基于生成微分方程的行星齒輪箱故障振動(dòng)信號(hào)解調(diào)分析

李康強(qiáng)， 馮志鵬

(北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 北京 100083)

基于生成微分方程的行星齒輪箱故障振動(dòng)信號(hào)解調(diào)分析

李康強(qiáng)， 馮志鵬

(北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 北京 100083)

行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)具有明顯的調(diào)制特點(diǎn)，幅值解調(diào)和頻率解調(diào)分析能夠有效提取其中的故障信息。生成微分方程(GDE)方法可以估計(jì)調(diào)制信號(hào)的幅值包絡(luò)和瞬時(shí)頻率，實(shí)現(xiàn)解調(diào)分析，但該方法需要信號(hào)滿足單分量要求。實(shí)際行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)通常由復(fù)雜多分量成分組成，為實(shí)現(xiàn)信號(hào)的幅值解調(diào)和頻率解調(diào)分析，應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EMD)將信號(hào)分解為單分量本質(zhì)模式函數(shù)，基于生成微分方程計(jì)算瞬時(shí)頻率和幅值包絡(luò)，根據(jù)瞬時(shí)頻率的波動(dòng)特點(diǎn)選擇本質(zhì)模式函數(shù)作為敏感分量，由敏感分量的包絡(luò)譜和瞬時(shí)頻率的Fourier頻譜識(shí)別故障特征頻率。通過行星齒輪箱故障模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析驗(yàn)證了解調(diào)分析方法的效果。

行星齒輪箱； 生成微分方程； 幅值包絡(luò)； 瞬時(shí)頻率

行星齒輪箱結(jié)構(gòu)緊湊，傳動(dòng)比大，承載能力強(qiáng)，在車輛、直升機(jī)和風(fēng)力發(fā)電等裝備中應(yīng)用廣泛。作為動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，行星齒輪箱一旦出現(xiàn)故障，會(huì)導(dǎo)致整個(gè)動(dòng)力傳動(dòng)鏈?zhǔn)踔镣C(jī)，造成嚴(yán)重后果。因此，研究行星齒輪箱故障診斷問題具有重要意義。

和普通的定軸齒輪箱相比，行星齒輪箱的結(jié)構(gòu)和運(yùn)轉(zhuǎn)方式獨(dú)特，振動(dòng)信號(hào)成分復(fù)雜，具有明顯的幅值調(diào)制和頻率調(diào)制特征。在時(shí)域內(nèi)，這兩種成分之間為乘積關(guān)系，在頻域內(nèi)，整個(gè)信號(hào)的Fourier頻譜為調(diào)幅和調(diào)頻成分各自Fourier頻譜的卷積，因此，行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的Fourier頻譜具有復(fù)雜的邊帶結(jié)構(gòu)[1-2]。但是，振動(dòng)信號(hào)中調(diào)幅和調(diào)頻成分的調(diào)制頻率和齒輪故障特征頻率密切相關(guān)，其中包含了故障信息。如果對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行幅值解調(diào)和頻率解調(diào)分析，可以避免復(fù)雜的邊帶分析，準(zhǔn)確識(shí)別調(diào)制頻率，從而實(shí)現(xiàn)故障診斷。

ZAYEZDNY等[3]提出了基于生成微分方程的信號(hào)表示方法，利用信號(hào)、信號(hào)微分以及信號(hào)各種變換組合之間的關(guān)系描述信號(hào)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。信號(hào)可以視為一個(gè)生成微分方程的一個(gè)解(例如，一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)信號(hào)可以視為一個(gè)質(zhì)量-彈簧動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的解)，而生成微分方程則可以視為信號(hào)一個(gè)映射。基于該思想，可以通過信號(hào)的各階微分函數(shù)的非線性組合運(yùn)算，估計(jì)其包絡(luò)幅值和瞬時(shí)頻率等信息，從而為行星齒輪箱的復(fù)雜調(diào)制振動(dòng)信號(hào)的解調(diào)分析提供了一種潛在分析工具。

但是，基于生成微分方程的信號(hào)包絡(luò)幅值和瞬時(shí)頻率計(jì)算需要信號(hào)滿足單分量要求，而實(shí)際行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)成分復(fù)雜。為了解決這一問題，本文發(fā)揮經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸庠趶?fù)雜信號(hào)分解方面的優(yōu)勢(shì)，將實(shí)際信號(hào)分解為多個(gè)本質(zhì)模式函數(shù)，從而滿足單分量的要求。

在經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夂蜕晌⒎址匠谭椒傻幕A(chǔ)上，可以準(zhǔn)確估計(jì)敏感分量的包絡(luò)幅值和瞬時(shí)頻率，實(shí)現(xiàn)幅值解調(diào)和頻率解調(diào)，從而識(shí)別故障特征頻率診斷齒輪故障。

1 生成微分方程

生成微分方程是基于結(jié)構(gòu)特性的一種信號(hào)描述方法。信號(hào)可以視為一個(gè)微分方程的部分解，通過一些數(shù)學(xué)工具，可以使得這個(gè)微分方程具有簡(jiǎn)潔的非線性形式，而通過簡(jiǎn)化的生成微分方程則可以重構(gòu)原始信號(hào)[3-5]。

(1)

(2)

(3)

(4)

上面每個(gè)狀態(tài)函數(shù)(式(1)～(4))都對(duì)應(yīng)一個(gè)微分方程

(5)

(6)

(7)

(8)

將有關(guān)于狀態(tài)函數(shù)的表達(dá)式

(9)

關(guān)于結(jié)構(gòu)特性理論的三個(gè)重要基本定理：

定理1 任何一個(gè)具有n+1 個(gè)獨(dú)立變量的n階齊次微分方程均可通過以上四個(gè)基本狀態(tài)函數(shù)(式(1)～(4))表述為包含新的n+1個(gè)獨(dú)立變量(狀態(tài)函數(shù)及其微分)的n階狀態(tài)函數(shù)的形式，而且通過非基本狀態(tài)函數(shù)可以將它表述為更加簡(jiǎn)潔的形式。

定理2 任意一個(gè)二階可微函數(shù)均可構(gòu)造一個(gè)具有下列形式的生成齊次微分方程的形式

(10)

(11)

生成微分方程可以視為是信號(hào)的一種變換，通過這種變換可以將信號(hào)分解為一系列的微分方程的解的合集形式，從而估算能量、振幅和頻率等信息。對(duì)于常見的調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)

(12)

(13)

通常，調(diào)制信號(hào)的變化相比載波信號(hào)的變化要慢得多，此時(shí)A(t) 和φ(t) 相對(duì)于載波信號(hào)是緩變的，因此可以近似為常數(shù)。于是關(guān)于幅值和頻率的狀態(tài)函數(shù)可以近似δA=0，δω=0，kA=0。代入式(13)中可得瞬時(shí)頻率和包絡(luò)幅值的估計(jì)值

(14)

(15)

上述理論推導(dǎo)是對(duì)于連續(xù)信號(hào)而言的，對(duì)于離散信號(hào)，則需要將連續(xù)求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)代替原連續(xù)求解域，來獲得原微分方程的近似解。中心差分的精度優(yōu)于向前差分和向后差分，所以本文應(yīng)用中心差分代替微分，使用中心差商代替導(dǎo)數(shù)

(16)

(17)

當(dāng)步長(zhǎng)Δt=1 時(shí)，可通過式(14)和式(15)求得離散信號(hào)瞬時(shí)頻率和包絡(luò)幅值的估計(jì)值

(18)

(19)

需要注意的是，生成微分方程方法只適用于單分量信號(hào)的解調(diào)分析。

2 分析步驟

行星齒輪箱的實(shí)際信號(hào)成分復(fù)雜，在應(yīng)用基于生成微分方程的解調(diào)方法進(jìn)行分析之前，需要將其分解為單分量成分。本文考慮經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸庠趶?fù)雜信號(hào)分解方面的優(yōu)勢(shì)，提出了基于生成微分方程和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾姆到庹{(diào)和頻率解調(diào)分析方法，具體分析步驟如下：

(1) 應(yīng)用EMD分解方法把信號(hào)分解為多個(gè)IMF分量成分，滿足生成微分方程的單分量要求。

(2) 應(yīng)用GDE估計(jì)每個(gè)IMF分量的瞬時(shí)頻率和幅值包絡(luò)。

(3) 依據(jù)各IMF分量的瞬時(shí)頻率波動(dòng)特征，選擇最先分解得到的而且瞬時(shí)頻率圍繞嚙合頻率或其倍頻上下波動(dòng)的本質(zhì)模式函數(shù)作為敏感分量進(jìn)行解調(diào)分析，原因有三：① 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獍凑疹l率由高到低的順序依次提取本質(zhì)模式函數(shù)；② 齒輪故障引起的沖擊特征在高頻段內(nèi)比較明顯；③ 齒輪振動(dòng)信號(hào)的載波頻率為嚙合頻率或其倍頻，瞬時(shí)頻率圍繞嚙合頻率或其倍頻上下波動(dòng)的本質(zhì)模式函數(shù)包含齒輪故障信息。

(4) 對(duì)敏感分量的瞬時(shí)頻率和幅值包絡(luò)進(jìn)行Fourier變換，根據(jù)包絡(luò)譜和瞬時(shí)頻率Fourier頻譜中的峰值頻率和各齒輪故障特征頻率診斷故障。

3 仿真信號(hào)分析

根據(jù)行星齒輪箱的振動(dòng)機(jī)理，其信號(hào)可以用調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)模型描述[6-10]。不失一般性，假設(shè)太陽(yáng)輪出現(xiàn)故障，只考慮齒輪嚙合頻率和故障齒輪的特征頻率，則振動(dòng)信號(hào)模型可表示為

x(t)=[1-cos(2πfsrt)][1+Acos(2πfst)]× cos[2πfmt+Bsin(2πfst)+φ]+n(t)

(20)

式中：fsr為太陽(yáng)輪旋轉(zhuǎn)頻率，fs為太陽(yáng)輪故障特征頻率，fm為齒輪嚙合頻率。取fsr=1.2 Hz，fs=37 Hz，fm=200 Hz，A=B=1 分別為調(diào)幅和調(diào)頻系數(shù)，初相位φ=0，仿真信號(hào)設(shè)置采樣頻率為3 000 Hz，加入信噪比為n(t)=6 dB 的Gauss白噪聲。

圖1(a)為該仿真信號(hào)的時(shí)域波形。圖1(b)為使用EMD分解成的5個(gè)分量以及1個(gè)殘量。使用生成微分方程估算各個(gè)分量的瞬時(shí)頻率如圖1(c)所示，可以看出第一個(gè)分量頻率密集但是波動(dòng)較大，第二個(gè)分量瞬時(shí)頻率圍繞齒輪嚙合頻率波動(dòng)幅度較小，因此選擇第二個(gè)分量進(jìn)行分析。第二個(gè)分量的幅值包絡(luò)如圖1(d)所示。對(duì)瞬時(shí)頻率估計(jì)值和幅值包絡(luò)估計(jì)值進(jìn)行Fourier變換以識(shí)別故障特征頻率。結(jié)果如圖1(e)和1(f)所示，其中圖1(e)縱坐標(biāo)表示的是瞬時(shí)頻率的大小?？梢院苊黠@的發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)輪故障特征頻率fs及其2倍頻和受旋轉(zhuǎn)頻率fsr調(diào)制而產(chǎn)生的邊帶nfs±fsr，分析結(jié)果符合故障模型特征，驗(yàn)證了方法的有效性。

(a) 時(shí)域波形

(b) EMD分解

(c) GDE估計(jì)瞬時(shí)頻率

(d) 第二個(gè)分量幅值包絡(luò)

(e) 第二個(gè)分量瞬時(shí)頻率Fourier頻譜

(f) 第二個(gè)分量包絡(luò)幅值Fourier頻譜

4 實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析

某行星齒輪箱實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖2所示，由電機(jī)及其控制器、單級(jí)行星齒輪箱和振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)組成。為了測(cè)試振動(dòng)信號(hào)，在齒輪箱底座和箱體表面布置了多個(gè)加速度傳感器，因?yàn)槲挥谙潴w頂部的傳感器與太陽(yáng)輪距離最近、傳遞路徑最短所以包含了更多的信息，本文選取箱體頂部的傳感器信號(hào)，信號(hào)采樣頻率為16 384 Hz。實(shí)驗(yàn)過程中，調(diào)整電機(jī)轉(zhuǎn)速頻率為15.95 Hz。根據(jù)齒輪箱的結(jié)構(gòu)參數(shù)表1和輸入轉(zhuǎn)速，計(jì)算得到齒輪局部故障特征頻率，見表2。

表1 行星齒輪箱參數(shù)

表2 特征頻率表

圖2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

4.1 正常信號(hào)

圖3(a)為正常狀態(tài)齒輪箱信號(hào)的時(shí)域波形，圖3(b)為其EMD分解結(jié)果。對(duì)EMD分解結(jié)果進(jìn)行生成微分方程瞬時(shí)頻率和包絡(luò)幅值估計(jì)，從圖3 (c)可以看出第三個(gè)IMF的瞬時(shí)頻率圍繞嚙合頻率181.678 Hz上下波動(dòng)，根據(jù)敏感分量的選取原則，選擇該分量進(jìn)行解調(diào)分析。在瞬時(shí)頻率Fourier變換譜(圖3(e))中，峰值主要出現(xiàn)在行星架旋轉(zhuǎn)頻率fc及其倍頻以及和輸入軸相連的太陽(yáng)輪旋轉(zhuǎn)頻率fsr及其倍頻等位置處。在敏感分量幅值包絡(luò)的Fourier頻譜(圖3(f))中，峰值同樣出現(xiàn)在行星架旋轉(zhuǎn)頻率及其倍頻以及太陽(yáng)輪旋轉(zhuǎn)頻率和它的三倍頻處。正常齒輪箱由于零件的制造誤差及微小缺陷和箱體裝配的誤差等因素影響，這些因素將產(chǎn)生調(diào)幅調(diào)頻效應(yīng)，使得振動(dòng)信號(hào)解調(diào)譜中出現(xiàn)上述頻率成分。

(a) 時(shí)域波形

(b) EMD分解

(c) GDE估計(jì)頻率

(d) 敏感分量幅值包絡(luò)

(e) 瞬時(shí)頻率Fourier頻譜

(f) 幅值包絡(luò)Fourier頻譜

4.2 太陽(yáng)輪故障

為了模擬齒輪箱中太陽(yáng)輪磨損故障，在太陽(yáng)輪上的一個(gè)輪齒加工了磨損故障，如圖4所示。

圖5(a)為太陽(yáng)輪故障振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形，圖5(b)為其EMD分解結(jié)果。對(duì)EMD分解結(jié)果進(jìn)行生成微分方程瞬時(shí)頻率和包絡(luò)幅值估計(jì)，從圖5(c)可以看出第三個(gè)IMF的瞬時(shí)頻率圍繞嚙合頻率181.678 Hz上下波動(dòng)，根據(jù)敏感分量的選取原則，選擇該分量進(jìn)行解調(diào)分析。在瞬時(shí)頻率Fourier變換譜(圖5(e))中，行星架旋轉(zhuǎn)頻率fc及其倍頻和太陽(yáng)輪旋轉(zhuǎn)頻率fsr及其倍頻依然存在，但是相比正常信號(hào)，太陽(yáng)輪局部故障特征頻率1/3fs倍頻和行星架轉(zhuǎn)頻的組合及其倍頻占主導(dǎo)地位，由于太陽(yáng)輪同時(shí)與三個(gè)行星輪嚙合，同時(shí)加工制作誤差和微小缺陷會(huì)導(dǎo)致三個(gè)行星輪不可能完全一樣，所以會(huì)出現(xiàn)太陽(yáng)輪局部故障特征頻率的1/3fs倍頻和n/3fs倍頻。在幅值包絡(luò)Fourier變換譜(圖5 (f))中，可以明顯發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)輪故障特征頻率fs，同樣和瞬時(shí)頻率Fourier頻譜特征類似，太陽(yáng)輪局部故障特征頻率1/3fs倍頻和行星架轉(zhuǎn)頻的組合及其倍頻nfs±m(xù)fc占主導(dǎo)地位，這些特征說明太陽(yáng)輪出現(xiàn)故障，符合實(shí)際情況。

(a) 時(shí)域波形

(b) EMD分解

(c) GDE估計(jì)頻率

(d) 敏感分量幅值包絡(luò)

(e) 瞬時(shí)頻率Fourier頻譜

(f) 幅值包絡(luò)Fourier頻譜

4.3 行星輪故障

為了模擬齒輪箱中行星輪磨損故障，在行星輪上的一個(gè)輪齒加工了磨損故障，如圖6所示。

圖7(a)為行星輪故障信號(hào)的時(shí)域波形，圖7(b)為其EMD分解結(jié)果。對(duì)EMD分解結(jié)果進(jìn)行生成微分方程瞬時(shí)頻率和包絡(luò)幅值估計(jì)，從圖7 (c)可以看出第三個(gè)IMF的瞬時(shí)頻率圍繞嚙合頻率181.678 Hz上下波動(dòng)，根據(jù)敏感分量的選取原則，選擇該分量進(jìn)行解調(diào)分析。故障信號(hào)的瞬時(shí)頻率的Fourier頻譜(圖7(e))的各個(gè)頻率成分幅值明顯大于正常信號(hào)，其中行星輪故障特征頻率fp的三倍頻和行星架旋轉(zhuǎn)頻率的組合3fp+fc占主導(dǎo)，其他峰值出現(xiàn)在行星輪故障特征頻率的倍頻及與行星架旋轉(zhuǎn)頻率的組合nfp±fc等位置，在幅值包絡(luò)的Fourier變換譜(圖7(f))中，行星輪故障特征頻率fp及其倍頻相比正常信號(hào)幅值更大更明顯，這是因?yàn)樾行禽喌木植抗收蠒?huì)造成不均勻的行星架載荷分配，使得行星架旋轉(zhuǎn)對(duì)嚙合振動(dòng)的調(diào)頻作用增強(qiáng)，導(dǎo)致行星架轉(zhuǎn)頻fc及其倍頻的峰值增大，結(jié)果符合實(shí)際情況。

(a) 時(shí)域波形

(b) EMD分解

(d) 敏感分量幅值包絡(luò)

(e) 瞬時(shí)頻率Fourier頻譜

(f) 幅值包絡(luò)Fourier頻譜

4.4 齒圈故障

為了模擬齒輪箱中齒圈磨損故障，在齒圈上的一個(gè)輪齒加工了磨損故障，如圖8所示。

圖9(a)為齒圈故障信號(hào)的時(shí)域波形，圖9(b)為其EMD分解結(jié)果。對(duì)EMD分解結(jié)果進(jìn)行生成微分方程瞬時(shí)頻率和包絡(luò)幅值估計(jì)，從圖9(c)可以看出第三個(gè)IMF的瞬時(shí)頻率圍繞嚙合頻率181.678 Hz上下波動(dòng)，根據(jù)敏感分量的選取原則，選擇該分量進(jìn)行解調(diào)分析。由于加工誤差和微小缺陷，實(shí)際中的三個(gè)行星輪不可能完全相同，所以齒圈故障特征頻率的1/3fr及其倍頻n/3fr的頻譜幅值會(huì)增大，而我們的分析結(jié)果也證實(shí)了這一點(diǎn)，在瞬時(shí)頻率Fourier變換譜(圖9(e))上齒圈故障特征頻率的1/3fr及其倍頻明顯大于正常值，而幅值包絡(luò)的Fourier譜(圖9(f))上也可以明顯的發(fā)現(xiàn)齒圈故障特征頻率fp及其三倍頻、四倍頻和五倍頻。上述特征說明齒圈出現(xiàn)損傷，符合實(shí)際情況。

圖8 齒圈局部損傷

(a) 時(shí)域波形

(b) EMD分解

(c) GDE估計(jì)頻率

(d) 敏感分量幅值包絡(luò)

(e) 瞬時(shí)頻率Fourier頻譜

(f) 幅值包絡(luò)Fourier頻譜

5 結(jié) 論

本文將生成微分方程方法應(yīng)用于行星齒輪箱的故障診斷中，分析了方法的基本原理與實(shí)現(xiàn)方法。依據(jù)第二節(jié)中的敏感分量選擇原則選取EMD分解后的敏感分量后使用GDE方法來估計(jì)瞬時(shí)頻率和包絡(luò)幅值，算法簡(jiǎn)單，效果良好，適用性強(qiáng)。用行星齒輪箱故障仿真信號(hào)驗(yàn)證本方法后分析了實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)信號(hào)，診斷出了太陽(yáng)輪、行星輪和齒圈的局部損傷故障，驗(yàn)證了該方法的有效性，同時(shí)生成微分方程方法對(duì)于其他旋轉(zhuǎn)機(jī)械如汽輪機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)、風(fēng)機(jī)、泵和發(fā)電機(jī)都有良好有效的診斷辨識(shí)能力。

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Signal demodulation via the generating differential equation method for planetary gearbox fault diagnosis

LI Kangqiang, FENG Zhipeng

(School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

The vibration signal of a planetary gearbox has clear characteristics of modulation and analysis of frequency demodulation and amplitude demodulation plays a vital role in the fault diagnosis. Though the generating differential equation (GDE) method can estimate the amplitude envelope and the instantaneous frequency of the modulation signal, it only suits to single component composition. Actually, vibration signal of a planetary gearbox is composed of complex component composition. In order to analyze amplitude envelope and instantaneous frequency of a modulation signal, in this paper, we decomposed a modulation signal into the single component intrinsic mode function (IMF) by the empirical mode decomposition (EMD). According to the fluctuation characteristics of instantaneous frequency which result from the generating differential equation, the IMF as the sensitive component was chosen. The characteristic frequency of localized fault was identified with Fourier frequency spectrum of amplitude envelope and instantaneous frequency. Its effectiveness in extracting the characteristic frequency of localized fault was validated by the demodulation analysis of experiments of the planetary gearbox.

planetary gearbox; generating differential equations; amplitude envelope; instantaneous frequency

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272047; 51475038); 教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(NCET-12-0775)

2016-01-07 修改稿收到日期：2016-03-07

李康強(qiáng) 男，博士生，1987年生

馮志鵬 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1973年生

TH165+.3; TH132.425

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.002