。結果顯示，應變梯度效應和流體邊界效應對低頻波動起促進作用，對高頻波動起阻尼作用，應力非局部效應則對波動始終產生阻尼作用。三種尺度效應對低流速系統的振動有促進作用，而對高流速系統產生阻尼作用。

非局部應力； 應變梯度; 碳納米管; 流體邊界效應; Euler-Bernoulli梁; 振動特性

碳納米管在20世紀90年代早期被發現后[1]，就憑借其優越的力、熱、光、電及化學特性，成為了科技領域最受關注的功能材料之一[2-5]。在碳納米管各項性能研究中，充流碳納米管的動力學特性，是直接影響碳納米管工程應用的主要性能之一，有關這方面的研究和報道層出不窮。研究充流碳納米管力學性能的方法很多，主要分為實驗手段和數值模擬方法兩大類。實驗手段由于在實際操作和精度控制方面有很大困難，應用受到限制。因此關于充流碳納米管動力學特性的理論計算方法，成為了該領域的研究熱點。基于這樣的背景，發展出很多基于材料科學和力學理論的模型與分析手段。

在這些理論模擬方法中，分子動力學模擬，是可信度和公認度較高的方法。KRISHNA等[6]用分子動力學模擬了單壁碳納米管內水分子的物理行為；CUI等[7]通過分子動力學模擬研究了納觀尺度的焊接；WANG等[8]也通過分子動力學模擬研究了充流碳納米管表面的結構和熱力學性能。

然而，分子動力學模擬由于需要考慮體系中每一個分子或原子和相鄰粒子的作用勢，這使得計算過程復雜而冗長，在時間和空間上都受到很大限制[9-10]。為了克服分子動力學模擬的不足，充流碳納米管流固耦合系統的經典連續介質模型已經被大量應用。YAN等[11-14]在經典連續介質模型的基礎上，研究了多壁碳納米管的穩定性以及動力學特性；YOON等[15]也同樣應用經典連續介質模型，研究了充流的懸臂碳納米管的振動特性以及穩定性。

然而，經典連續介質模型無法模擬碳納米管在微納觀環境下的小尺度效應，這些尺度效應包括靜電引力、表面效應、分子間長程作用力等，這些尺度效應對材料力學特性的影響很大，不能忽略，這也就制約了連續介質模型的應用[16]。

發展適用于模擬碳納米管尺度效應的連續介質力學模型，使其同時具有經典力學模型計算簡單有效的特點，是相關學者目前普遍采用的方法。其中一個典型的模型便是ERINGEN的非局部連續介質彈性模型。該模型既可以模擬微觀尺度效應對納米結構體的影響，又有著計算簡潔有效的特點。以非局部應力場模型模擬充流碳納米管力學特性的研究報道屢見不鮮，比較典型的研究成果主要有：BAHAADINI等[17]使用非局部Euler-Bernoulli梁理論建立充流碳納米管自由振動控制方程，研究了基于非局部彈性和滑移條件的黏彈性懸臂充流碳納米管的自由振動和顫振穩定性；ZHEN等[18]基于非局部彈性理論和Euler-Bernoulli梁理論，應用了多維的Lindstedt-Poincaré方法，研究了單壁充流碳納米管的非線性振動；ZEIGHAMPOUR等[19]應用了Donnell殼模型和修正的雙剪理論，研究了雙壁充流碳納米管的振動及穩定性；DENG等[20]應用了非局部彈性Flugge殼模型研究了充流多壁碳納米管的振動特征；FILIZ等[21]將碳納米管模擬成功能梯度梁，研究了充流的嵌入式碳納米管波的振動；LI等[22]基于非局部應力場梯度理論和Kelvin-Voigt黏彈性模型，推導出了黏彈性充流單壁碳納米管波振動的控制方程；ALI-ASGARI等[23]基于非局部理論和von Karman拉伸的耦合，研究了充流碳納米管的固有頻率和非線性響應。除此之外，相關報道還有很多。

雖然ERINGEN的非局部連續介質理論在充流碳納米管的力學分析中應用很廣，但是模型的準確性與合理性在研究高頻波的方面不盡如人意[24]，且非局部彈性模型模擬顯示碳納米管剛度會隨尺度效應增加而降低。這與實驗結果和應變梯度理論模擬的結果相反[ 25-28]。

由于尺度效應對碳納米管的應力和應變都有影響，非局部理論僅從應力角度分析尺度效應是不夠的。AIFANTIS提出以應變梯度彈性理論分析尺度效應對材料應變的影響，可以準確模擬材料的應變尺度效應。而CHEN等[29]以應變梯度理論計算的分子間力與分子動力學模擬結果吻合很好。由此可見，為了能夠模擬兩種尺度效應對充流碳納米管流固耦合系統的動力學特性影響，需將兩種理論結合建模。CHALLAMEL[30]運用了應變梯度彈性模型和ERINGEN的非局部彈性模型，討論了小尺度效應在振動分析中的主要特性，SONG等[31-32]結合非局部彈性模型和應變梯度模型，研究了納米結構在初始軸向應力作用下波動的離散關系以及碳納米管在自由空間和固定在彈性介質中橫向波的特性。 LIM等[33]將高階非局部彈性理論和應變梯度理論結合建模，得到了分析碳納米管波動特性的梁模型控制方程和邊界條件，并以此討論了尺度效應對梁模型各項波動參數的影響規律。LI等[34-36]在結合非局部理論和應變梯度理論的基礎上，分析了功能梯度梁結構的屈曲、波傳導行為，以及在磁場中材料表面效應對波傳導的影響規律。除此以外，對于微觀流固耦合系統的力學特性分析，以及流體受到的尺度效應的研究，還鮮有報到。考慮到微納觀流體的性質對材料科學的發展至關重要，研究分析流體的尺度效應將有重要意義。

本文將應用LIM的“非局部應力與應變梯度耦合本構關系式”分析微觀環境中碳納米管的應力/應變關系，同時以流體邊界滑移理論分析管腔內流體的尺度效應，根據Euler-Bernoulli梁理論建立充流碳納米管流固耦合動力學模型，推導系統的波動控制方程。通過對控制方程求解，分析該系統的自由振動和波動特性，分別探索流體和固體材料的尺度效應對系統各項動力特性的影響規律。

1 充流單壁碳納米管流固耦合動力學模型

將單壁碳納米管置于三維笛卡爾坐標系中，管腔內部充滿流體并勻速流動，流速為U，如圖1所示。圖中L和w分別為管長和橫向撓度，x和y分別為軸向和橫向坐標。

圖1 充流單壁碳納米管

根據LIM的研究結果，非局部彈性應力本構和應變梯度本構經耦合后，得到新型碳納米管應力/應變本構方程為

(1)

(2)

對于一維Euler-Bernoulli梁模型，如果僅僅考慮x方向上的正應力與正應變，那么式(2)可進一步簡化為

(3)

式中:σ(x)，ε(x)分別代表應力和應變函數。

在SWCNT梁橫截面Ac上的彎矩為

(4)

Euler梁理論中應變與撓度的關系式為

(5)

將式(3)兩邊積分，并將式(4)和(5)代入式(3),可得：

(6)

式中:I=∫y2dAc，為橫截面慣性矩。對式(6)所示偏微分方程中的彎矩M求解，可得：

(7)

(8)

式中:ρf，ρc分別為流體與碳納米管的密度;Af，Ac分別為流體和碳納米管所占的橫截面面積;U為管腔內流體的流速。

根據流體邊界理論，在微納米尺度下，流體處于滑移區域，其流速在管壁處受到小尺度效應影響而變化[38]。RASHIDI等[39]將受到尺度效應影響的流速與正常流速U的關系式簡化為

(9)

式中:Uslip為流體受到尺度效應影響的流速;ξv為徑向彎矩調節系數;VCF為Uslip和U的比值;Kn為Knudsen數，其取值表示小尺度效應對流體流速的影響程度;a是式(9)中的一個系數，a的取值為

(10)

式中:b為一般滑移系數，可取為-1。

由式(9)和(10)可見，Kn值可以定量模擬流體邊界效應對流速的影響，該結論已在相關文獻中得到證實和應用[39-41]。將式(7)和(9)代入控制式(8)中，得到考慮流體邊界條件和固體尺度效應的充流碳納米管自由振動控制方程：

改進后的彈力繃帶小手套和普通彈力繃帶小手套應用方式基本相同,除了不同類型的繃帶小手套有不同的拆除和固定方式外,改進后的彈力繃帶小手套最大的特點是能夠將著力點固定在患兒的大拇指部位,這樣即使是患兒移動腕關節和手指關節,也不會輕易出現留置針移動、脫落、卷邊等現象。此外,護理人員也加強了對患兒的巡視和檢查,并觀察患兒固定位置皮膚是否出現了異樣情況。

(11)

將式(7)代入經典充流Euler梁模型的三種邊界條件，可得充流碳納米管邊界條件為

簡支邊界條件：

(12a)

(12b)

固定邊界：

固定邊界的自然邊界條件為

(13a)

(13b)

自由邊界：

自由邊界的自然邊界條件為

(14a)

(14b)

考慮到式(7)，且在微觀環境中ea≠0，進一步整理后可得：

簡支邊界條件：

(15)

固定邊界：

(16)

自由邊界：

(17)

忽略式(11)中高階項ο((ea)4)，控制方程簡化為

(18)

通過對式(18)求解，可對充流碳納米管流固耦合系統各項動力特性進行分析。

2 波動分析

由于碳納米管自由振動可簡化為簡諧波動，于是將式(18)的解定義為

(19)

式中:k為波數;ω為波動角頻率;W為振幅。將式(19)代入式(18)得

-(ρfAf+ρcAc)ω2+2ρfAfU(VCF)ωk-ρfAfU2(VCF)2k2-EI(ea)2k6+EIk4-EIl2(ea)2k8+EIl2k6=0

(20)

式(20)為關于ω的一元二次方程，其解為

(21)

而在式(21)中

(22)

很顯然，角頻率的值取決于波數k，流速U，非局部參數ea， Knudsen數Kn還有應變梯度參數l。如果Δ<0，那么角頻率的值就將是一個復數，在這種情況下，可以將角頻率值的實部和虛部表示為

(23)

(24)

3 結果與討論

碳納米管的動力學特性(角頻率ω)受波數k，流速U，非局部參數ea， Knudsen數Kn還有應變尺度參數l的共同影響，具體變化規律可由式(21)～(24)定量分析。分析計算時，取碳納米管的幾何尺寸和材料的常數為[42]：E=1 TPa，Af=3×10-19m2，Ac=3.63×10-19m2，I=1.78×10-38m-4，ρf=1×103kg/m3，ρc=2.27×103kg/m3。

圖2所示為非局部尺度參數ea取0.05 nm、0.1 nm和0.2 nm時，波數k與頻率之間的變化關系。從圖2可以看出，不論當ea取何值，頻率的變化趨勢相同，即頻率先隨波數升高而增大，但當波數達到某一臨界值時，頻率急劇下降，表現出很強的波動阻尼效應。該臨界波數的大小則隨ea的不同而不同。如圖2所示，當ea取0.2 nm、0.1 nm和0.05 nm時，臨界波數kc的取值分別為： 4.3×109m-1、8.5×109m-1和17.5×109m-1。進一步觀察發現，臨界波數和相應的ea取值之間的乘積相同，即ea×kc=常數。分析原因，主要是因為引起頻率降低的因素是當波數較大，波長較短時，非局部效應的影響區域超過了一個波長范圍，即1/kc>ea，能量在傳遞了一個周期后，仍然沒有出非局部區域，從而使得繼續傳遞受阻，振動衰減明顯[42-44]。而隨著ea的增加，非局部區域范圍擴大，要在一個波長范圍內超出非局部區域，則需要波長增加，波數降低。當波長較大時，能量在傳遞一個周期后，已出非局部區域，相應的衰減效應不再出現，而剛度增加效應得以體現，所以出現了低波數區頻率增加的現象。類似的結論在內部無流體的碳納米管振動時也得到證實，證明在波長較大時，隨著非局部尺度參數ea的升高，碳納米管的剛度是增加的。

(a) 整體圖

(b) 局部圖

圖3顯示的是在波數取k=1×109m-1，ea取值不同時，SWCNT管腔內流體流速與SWCNT自由波動頻率實部之間的變化關系。首先，由圖3可以看出在相同的流速下，隨納觀尺度參數ea逐漸變大，碳納米管波動頻率會有變小的趨勢，說明當非局部尺度效應增加時，SWCNT梁剛度下降，波動阻尼增強。據圖3所示，隨著流速的增加，SWCNT梁波動頻率是增加的，證明在流速較低時，對波動和振動有促進作用，這種動力特性與宏觀流體結構類似。然而，當流速超過1 500 m/s之后，頻率就會隨著流速的增大而急劇降低，而當流速達到U=2 900 m/s時，頻率就會變成復數，說明波動衰減明顯，該結論與流速較低時的動力特性相反。發生波動衰減的主要原因，是隨著流體流速升高，流體分子運動加快，分子動能增加，分子間相互作用力增強，造成系統內尺度效應增強，從而導致碳納米管剛度下降，波動阻尼增大。

圖3 頻率實部與流速、納觀尺度參數的變化關系

圖4顯示了當波數分別取k=1×109m-1、k=2×109m-1和k=5×109m-1時，流速與SWCNT波動頻率的變化關系。可以看出來頻率變化是很大的。當波數變化時，流體的臨界流速增加，但總體的趨勢仍然是在臨界流速之前，振動頻率隨著流速的增大而增大，而在臨界流速之后，振動頻率隨著流速增大而減小。所以，增大波數、減小波長對于促進SWCNT梁波動頻率明顯效果。

圖5顯示了碳納米管應變梯度參數分別取l=10 nm，20 nm，50 nm時，非局部尺度參數ea與振動頻率實部之間的變化關系。隨著ea逐漸變大，頻率的變化幅度是非常小的，但仍然可以看出有略微減小的趨勢。從圖5可以看出，隨著l由10 nm增加至20 nm和50 nm，頻率成比例增大，說明應變梯度效應會增加系統剛度，促進波的傳導。

圖6顯示的是流速與振動頻率實部的變化關系。頻率的變化規律依然與圖5相同，即隨著應變梯度參數l的增大，頻率也增加，依然是由于應變梯度效應增加系統剛度所致。然而，隨著流速增加，頻率出現先增加后減小的趨勢，即流速有一臨界值，在該臨界值前后，頻率的變化規律相反。該規律和圖3類似，當流速較大時，流體分子運動加劇，導致系統內尺度效應增強，波動阻尼增大。但是圖6的臨界流速與圖3不同，該臨界流速不是固定值，而隨l變大而升高。該現象是由于應變梯度效應會增加系統剛度，所以l值越大越有利于波傳導，于是發生阻尼的臨界流速也就越高，這一結果也進一步證實了應變梯度效應增加系統剛度的結論。

(a) 整體圖

(b) 局部圖

圖5 頻率實部與納觀尺度參數和應變尺度參數的變化關系圖

圖6 頻率實部與流速和應變尺度參數的變化關系圖

圖7顯示了波數與振動頻率實部的變化關系。由圖7可見，不論應變梯度參數l取值如何，頻率最大值總出現在k=18×109m-1時，但隨著取值l增加，振動頻率的值也相應增大。這也再次證明應變梯度效應將增加系統剛度。進一步觀察發現，當波數超過k=20×109m-1時，振動頻率的值就退化為虛數，頻率實部在圖7中已不存在，虛部則由圖8呈現。

圖7 頻率實部與波數和應變尺度參數的變化關系圖

由圖8可以發現頻率虛部的變化有兩個特征：① 振動頻率虛部絕對值隨著波數增加而增加，說明繼續增加波數減小波長，波的傳導將受到阻尼；② 頻率虛部隨應變梯度參數l增加而升高，說明此時的應變梯度效應不再增加系統剛度，反而阻礙波傳導。由以上兩點分析，可以得出結論：當波數增加至k=20×109m-1時，波長已經小于應變梯度參數值l，說明一個波動周期無法超出尺度效應影響范圍，波的傳導將受到尺度效應的阻礙，原理與圖2所示一致。

圖9顯示的是流體邊界條件參數Kn和振動頻率的變化關系。由圖9可見，系統振動頻率隨流速增加，表現出先增加后衰減的規律。Kn值越大，頻率衰減出現越早，在衰減出現之前，Kn取值較大，則頻率較高。

圖8 頻率虛部與波數和應變尺度參數的變化關系圖

對于低流速時頻率隨Kn值增加而升高，是因為流體尺度效應增加系統剛度所致。而在高流速時較大的Kn值導致較早出現振動衰減，則是因為高流速體系振動頻率高，波長范圍小于尺度效應影響區域，能量傳遞受阻，與之前所述固體尺度效應影響規律一致。

圖9 Knudsen數取值不同時的頻率實部與流速關系圖

圖10顯示的是當波數變化時，Kn取不同的值所對應的Argand圖(實部/虛部關系圖)。圖10中流速為300 m/s，該流速處于圖8所示振動出現衰減之前。可以看出，取相同的虛部值，所對應的實部值隨著Kn的增加而變大，說明流速相同時，尺度效應越強，振動阻尼出現越遲，反映出流體尺度效應同樣可以增加系統剛度，且與固體非局部效應相比，影響更明顯。

對于納米尺度的結構體，數值模擬結果往往缺乏相應的實驗數據作為驗證和支撐。通常情況下，數值結果的驗證都是通過不同理論模型模擬數據的對比來完成。前文已提及，對于非局部應力場理論在碳納米管動力學特性方面的研究，已有很多結論，證明該模型模擬結果是合理可靠的。作者前期發表的論文中，曾以非局部模型和分子動力學模擬結果進行對比驗證，證明非局部模型模擬碳納米管波動特性的結果與分子動力學模擬結果吻合度很好。對于本文應用的非局部/應變梯度耦合模型，在文獻[33]中同樣被證明和分子動力學模擬以及其它理論模型模擬結果有較高的吻合度。除此以外，本文以流體邊界滑移理論建模，定量分析流體小尺度效應對流速的影響，該方法的合理性同樣已在相關文獻中得到證實和應用。因此，本文應用的建模理論和方法是得到公認的，模擬結果同樣是合理可靠的。

圖10 Knudsen數取值不同時的Argand圖

4 結論

本文結合非局部應力場理論、應變梯度理論和流體滑移邊界理論，建立了充流單壁碳納米管流固耦合系統的波動模型。分別以三種理論分析碳納米管和管腔內流體的微納觀尺度效應，推導得到了充流碳納米管的Euler-Bernoulli梁自由振動控制方程。在對控制方程解析解推導過程中，分別討論了非局部參數、應力梯度參數和流體邊界效應參數對振動頻率的影響，得出以下結論：

(1) 對于波長較大，頻率較低的波動與振動，碳納米管的應變梯度效應和流體的滑移邊界效應使體系剛度增加，可以促進系統振動和波傳導；而碳納米管應力非局部效應會減小系統剛度，阻礙振動與波動。

(2) 對于波長較小，頻率較高的波動與振動，結論(1)中應變梯度效應和流體的滑移邊界效應不但無法起到促進作用，反而會有阻尼和衰減作用，而應力非局部效應對振動產生的阻尼作用不變。其原因則是當波長范圍小于尺度效應影響范圍時，能量傳遞將受到阻礙。

(3) 三種微尺度效應對流速不同的充流碳納米管動力特性影響明顯，當流速較高時，分子間相互作用力增大，尺度效應增強，而高流速引發的振動波長較小，同樣由于波長范圍小于尺度效應影響范圍，能量傳遞受阻，振動受到阻尼；而流速較低時，無上述現象，流速增加反而有利于振動和波動。

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Wave propagation of fluid-filled single-walled carbon nanotubes based on the nonlocal-strain gradient theory

YU Yang, YANG Yang

(Department of Engineering Mechanics, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, China)

Based on the high-order nonlocal strain gradient theory and slip boundary conditions of nano-scale fluid, a dynamic model of Euler-Bernoulli beams for fluid-filled single-walled carbon nanotubes (SWCNT) was established. The governing equation of wave propagation for fluid filled SWCNT beams was derived according to the Hamilton’s principle. By solving the governing equations, analytical expressions of angular frequency for dynamic systems were obtained, and the influence from nano-scale effects on dynamic behaviors of SWCNTs were studied. According to the simulation results, wave propagation with low wavelength are enhanced by strain gradient and fluid slip boundary effects when the ones with high wavelength are damped. The nonlocal stress effect only contributes to the decay of the dynamic behaviors for any wavelength. These three scale effects lead to stiffness enhancement for fluid filled SWCNTs at low fluid velocity when wave propagation are promoted. However, the wave propagation behaviors are damped at high fluid velocity, since energy transmission in this case is damped by the scale effects.

nonlocal stress; strain gradient; nanotube; fluid boundary effect; Euler-Bernoulli beam; wave propagation

國家自然基金(11462010; 11261026)

2016-06-27 修改稿收到日期：2016-08-23

余陽 男，碩士生，1991年生

楊洋 男，博士，副教授，1981年生 E-mail：yangyang0416@kmust.edu.cn

TH212； TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.001